CAP 1 _CPM_5_Coord_Esfericas

Vista previa del material en texto

CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 
CINEMÁTICA DEL PUNTO 
 
Parte 5 - COORDENADAS ESFÉRICAS 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
Nos proponemos ahora, la tarea de definir el sistema de coordenadas esféricas y de 
deducir las expresiones del vector posición, velocidad y aceleración en este último sistema. 
 
En realidad, como veremos, es todo bastante sencillo e intuitivo, salvo la expresión del 
vector aceleración, que por la existencia de dos rotaciones en este caso (en lugar de una sola 
como ocurría en cilíndricas), la aceleración si bien sigue teniendo tres componentes (más no 
puede tener, porque es una terna triortogonal), en cada uno de ellos intervienen varios 
términos, resultado de la gran cantidad de derivadas que hay que hacer. 
 
Este sistema de referencia, como ya hemos anticipado en varias oportunidades, 
también es un sistema de referencia móvil, no inercial, con origen fijo. 
 
Por conveniencia, siempre colocamos un sistema de coordenadas cartesianas fija para 
que obre como referencia absoluta, al origen de la terna móvil le agregamos el subíndice 1, 
por una cuestión formal, para diferenciarlo del origen de la terna fija (aunque coinciden). 
 
Este sistema utiliza la medición de dos ángulos y una distancia. La distancia que se 
mide, es desde el origen de coordenadas al punto de interés, la llamaremos distancia radial y 
la denotamos con una “r”. Al primer ángulo lo llamaremos “tita” (𝜃), es el ángulo polar o cenital, 
puede variar entre 0 y ± 𝜋, y se mide habitualmente desde el eje Z. Al segundo ángulo, lo 
llamaremos “fi” (𝜑), es el ángulo acimutal, puede variar de 0 a 2𝜋, y se mide habitualmente 
desde el eje X. 
 
II. EJES Y VERSORES. 
 
El sistema de coordenadas esféricas queda configurado por un primer versor, que 
denominaremos �̌�𝑟, que tiene la dirección del vector posición, medido desde la terna móvil. Es 
decir, que tiene la dirección que desde O1 hasta P en cada instante. O sea, cuando el móvil 
se mueve, P(t) cambia de posición, y “obliga” a �̌�𝑟 a modificar su dirección, para seguir 
apuntando hacia el punto P. 
 
El segundo versor ( �̌�𝜃 ) está contenido en el plano vertical, que forma el vector posición 
con el eje Z de la terna fija y tiene la dirección y sentido de crecimiento del ángulo ϴ, que se 
mide desde el eje Z, hasta el vector posición (P-O1). 
 
El tercer versor, es �̌�𝜑, que tiene la dirección y sentido de crecimiento del ángulo φ, 
que se mide en el plano X-Y, desde el eje de referencia (eje X de la terna fija), hasta la 
proyección del vector posición en dicho plano. Es decir, desde el eje X, hasta el segmento de 
recta que va de O1 a P´. 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 
 
En el esquema anterior hemos tratado de representar lo que hemos dicho. Pero, para 
no cargar mucho el dibujo, no llegamos a mostrar los elementos, por lo que lo completamos 
un poco con las dos vistas de abajo. La de la izquierda es una vista del plano O1; P;P´, (o si 
lo prefiere, del plano formado por los versores �̌� y �̌�𝑟. Como Ud. quiera, es el mismo plano). 
En ella se ponen en evidencia los versores �̌�𝑟 y �̌�𝜃. A la derecha, tenemos una vista en planta 
(plano X-Y). En la misma podemos apreciar el versor �̌�𝜑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nuestra nueva terna móvil entonces, está conformada por tres versores mutuamente 
perpendiculares entre sí, que son �̌�𝑟; �̌�𝜃; �̌�𝜑. 
 
El orden cíclico que debemos respetar para que la terna sea dextrógira, es justamente 
el indicado: �̌�𝑟 → �̌�𝜃 → �̌�𝜑. Es decir, 𝑒�̌� = �̌�𝜃⋀�̌�𝜑; �̌�𝜃 = �̌�𝜑⋀�̌�𝑟; 𝑦 �̌�𝜑 = �̌�𝑟⋀�̌�𝜃. De lo contrario, 
no obtendríamos las orientaciones mostradas en las figuras anteriores. 
 
 
III. VECTOR POSICIÓN. 
 
Como en este sistema de referencia, tenemos un versor en la dirección del mismo 
vector posición, este último tendrá una sola componente: 
 
(𝑷 − 𝑶𝟏) = 𝒓. �̌�𝒓 (𝟏) 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
No confundir la coordenada r de esféricas, con la coordenada ρ de cilíndricas… En 
efecto, la primera se mide en la dirección del versor 𝑒�̌� de las coordenadas esféricas, que va 
desde O1 al punto P, y; la segunda en la dirección del versor 𝑒�̌� de coordenadas cilíndricas, 
que tiene la dirección de la proyección del vector posición, en el plano X-Y. 
 
La transformación de coordenadas, de esféricas a cartesianas, será: 
 
{
𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
Y de cartesianas a esféricas: 
 
{
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [(√𝑥2 + 𝑦2) /𝑧] 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦/𝑥) 
 
 
 
IV. DERIVADAS TEMPORALES DE LOS VERSORES DE LA TERNA ESFËRICA. 
 
Para poder seguir avanzando, precisamos determinar las derivadas temporales de los 
versores de la terna esférica. 
 
Este tema se puede ver consulta en los libros de Mecánica de Alessio y en el Beer 
Johnston. En el libro de Argüello encontraran un atajo no tan metódico, pero mucho más 
rápido e intuitivo (trata de inferir las expresiones de los versores en coordenadas de la terna 
cartesiana, y luego los deriva). 
 
Nosotros lo primero que haremos es expresar el vector posición en coordenadas 
cartesianas, pero utilizando como parámetros las coordenadas esféricas (r; ϴ; φ). 
Derivaremos respecto de estas últimas buscando las expresiones cartesianas de los versores 
de la terna móvil y luego a éstos respecto de tiempo. Finalmente, operando algebraicamente, 
trataremos de relacionar y eliminar los versores de la cartesiana. 
 
Manos a la obra. El vector posición en cartesianas es: 
 
�̅�(𝑡) = (𝑃 − 𝑂) = (𝑃 − 𝑂1) = 𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌� 
 
Teniendo en cuenta las expresiones de transformación, el vector posición en 
coordenadas cartesianas lo podríamos escribir también de la siguiente manera: 
 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌� 
 
Recordemos que (P-O) = (P-O1). O sea, se trata del mimo vector, porque los orígenes 
coinciden (cosa que no ocurre con todas las ternas móviles). 
 
Si derivamos el vector posición, expresado en cartesianas, con los parámetros de la 
terna esférica, respecto de las coordenadas de la esférica (r; ϴ; φ), tendremos: 
 
𝑑�̅�
𝑑𝑟
= 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌� 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
𝑑�̅�
𝑑𝜃
= 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌� 
𝑑�̅�
𝑑𝜑
= −𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 0. �̌� 
 
 
Si ahora dividimos cada una de las tres expresiones anteriores, por su respectiva 
norma, tendremos las expresiones de los versores de la terna esférica, referidos a la terna 
cartesiana: 
 
�̌�𝑟 =
𝑑�̅�
𝑑𝑟
|
𝑑�̅�
𝑑𝑟
|
=
𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�
√(𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑)2 + (𝑐𝑜𝑠𝜃)2
 
 
Trabajando un poco con el denominador: 
 
√(𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑)2 + (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = √(𝑠𝑒𝑛𝜃)2. [(𝑐𝑜𝑠𝜑)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜑)2] + (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 
 
Como el corchete es uno, vuelve a quedar seo cuadrado más coseno cuadrado, pero 
ahora de ϴ, y finalmente toda la raíz es uno. 
 
Así obtenemos la primera de las tres expresiones que buscábamos: 
 
�̌�𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌� 
 
Vamos la segunda: 
 
�̌�𝜃 =
𝑑�̅�
𝑑𝜃
|
𝑑�̅�
𝑑𝜃|
=
𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�
√(𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑)2 + (𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑)2 + (−𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃)2
 
 
Este denominador se reduce a r. Entonces: 
 
�̌�𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌� 
 
Finalmente, hagamos lo mismo buscando la expresión de 𝑒�̌�: 
 
�̌�𝜑 =
𝑑�̅�
𝑑𝜑
|
𝑑�̅�
𝑑𝜑|
=
−𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌
√(−𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑)2 + (𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑)2
 
 
Acá es muy fácil de ver que este denominador vale: r.senϴ. Entonces: 
 
�̌�𝝋= −𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ 
 
Juntemos las tres expresiones: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
{
�̌�𝒓 = 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� + 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒔𝒆𝒏𝝋. 𝒋̌ + 𝒄𝒐𝒔𝜽. �̌�
�̌�𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� + 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒔𝒆𝒏𝝋. 𝒋̌ − 𝒔𝒆𝒏𝜽. �̌�
�̌�𝝋 = −𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� + 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ 
 (𝟐) 
 
Derivemos estos versores respecto del tiempo (usamos notación de Newton: 
 
𝑑�̌�𝒓
𝑑𝑡
= (𝑐𝑜𝑠𝜃. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. �̇�)𝑖̌ + (𝑐𝑜𝑠𝜃. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. �̇�)𝑗̌
− 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̇�. 𝑘 ̌ 
 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= (−𝑠𝑒𝑛𝜃. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. �̇�)𝑖̌ + (−𝑠𝑒𝑛𝜃. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. �̇�)𝑗̌
− 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̇�. �̌� 
 
𝑑�̌�𝝋
𝑑𝑡
= −�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ 
 
Finalmente, teniendo en cuenta las ecuaciones (2), y las últimas tres expresiones que 
acabamos de obtener, podemos hacer las sustituciones convenientes, de manera de 
independizarnos de los versores de la terna cartesiana. Para reconocer esas sustituciones 
nos conviene trabajar un poco en las tres últimas, haciendo las distributivas correspondientes 
de los versores en cada uno de los términos, y reagrupar como sigue: 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
= �̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� + �̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒔𝒆𝒏𝝋. 𝒋̌ + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋 + 
+�̇�. (−𝒔𝒆𝒏𝜽). �̌� 
 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= −�̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� − �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� − �̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ +
−�̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽. �̌� 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ 
 
 
 
Los términos encerrados en un recuadro, en la derivada temporal del versor 𝑒�̌�, 
corresponden a la expresión de �̌�𝜽, y los que están subrayados a la de �̌�𝜑. 
 
Algo parecido hemos hecho con la segunda derivada: Los términos que están 
recuadrados corresponden a �̌�𝑟, y los que están subrayados a �̌�𝜑. 
 
Haciendo dichas sustituciones, tendremos: 
 
{
 
 
 
 
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
= �̇�. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= −�̇�. �̌�𝑟 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 (𝟑)
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
Nos queda por resolver la derivada temporal del versor �̌�𝜑, que desgraciadamente 
sigue expresada en los versores de la terna cartesiana fija. 
 
Ahora bien, si volvemos a las expresiones (2), multiplicamos la primera por seno de ϴ, 
la segunda por coseno de ϴ y sumamos miembro a miembro, tendremos: 
 
�̌�𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + �̌�𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛
2𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛2𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠2𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠2𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ 
 
Vemos que ya desaparecieron los términos en �̌�. Ahora, operando algebraicamente: 
 
�̌�𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + �̌�𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛
2𝜃. (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) + 𝑐𝑜𝑠2𝜃. (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) 
 
Luego, 
�̌�𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + �̌�𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ 
 
Finalmente, 
 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. (�̌�𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + �̌�𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
 
- Agrupando las tres en un único sistema: 
 
{
 
 
 
 
𝒅�̌�𝒓
𝒅𝒕
= �̇�. �̌�𝜽 + �̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽. �̌�𝝋 
𝒅�̌�𝜽
𝒅𝒕
= −�̇�. �̌�𝒓 + �̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽. �̌�𝝋 
𝒅�̌�𝝋
𝒅𝒕
= −�̇�. (𝒔𝒆𝒏𝜽. �̌�𝒓 + 𝒄𝒐𝒔𝜽. �̌�𝜽) 
 (𝟒) 
 
Vemos que hemos logrado independizarnos definitivamente de los versores de la terna 
cartesiana. Y allí tenemos, las expresiones de las derivadas temporales de los versores de la 
terna esférica que precisaremos para calcular la velocidad y la aceleración… 
 
V. VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN. 
 
a) Velocidad: 
 
Si aplicamos la definición de velocidad instantánea, al vector posición expresado en 
coordenadas esféricas, obtendremos la velocidad en esféricas: 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅(𝑡) =
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑟. �̌�𝑟)
𝑑𝑡
 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅(𝑡) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. 𝑒�̌� + 𝑟.
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
 
 
Donde la derivada de 
𝑑𝑒�̌�
𝑑𝑡
 la tenemos ya resuelta en (4). Entonces: 
 
𝑽𝑷̅̅ ̅̅ (𝒕) = �̇�. �̌�𝒓 + 𝒓. (�̇�. �̌�𝜽 + �̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽. �̌�𝝋) (𝟓) 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
b) Aceleración: 
 
Si volvemos a derivar respecto del tiempo t, la última expresión, obtendremos la 
aceleración instantánea: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) =
𝑑𝑉𝑃̅̅ ̅(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑[�̇�. �̌�𝑟 + 𝑟. (�̇�. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑)]
𝑑𝑡
 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) =
𝑑�̇�
𝑑𝑡
. �̌�𝑟 + �̇�.
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
+ 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̇�. �̌�𝜃 + 𝑟.
𝑑�̇�
𝑑𝑡
. �̌�𝜃 + 𝑟. �̇�.
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 + 𝑟.
𝑑�̇�
𝑑𝑡
. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑
+ 𝑟. �̇�.
𝑑(𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑑𝑡
. �̌�𝜑 + 𝑟. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃.
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) = �̈�. �̌�𝑟 + �̇�. (�̇�. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑) + �̇�. �̇�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̈�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̇�. (−�̇�. 𝑒�̌� + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑)
+ �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 + 𝑟. �̈�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 + 𝑟. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̇�. �̌�𝜑
+ 𝑟. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. [−�̇�. (�̌�𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + �̌�𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃)] 
 
Operando algebraicamente y agrupando todos los términos de un mismo versor, 
llegamos a: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) = [�̈� − 𝑟. �̇�
2 − 𝑟. �̇�2. (𝑠𝑒𝑛𝜃)2]. �̌�𝑟 + [�̇�. �̇� + �̇�. �̇� + 𝑟. �̈� − 𝑟. �̇�
2. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃]. �̌�𝜃
+ [�̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑟. �̇�. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑟. �̈�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + +𝑟. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̇�]. �̌�𝜑 
 
O bien: 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ (𝒕) = [�̈� − 𝒓. �̇�
𝟐 − 𝒓. �̇�𝟐. (𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐] �̌�𝒓 + [𝟐. �̇�. �̇� + 𝒓. �̈� − 𝒓. �̇�
𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝜽]. �̌�𝜽
+ [𝟐. �̇�. �̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟐. 𝒓. �̇�. �̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒓. �̈�. 𝒔𝒆𝒏𝜽]. �̌�𝝋 (𝟔) 
 
VI. VELOCIDAD ANGULAR DE LA TERNA ESFÉRICA: 
 
 
En cilíndricas era muy fácil porque la terna rotaba alrededor de un de sus propios ejes 
coordenados (el eje Z), y el eje de rotación se mantenía fijo en el espacio. Era una rotación 
de las que en cuerpo rígido (más adelante) denominaremos Rotación “pura”. 
 
En cambio, en esféricas hemos definido dos rotaciones (ϴ y φ), que están en distinto 
plano… Luego, las velocidades con las que se producen estas dos rotaciones, también 
tendrán distinta dirección. 
 
Llamemos �̅� al vector velocidad angular que produce la variación de 𝜃, y �̅� al vector 
velocidad angular que produce la variación de 𝜑. 
 
Ambas velocidades angulares se deben combinar, y darán por resultado la velocidad 
angular total, de la terna móvil, en coordenadas esféricas. Como �̅� y �̅�, son vectores libres, 
tendremos: 
 
𝜔𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� + �̅� (7) 
 
Observando la ecuación (7), vemos que el primer término del segundo miembro, que 
es la velocidad angular con la que gira el vector posición respecto del eje Z de la terna 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
cartesiana fija, tiene la dirección y sentido del versor �̌�𝜑. Pero el segundo término, que es la 
segunda velocidad angular que compone la velocidad angular total de la terna, mide la 
velocidad de giro de una rotación en el plano X-Y, y por lo tanto, tiene la dirección del eje Z (o 
versor �̌�) de la terna cartesiana fija: 
 
 Entonces: 
 
{
�̅� =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. �̌�𝜑 = �̇�. �̌�𝜑, 𝑦
�̅� =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
. �̌� = �̇�. �̌� 
 (8) 
 
La terna esférica tiene un punto fijo (un polo, que es su origen de coordenadas), y tiene 
un eje de rotación que no es fijo, pero que pasa siempre por el polo y pivotea aleatoriamente 
alrededor de éste. Se trata entonces, de una rotación polar (rotación con un punto fijo). 
Combinando (7) y (8), su expresión queda: 
 
𝜔𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̇�. �̌�𝜑 + �̇�. �̌� 
 
Donde tenemos el primer término en componentes de la terna móvil (TM ) y el segundo 
expresado en un versor de la terna fija (TF). Obviamente, tenemos que expresar esa 
velocidad en los versores de la ( TM )… Ahora bien, es evidente que el versor �̌� tiene 
proyecciónen �̌�𝑟 y �̌�𝜃. En �̌�𝜑 no, porque este último está en el plano X-Y, y pasa por O1 (origen 
de la TM) que coincide con O (origen de la TF), y por lo tanto es perpendicular a Z. 
 
Luego, las proyecciones de �̅� en �̌�𝑟 y �̌�𝜃 serán: 
 
�̅� = �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝑟 − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 
 
Y la expresión completa de la velocidad angular de la TM, en los ejes de la TM, queda: 
 
𝜔𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� + �̅� = �̇�. �̌�𝜑 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝑟 − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 
 
Ordenando: 
 
𝝎𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̇�. 𝒄𝒐𝒔𝜽. �̌�𝒓 − �̇�. 𝒔𝒆𝒏𝜽. �̌�𝜽 + �̇�. �̌�𝝋 (𝟗) 
 
Su módulo |�̅�𝑇𝑀| = 𝜔𝑇𝑀, valdrá: 
𝝎𝑻𝑴 = √𝝋
𝟐̇ + 𝜽�̇� (𝟏𝟎) 
 
____________________________ 
 
 
Para corroborar los resultados podemos ver si la ecuación (9) satisface Poisson: 
 
Es decir, si: 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
{
 
 
 
 
𝑑𝑒�̌�
𝑑𝑡
= 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ⋀𝑒�̌�
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ⋀�̌�𝜃
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ⋀�̌�𝜑
 
 
Veamos: 
 
𝑑𝑒�̌�
𝑑𝑡
= 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ⋀𝑒�̌� = (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒�̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 + �̇�. �̌�𝜑 )⋀𝑒�̌� 
 
𝑑𝑒�̌�
𝑑𝑡
= �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 + �̇�. �̌�𝜃 
 
Que da exactamente lo mismo que la primera de las ecuaciones (4), que obtuvimos 
por otro método (a partir de derivadas del vector posición, expresado en coordenadas 
cartesianas). 
 
Lo mismo podemos hacer para encontrar las derivadas temporales de los otros dos 
versores: 
 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒�̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑒�̌� )⋀�̌�𝜃 
 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 − �̇�. 𝑒�̌� 
Y por último: 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒�̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 + �̇�. �̌�𝜑 )⋀�̌�𝜑 
 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒�̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑒�̌� 
 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. (𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑒�̌� + 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜃) 
 
Y vemos que también coinciden con lo obtenido en (4). 
 
VII. RESUMEN. 
 
El sistema de coordenadas esféricas es un sistema móvil, no inercial, triortogonal 
derecho, con origen O1, fijo. 
 
Las expresiones del vector posición, velocidad instantánea y, aceleración instantánea 
para un punto P, en coordenadas esféricas, serán: 
 
{
 
 
 
 
�̅�(𝑡) = (𝑃 − 𝑂1) = 𝑟. 𝑒�̌� 
𝑉𝑃̅̅ ̅(𝑡) = �̇�. 𝑒�̌� + 𝑟. �̇�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) = [�̈� − 𝑟. �̇�
2 − 𝑟. �̇�2. (𝑠𝑒𝑛𝜃)2] 𝑒�̌� + [2. �̇�. �̇� + 𝑟. �̈� − 𝑟. �̇�
2. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃]. �̌�𝜃 +
+[2. �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2. 𝑟. �̇�. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟. �̈�. 𝑠𝑒𝑛𝜃]. �̌�𝜑
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 
Asimismo: 
 
𝜔𝑇̅̅ ̅̅ = �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒�̌� − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜃 + �̇�. �̌�𝜑 𝑦 𝜔𝑇 = √𝜑
2̇ + 𝜃2̇ 
 
 
 
 
 
 
 
VIII. EJERCICIO RESUELTO 
 
 
EJEMPLO. (Enunciado extraído del libro de Argüello) 
 
El disco de la figura gira con velocidad angular constante: 𝜔 = �̇� = 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔. Al 
mismo tiempo, el brazo articulado AB se eleva con una velocidad angular constante también: 
�̇� =
2.𝜋
3
 rad/seg. La esfera P desliza a lo largo de AB con una ley horaria: 𝑟 = 2 + 8. 𝑡2, con r 
en centímetros y t en segundos. Si en el instante inicial los dos ángulos son nulos (𝜑 = 0; 𝜃 =
0, se pide: a) Velocidad y aceleración del punto P en coordenadas esféricas; b) Velocidad y 
aceleración en coord. esféricas para t = 0,5 seg; c) Componentes intrínsecas de la velocidad 
y la aceleración para t = 0,5 seg; d) componentes cartesianas de la velocidad para t = 0,5 seg. 
 
Solución: 
 
La primera observación que tenemos que hacer es la forma en la que se midió el 
ángulo 𝜃. En efecto, en el desarrollo de las fórmulas se midió el ángulo cenital, desde el eje Z 
de la TM, hasta el eje radial de la TM. Aquí en cambio, se mide el ángulo de elevación, que 
va desde el horizonte (plano X-Y), que es el complementario del ángulo anterior. Este cambio, 
modifica también la dirección de los versores �̌�𝜃 y �̌�𝜑. 
 
Si hacemos caso omiso a la dirección de crecimiento del ángulo y nos abocamos a la 
medición puntual, lo podemos resolver considerando el ángulo complementario: 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 
 
 
�̇� =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
2. 𝜋
3
.
rad
seg
 → dθ = 
2. 𝜋
3
.
rad
seg
. 𝑑𝑡 → ∫ dθ
𝜃
𝜃0=0
= ∫
2. 𝜋
3
.
rad
seg
. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜=0
 
 
𝜃 =
2. 𝜋
3
. 𝑡 
 
Luego: 
𝜃´ =
𝜋
2
−
2. 𝜋
3
. 𝑡 
Y la velocidad angular: 
�̇�´ = −
2. 𝜋
3
 
Trabajando con 𝜃´ y con �̇�´, podemos utilizar las ecuaciones que hemos deducido en 
la teoría. Haciendo cuentas, obtenemos los siguientes resultados: 
 
 
Luego la velocidad y la aceleración, serán: 
 
 
Es decir, 
 
Variable seno coseno
Rho 4 8 16
Tita 0,52359878 -2,0943951 0 0,5 0,8660254
Fi 0,52359878 1,04719755 0 0,5 0,8660254
rho Tita Fi
Vel 8 -8,37758041 2,0943951 11,7715906
Acel -2,64258609 -35,4097279 -6,81766961 36,1567796
Componentes
Módulo
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
�̅�𝑃(𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔) = 8. �̌�𝑟 − 8,3776. �̌�𝜃 + 2,094. �̌�𝜑 [𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔] 
 
Con módulo: 
|�̅�𝑃(𝑡=5𝑠𝑒𝑔)| = 𝑉𝑃 (5 𝑠𝑒𝑔) = 11,77 𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 
 
La aceleración: 
�̅�𝑃,(𝑡=5𝑠𝑒𝑔) = −2,64. �̌�𝑟 − 35,41. �̌�𝜃 − 6,82. �̌�𝜑 [𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔
2] 
 
--------------------------------------- 
 
Otra alternativa puede ser redefinir la dirección de los ejes… Aunque si lo hacemos, 
hay que modificar las ecuaciones… Hagámoslo solo para comparar los resultados. 
 
Pasamos primero a cartesianas: 
 
{
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [𝑧/ (√𝑥2 + 𝑦2)] 
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦/𝑥) 
 (𝑖) 
 
 
{
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑; 
𝑦 = −𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑:
𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 (𝑖𝑖) 
 
Versores: 
 
{
�̌�𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌� 
�̌�𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌� 
�̌�𝜑 = −𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ − 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ = −(𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌)
 (𝑖𝑖𝑖) 
 
Si multiplicamos los dos miembros de la 1ra. ec. de las (iii) por 𝑐𝑜𝑠𝜃 y la 2da. por −𝑠𝑒𝑛𝜃 
y luego sumamos m.am., obtenemos 1 ec. adicional: 
 
�̌�𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − �̌�𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ (𝑖𝑣) 
 
Derivadas: 
 
{
 
 
 
 
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
= (−𝜃.̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑 − �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑). 𝑖̌ + (�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑 − �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑). 𝑗̌ + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌� 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= (−�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑 + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑). 𝑖̌ + (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑.+�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑). 𝑗̌ − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌� 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ = −�̇�. (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) 
 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
{
 
 
 
 
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
= [−𝜃.̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�] − �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. (𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗) 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= [−�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�] + �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. (𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌) 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) 
 
 
Que teniendo en cuenta (iii) y (iv): 
 
{
 
 
 
 
𝑑�̌�𝑟
𝑑𝑡
= �̇�. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 
𝑑�̌�𝜃
𝑑𝑡
= −�̇�. �̌�𝑟 − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑 
𝑑�̌�𝜑
𝑑𝑡
= −�̇�. (�̌�𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − �̌�𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃)
 (𝑣) 
 
 
Vector posición: 
 
�̅�(𝑡) = 𝑟. �̌�𝑟 (𝑣𝑖) 
 
Vector velocidad: 
 
�̅�(𝑡) = �̇�. �̌�𝑟 + 𝑟. �̇�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 (𝑣𝑖𝑖) 
 
Aceleración: 
 
�̅�(𝑡) = �̈�. �̌�𝑟 + �̇�. (�̇�. �̌�𝜃 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑) + �̇�. �̇�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̈�. �̌�𝜃 + 𝑟. �̇�. (−�̇�. �̌�𝑟 − �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃. �̌�𝜑)
+ �̇�. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 + 𝑟. �̈�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. �̌�𝜑 − 𝑟. �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃.�̌�𝜑
+ 𝑟. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃. [�̇�. (−�̌�𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + �̌�𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃)] 
 
�̅�(𝑡) = [�̈� − 𝑟. �̇�
2 − 𝑟. �̇�2. 𝑐𝑜𝑠2𝜃]�̌�𝑟 + [2. �̇�. �̇� + 𝑟. �̈� + 𝑟. �̇�
2. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃]. �̌�𝜃
+ [2. �̇�. �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2. 𝑟. �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑟. �̈�. 𝑐𝑜𝑠𝜃]. �̌�𝜑 (𝑣𝑖𝑖𝑖) 
 
Integramos y/o derivamos (según corresponda) las leyes horarias: 
 
𝑟 = 2 + 8. 𝑡2 → �̇� = 16. 𝑡 → �̈� = 16 
 
𝜃 =
2. 𝜋
3
. 𝑡 ← �̇� =
2. 𝜋
3
rad/seg → �̈� = 0 
 
𝜑 = −
𝜋
3
. 𝑡 ← �̇� = 𝜔 = − 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 → �̈� = 0 
 
El ángulo 𝜑 y la velocidad angular �̇� se tienen que tomar negativas porque en la terna 
modificada que hemos desarrollado, el crecimiento de 𝜑 es para el lado contrario al explicitado 
en el enunciado. 
 
a) Velocidad y aceleración en la terna esférica modificada: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 Reemplazando con los datos del enunciado: 
 
�̅�(𝑡) = (2 + 8. 𝑡2). 𝑒�̌� 
 
�̅�(𝑡) = 16. 𝑡. 𝑒�̌� + (2 + 8. 𝑡
2).
2. 𝜋
3
. �̌�𝜃 − (2 + 8. 𝑡
2).
𝜋
3
. 𝑐𝑜𝑠 (
2. 𝜋
3
. 𝑡) . �̌�𝜑 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡) = [16 − (2 + 8. 𝑡
2).
4. 𝜋2
9
− (2 + 8. 𝑡2).
𝜋2
9
. [𝑐𝑜𝑠 (
2. 𝜋
3
. 𝑡)]
2
] . 𝑒�̌�
+ [2. (16. 𝑡).
 2. 𝜋
3
+ (2 + 8. 𝑡2).
𝜋2
9
. 𝑐𝑜𝑠 (
2. 𝜋
3
. 𝑡) . 𝑠𝑒𝑛 (
2. 𝜋
3
. 𝑡)] . �̌�𝜃
+ [−2. (16. 𝑡).
𝜋
3
. cos (
2. 𝜋
3
. 𝑡) + 2. (2 + 8. 𝑡2).
2. 𝜋
3
.
𝜋
3
. 𝑠𝑒𝑛 (
2. 𝜋
3
. 𝑡)] . �̌�𝜑 
 
Operando: 
 
�̅�(𝒕) = (𝟐 + 𝟖. 𝒕𝟐). 𝒆�̌� 
 
�̅�(𝒕) = 𝟏𝟔. 𝒕. 𝒆�̌� + (𝟐 + 𝟖. 𝒕
𝟐).
𝟐. 𝝅
𝟑
. �̌�𝜽 − (𝟐 + 𝟖. 𝒕
𝟐).
𝝅
𝟑
. 𝒄𝒐𝒔 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕) . �̌�𝝋 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ (𝒕) = [𝟏𝟔 −
𝟒
𝟗
. (𝟐 + 𝟖. 𝒕𝟐). 𝝅𝟐 −
𝟏
𝟗
. (𝟐 + 𝟖. 𝒕𝟐). 𝝅𝟐. [𝒄𝒐𝒔 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕)]
𝟐
] . 𝒆�̌�
+ [
𝟔𝟒
𝟑
. 𝝅. 𝒕 +
𝟏
𝟗
. (𝟐 + 𝟖. 𝒕𝟐). 𝝅𝟐. 𝒄𝒐𝒔 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕) . 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕)] . �̌�𝜽
+ [−
𝟑𝟐
𝟑
. 𝝅. 𝒕. 𝐜𝐨𝐬 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕) +
𝟒
𝟗
. (𝟐 + 𝟖. 𝒕𝟐). 𝝅𝟐. 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐. 𝝅
𝟑
. 𝒕)] . �̌�𝝋 
 
b) Velocidad y aceleración en coordenadas esféricas modificadas para t = 0,5 
seg. 
 
�̅�(𝑡=0,5 𝑠𝑒𝑔) = 4 𝑐𝑚 𝑒�̌� 
 
�̅�(𝑡=0,5 𝑠𝑒𝑔) = 8 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
 𝑒�̌� + 8,3776 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
�̌�𝜃 − 2,0944 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
 �̌�𝜑 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅(𝑡=0,5𝑠𝑒𝑔) ≅ −2,6426 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
 𝑒�̌� + 35,41 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
 �̌�𝜃 + 6,82 
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
 �̌�𝜑 
 
Comparar estas expresiones con las obtenidas utilizando el ángulo 
complementario. Cambian únicamente en los signos. ¿Por qué será? 
 
c) Componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración para t = 0,5 seg. 
 
Hallamos el módulo del vector velocidad: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
|�̅�(𝑡=0,5 𝑠𝑒𝑔)| = √(8)2 + (8,3776)2 + (2,0944)2 ≅ 11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
 
 
Hacemos el producto escalar de �̅�. �̅� en esféricas, 
 
�̅�. �̅� ≅ 261,226 𝑐𝑚2/𝑠𝑒𝑔3 
 
 Hacemos el producto vectorial en esféricas: 
 
�̅� ∧ �̅� ≅ 𝑒�̌� . [8,38 × (6,82) − (−2,09) × 35,41)] − �̌�𝜃. [8 × (6,82) − (−2,09) × (−2,64)]
+ �̌�𝜑 . [8 × 35,41 − 8,38 × (−2,64)]
≅ (131,16. 𝑒�̌� + 49,04. �̌�𝜃 + 305,4. �̌�𝜑)
𝑐𝑚2
𝑠𝑒𝑔3
 
 
 Para hallar las componentes de los vectores velocidad y aceleración en 
intrínsecas, aplicamos las siguientes ecuaciones: 
 
𝑉𝑡𝑔 = �̇�(𝑡) = |�̅�| = 𝑉 ≅ 11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
 
 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
≅
261,226 𝑐𝑚2/𝑠𝑒𝑔3
11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
≅ 22,19 𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔2 
 
𝑎𝑛 =
|�̅� ∧ �̅�|
𝑉
≅
|(131,16. 𝑒�̌� + 49,04. �̌�𝜃 + 305,4. �̌�𝜑)
𝑐𝑚2
𝑠𝑒𝑔3
|
11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
 
 
𝑎𝑛 ≅ √(11,14)
2 + (4,17)2 + (25,94 )2
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
≅ 28,54
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
 
 
 Luego, si queremos los vectores velocidad y aceleración en intrínsecas: 
 
�̅�𝐼𝑁𝑇 = �̇�(𝑡). �̌� ≅ 11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
. �̌� 
 
�̅�𝐼𝑁𝑇 = 𝑎𝑡𝑔. �̌� + 𝑎𝑛. �̌� ≅ 22,19
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
. �̌� + 28,54
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
. �̌� 
 
 
 Si queremos el radio de curvatura de flexión, podemos hacer: 
 
𝜌 =
�̇�3
|�̅� ∧ �̅�|
≅
(11,772
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
)
3
|(131,16. 𝑒�̌� + 49,04. �̌�𝜃 + 305,4. �̌�𝜑)
𝑐𝑚2
𝑠𝑒𝑔3
|
≅
1631,363
335,972
𝑐𝑚 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Esféricas 
 
 
 
𝝆(𝒕=𝟎,𝟓 𝒔𝒆𝒈) ≅ 𝟒, 𝟖𝟓𝟔 𝒄𝒎 
 
 
d) Componentes de los vectores velocidad y aceleración en coordenadas 
cartesianas. 
 
Como en (iii) tenemos las expresiones de los vectores de la base esférica 
modificada, expresados en coordenadas cartesianas, podemos construir fácilmente la 
matriz de cambio de base de esféricas a cartesianas (𝐴𝐸,𝐶): 
 
Encuentre la matriz. Tenga en cuenta que en esta base los ángulos deben ser: 
 
{
𝜃 =
2
3
. 𝜋. 𝑡 
𝜑 = −
𝜋
3
. 𝑡 
 
 
Que para t = 0,5 seg: 
{
𝜃 =
𝜋
3
= 60" 
𝜑 = −
𝜋
6
= −30° 
 
 
Evalúe la matriz en t = 0,5 seg, y luego: 
 
�̅�𝐶𝐴𝑅𝑇, 𝑡=2𝑠𝑒𝑔 = 𝐴𝐸,𝐶 . �̅�𝐸𝑆𝐹 
 
�̅�𝐶𝐴𝑅𝑇, 0,5 𝑠𝑒𝑔 = 𝐴𝐸,𝐶 . �̅�𝐸𝑆𝐹 
 
 Le dejamos los cálculos al lector interesado. Para comprobar, recuerde que el 
módulo de los vectores velocidad y aceleración, deben ser iguales, en cualquier 
sistema de coordenadas. 
 
 
IX. BIBLIOGRAFÍA 
 
 
1. Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 2007; 
2. Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros, tomo II, Mecánica, de Beer-Johnston, Editorial 
Mc. Graw Hill; 
 
 
 
__________________________