04_MdCF_Stress

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Stress
Sebastián Jaroszewicz
2017
Sebastián Jaroszewicz Stress
Contenidos
Introducción
Vector de tensión
Fórmula de Cauchy
Derivación de la fórmula de Cauchy en 2D
Tensor de tensiones
Valores principales
Relaciones de transformación
Otras medidas de la tensión
Sebastián Jaroszewicz Stress
Introducción
Definición
La fuerza por unidad de área, llamada tensión, es una medida de la
capacidad del material de soportar cargas, y los diseños estan basados en el
criterio de que el material usado soporte las cargas de trabajo del sistema.
Todos los materiales tienen determinados umbrales para soportar fuerzas,
más allá de los cuales fallan en cumplir con la condición deseada.
La tensión en un punto de un continuo tridimensional puede ser medida
en términos de nueve cantidades, tres por plano, sobre tres planos
mutuamente perpendiculares en dicho punto.
Estas nueve cantidades pueden ser vistas como las componentes de un
tensor de segundo orden llamado tensor de tensiones
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Fuerzas sobre un medio continuo
Podemos distinguir basicamente dos clases de fuerza actuando sobre un
medio continuo:
Fuerzas en volumen
Actúan sobre todo el cuerpo. Ejemplos t́ıpicos son la fuerza de gravedad y la
inercia. Las designaremos con los śımbolos:
bi : Fuerza por unidad de masa.
pi : Fuerza por unidad de volumen.
Fuerzas en superficie
Actúan y se distribuyen de alguna manera sobre la superficie del cuerpo.
Ejemplos de este tipo de fuerzas son las de contacto o las fuerzas de
transmisión a través de una superfice interna. Sus dimensiones son fuerza por
unidad de area y las designaremos con el śımbolo fν
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Tensiones en un continuo
La tensión verdadera es la fuerza en la configuración deformada κ
medida por unidad de área de la misma.
La fuerza superficial que actúa sobre un elemento de área en un medio
continuo depende no solo de la magnitud del área, sino también de la
orientación de la misma.
Se toma, por convención, la dirección de la normal aquella en la cual
avanza un tornillo de rosca derecha de acuerdo a la dirección de
recorrido a lo largo del contorno.
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Vector de tensión
Principio de Cauchy
t(n̂) = ĺım
∆a→0
∆f
∆a
t(−n̂) = ĺım
∆a→0
−∆f
∆a
t(n̂) = −t(−n̂) t(−n̂) = −t(n̂)
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Ejemplo en 2D
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Fórmula de Cauchy
Para establecer la relación entre t y n̂ vamos a contruir un tetraedro.
Por la segunda ley de Newton aplicada a la masa dentro del tetraedro
t∆a− t1∆a1 − t2∆a2 − t3∆a3 + ρ∆v f = ρ∆va
Como ∆ai = (êi · n̂)∆a, tenemos que t = ti(êi · n̂) + ρ
∆h
3
(a− f)
que es igual a t = ti(êi · n̂) si ∆h→ 0
Fórmula de Cauchy
t(n̂) = σ · n̂ con σ ≡ t1ê1 + t2ê2 + t3ê3 = tj êj
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Tensor de Cauchy
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Notación de las componentes de tensión
Notación
El primer sub́ındice de las componentes del tensor de Cauchy denotan el
plano en el cual actúa y el segundo sub́ındice describe la dirección de la
componente de tensión
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Forma matricial de la fórmula de Cauchy
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Ejemplo
Dado el siguiente tensor de tensiones en coordenadas cartesianas
[σ] =
 5 −2 0−2 −1 0
0 0 −3

(a) Mostrar las componentes de tensión en un cubo.
(b) Determinar los vectores de tracción t(i), t(j) y t(k).
(c) Dibujar los vectores de tracción en el cubo de tensiones.
Solución:
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Solución (b)
 txty
tz
 =
 5 −2 0−2 −1 0
0 0 −3
 nxny
nz

 txty
tz
 =
 5 −2 0−2 −1 0
0 0 −3
 10
0
 =
 5−2
0
⇒ t(i) = 5̂i− 2̂j
 txty
tz
 =
 −2 −1 0−2 −1 0
0 0 −3
 01
0
 =
 −2−1
0
⇒ t(j) = −2̂i− ĵ
 txty
tz
 =
 5 −2 0−2 −1 0
0 0 −3
 00
1
 =
 00
−3
⇒ t(k) = −3k̂
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Valores principales de la tensión
Dado un estado de tensión, es de considerable interés le determinar los
valores máximos de tensión tanto normal como de corte en un punto, debido
a que el diseño de estructuras las fallas ocurren cuando estas magnitudes
exceden los valores permitidos para un determinado material. En vista de esto
es necesario conocer los valores y planos donde la tensión es máxima. Con
este propósito debemos encontrar los autovalores y autovectores asociados al
tensor de tensiones, para lo cual debemos resolver la siguiente ecuación
t = σ · n̂ = λn̂ ó (σ − λI) = 0
El pedir que el determinante |σ − λI| conduce a una ecuación de tercer grado:
−λ3 + I1λ2 − I2λ+ I3 = 0
donde los Ii son los invariantes de σ definidos como:
I1 = σii , I2 =
1
2
(σiiσjj − σijσji ), I3 = |σ|
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Ejemplo
Las componentes de la tensión referidas al sistema (x1, x2, x3) son:
[σ] =
 12 9 09 −12 0
0 0 6

Encontrar las componentes principales de la tensión y los planos asociados a
ellas.
Solución
Claramente λ = 6 es un autovalor. Expandiendo el determinante por la tercer
columna obtenemos
(6− λ)[(12− λ)(−12− λ)− 81] = 0⇒ (λ2 − 225)(6− λ) = 0
Por lo tanto las tensiones principales son
σ1 = 15, σ2 = 6, σ3 = −15
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Solución
El plano asociado con la tensión principal máxima σ1 = 15 se puede calcular
de  12− 15 9 09 −12− 15 0
0 0 6− 15
 n1n2
n3
 =
 00
0

lo que da
−3n1 + 9n2 = 0, 9n1 − 27n2 = 0, −9n3 = 0→ n3 = 0, n1 = 3n2
n̂(1) =
1√
10
(3ê1 + ê2)
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Relaciones de transformación
Las relaciones de transformación del tensor de tensiones son la de un tensor
de segundo orden:
σ̄ij = limljmσmn
[σ̄] = [L][σ][L]T
donde, como vimos anteriormente lij = ˆ̄ei êj .
A modo de ejemplo, consideremos el caso en el que las coordenadas del
sistema transformando se obtienen rotando el plano x1x2 un ángulo θ
alrededor del eje x3 en contra de las agujas del reloj.
[L] =
 cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
 =
 l11 l12 0l21 l22 0
0 0 l33

 σ̄11 σ̄12 σ̄13σ̄21 σ̄22 σ̄23
σ̄31 σ̄32 σ̄33
 =
 l11 l12 0l21 l22 0
0 0 1
 σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
 l11 l21 0l12 l22 0
0 0 1

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Relaciones de transformación (continuación)
Por lo tanto las componentes del tensor de tensión luego de la
transformación estarán dadas por las siguientes relaciones:
Componentes del tensor transormado
σ̄11 = σ11 cos
2 θ + (σ12 + σ21) cos θ sin θ + σ22 sin
2 θ
σ̄12 = (σ22 − σ11) cos θ sin θ + σ12 cos2 θ − σ21 sin2 θ
σ̄13 = σ13 cos θ + σ23 sin θ
σ̄21 = (σ22 − σ11) cos θ sin θ + σ21 cos2 θ − σ12 sin2 θ
σ̄22 = σ11 cos
2 θ − (σ12 + σ21) cos θ sin θ + σ22 cos2 θ
σ̄23 = −σ13 sin θ + σ23 cos θ
σ̄31 = σ31 cos θ + σ32 sin θ
σ̄32 = −σ31 sin θ + σ32 cos θ
σ̄33 = −σ33
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Otras medidas de tensión
El tensor de tensión de Cauchy es la medida más natural del estado de
tensión en un punto en la configuración deformada. Es, por lo tanto, la
cantidad más comúnmente usada en la descripción espacial en mecánica de
fluidos. Pero, con el objeto de usar la descripción Lagrangiana como
usualmente se hace en mecánica del sólido deformable, las ecuaciones de
movimiento o equilibrio del material deben expresarse en términos de la
configuración de referencia. Para hacer esto se introducen otras medidas de
la tensión. Las mismas emergen de manera natural cuando transformamos los
volúmenes y áreas desde la configuración deformada a la de referencia. Estas
medidas son puramente matemáticas pero sirven para facilitar el análisis.
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Primer tensor de Piola-Kirchoff
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Segundo tensor de Piola-Kirchoff
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Relaciones entre los diferentes tensores de tensión
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Resumen
En esta unidad se introdujo el concepto de tensión en un continuo y se
definió el vector de tensión en un punto (t). Se mostró que (t) dependede la
orientación del plano (n) sobre el que actúa. Entonces se estableió una
relación entre (t) actuando sobre el plano normal (n) y los vectores de
tensión actuando sobre tres planos mutuamente perpendiculares. Con esto se
pudo introducir el tensor de tensiones de Cauchy como una diada respecto a
una base cartesiana σ = σijeiej
Luego se estudiaron otras dos medidas de la tensión, a saber, los tensores de
Piola-Kirchoff primero y segundo P y S. Mientras que el tensor de Cauchy
mide la fuerza actual por unidad de area deformada, el primer tensor de
Piola-Kirchoff mide la fuerza actual por unidad de area sin deformar y el
segundo tensor de Piola-Kirchoff mide la fuerza actual transformada por
unidad de area sin deformar. La relación de estos dos tensores con el de
Cauchy está dada por
P = Jσ · F−T = F · S, S = F−1 · P = JF−1 · σ · F−T
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