Estatica resumen

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ESTÁTICA 
 
M. EN I. GARCÍA GÁLVEZ FAUSTO SALVADOR 
 
ALUMNO: GARCÍA ESPINOSA OLIVER ALEXIS 
 
NUMERO DE CONTROL: 19510031 
 
PERIODO: ENERO- JUNIO 
 
INGENIERIA CIVIL 
 
SEMESTRE: 3 GRUPO: A 
 
RESUMEN DE MOMENTO DE INERCIA, TEOREMA DE LOS EJES 
PARALELOS, RADIO DE GIRO Y PRODUCTO DE INERCIA 
 
 
 
07 DE MAYO DEL 2020 TAPACHULA, CHIAPAS 
INDÍCE. 
 
OBJETIVO 
INTRODUCCIÓN 
DESARROLO 
CONCLUSIÓN 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO. 
 
➢ Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de la 
rotación del cuerpo rígido. 
 
 
➢ Medir el momento de inercia de un cuerpo. 
 
➢ Comprobar el teorema de los ejes paralelos. 
 
➢ Interiorizar el concepto de inercia rotacional. 
 
➢ Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de 
cuerpos. 
 
 
➢ Reconocer el carácter aditivo del momento de inercia y verificar el teorema de 
ejes paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN. 
El momento de inercia (símbolo l) es una medida de la inercia rotacional de un 
cuerpo. Cuando un cuerpo gira entorno a uno de los ejes principales de inercia. La 
inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada 
momento de inercia. Sin embargo, el caso más general posible la inercia rotacional 
debe de representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y 
componentes que forman el llamado tensor de inercia, La descripción tensorial es 
necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos 
giroscópicos. 
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o un sistema de 
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo 
depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende 
de las fuerzas que intervienen en el movimiento. 
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el 
caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular 
longitudinal de un solido rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO DE INERCIA. 
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su 
movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente 
en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo 
tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar 
moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”. 
Un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar 
elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se puede tomar en 
cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la 
perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza. 
El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo 
Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica 
de la sección transversal de los elementos estructurales. 
Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la 
suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por 
el cuadrado de su distancia al eje. 
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema 
de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia 
desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento 
rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un 
sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien 
de la distribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un 
mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de 
rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener 
distintos momentos de inercia, dependiendo de dónde se considere el eje de 
rotación. Mientras más masa está más alejada del eje de rotación, mayor es el 
momento de inercia. El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. 
Ejemplo: cm4, m4, pulg4. 
 
 
 
 
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la 
rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección 
de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su 
Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone al 
cambio de su velocidad de giro’’. 
El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable 
a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto 
a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma 
velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El 
momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en 
un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor 
es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y 
deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento 
estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento 
estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. 
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia 
Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes 
perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el 
eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas 
relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados 
con la rotación de placas. 
En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado 
segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad 
geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el 
segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones 
máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con 
las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento 
estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas 
dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el 
concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por 
longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan 
"momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este 
artículo. 
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que 
trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras 
dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de 
tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el 
cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento 
flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se 
producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse 
tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de 
un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un 
modelo de prisma mecánico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La geometría es una de las ramas de las matemáticas caracterizada por centrarse 
en el estudio de las propiedades de figuras que pueden ser en el plano o en el 
espacio. Dentro de esta rama se pueden encontrar los puntos, rectas, planos, 
politopos, entre otros. De esta parte se desprenden muchas cosas más, como suele 
suceder dentro de las matemáticas. Se tieneque tener en cuenta que es la base del 
dibujo técnico. 
Dentro de todo el mundo de la geometría existen muchos teoremas, entre los cuales 
destaca el Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner. Se trata de uno de los 
teoremas de la geometría elemental, el cual en este caso fue creado por C. L. 
Lehmus, pero que fue probado por Jakob Steiner. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se deberá de considerar el momento de inercia de un objeto plano: este va a tener 
su momento sobre un eje perpendicular al plano se considera la suma de los 
momentos de inercia cuando es sobre dos ejes. Esto quiere decir que ocurre un 
crece entre objetos en el plano que es perpendicular. 
Esto es lo que se denomina como Teorema de ejes paralelos. No solamente es 
utilizada para los objetos planos. Sino que también es primordial para poder 
construir momentos de inercia sobre objetos tridimensionales. Uno de los casos 
puede ser el cilindro. 
 
El momento de inercia de área de una sección compuesta (ver diagrama con 
ejemplo de sección L) se calcula de la siguiente manera: 
Dividir la sección completa en formas simples de la sección (por ejemplo, cuadros, 
triángulos, círculos). 
 
El teorema de ejes paralelos tiene como principal objetivo que se pueda rotar un 
objeto con respecto a varios ejes. En las tablas suele expresarse solo el momento 
de iniciar respecto al eje que puede atravesar el centroide. Una de las principales 
ventajas que da este teorema es la facilidad para poder calcular cuando se necesita 
hacer girar un cuerpo sobre ejes y estos no pueden coincidir. 
Como el teorema de álgebra, este también se trata de explicar de una forma en la 
cual todas las personas que lean este artículo puedan comprender la forma en que 
se aplica. Un ejemplo claro en el cual se puede hacer uso de este teorema es: una 
puerta no gira por un eje que atraviesa su centroide, sino que es por un eje lateral 
donde se encuentran las bisagras. Es la forma sencilla en la cual se puede entender 
el teorema de ejes paralelos. 
Se puede llegar a calcular la energía cinética que se aplica sobre el eje. Esto puede 
ser porque K es la energía cinética, I el momento de inercia sobre el eje y la w es la 
velocidad angular. Por lo que la fórmula que se aplica para este tipo de casos es la 
siguiente: 
K = ½ I.ω2 
A pesar de que la fórmula es similar a la que se utiliza para la energía cinética en 
un objeto de masa, esta es muy diferente. Debido a que también se considera la 
velocidad y es la siguiente: v: K =½ M.v2. 
 
RADIO DE GIRO. 
En ingeniería estructural, el radio de giro describe la forma en la cual el área 
transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. 
Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección 
o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma. 
El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada 
del cociente del segundo momento de área dividido por el área: 
 
 
 
Donde: 
𝑟𝐺: Radio de Giro 
𝐼: Segundo momento de área o momento de inercia de la sección 
𝐴: Área de la sección transversal 
Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de 
gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de mayor radio de giro 
presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a 
pandeo. 
El radio de giro para diversas secciones transversales es: 
Sección cuadrada de lado 𝑙: 
 
 
Sección circular de radio 𝑟: 
 
 
 
 
𝑟𝐺 =
𝑙
ξ12
 
𝑟𝐺 =
𝑟
2
 
𝑟𝐺 = ඨ
𝐼
𝐴
 
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede 
interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar 
toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje de 
la masa real. 
Mientras que 𝑟 es la distancia del punto donde se concentra la masa del cuerpo al 
centro de gravedad (C) por el cual pasa su eje de rotación. 
El radio de giro se podrá expresar como producto de la masa m del cuerpo por el 
cuadrado de una longitud 𝑘 que es el radio de giro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La integral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento 𝑑𝐴 de un área A por 
sus coordenadas x e y e integrando sobre toda el área, se conoce como el producto 
de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los momentos 
de inercia 1x e IY, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero. 
𝐴′ 
𝐴 
𝑘 
Eje del cuerpo rígido Eje cualquiera 
C 
𝐼 = 𝑚𝑘2 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑘 = ඨ
𝐼
𝑚
 𝑘 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 
PRODUCTO DE INERCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
El producto de inercia del área respecto a un sistema de ejes perpendiculares y 
e z, se define como: 
 
𝐼𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴
 
𝐴
 
 
 
Al igual que en los momentos de inercia, la dimensión del producto de inercia tiene 
unidades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo,𝑚4 , 𝑚𝑚4, 𝑜 𝑝𝑖𝑒𝑠4, 𝑝𝑢𝑙𝑔4. Sin 
embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en 
la Figura a), o nulo, como se muestra en la Figura b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Producto de inercia: signos b) sección simétrica respecto al eje z 
Si toda el área se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia, 
el producto de inercia es positivo, ya que y z son siempre positivas. Si toda el área 
se encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que la 
coordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si toda el área se 
encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, 
respectivamente. Cuando el área se sitúa en más de un cuadrante, el signo del 
producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes. 
Cuando uno de los ejes es de simetría, los productos de inercia de cada uno de los 
dos lados en los que se divide la sección se anulan, y por lo tanto, el producto de 
inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un área es nulo con respecto a 
cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetría. 
Para hallar el producto de inercia de un área compuesta se debe dividir o mejor 
dicho segmentar la figura en pequeñas partes de las cuales sea más sencillo hallar 
su producto de inercia. Luego se procederá a desarrollar de la misma forma que 
para áreas simples. 
 
 
 
 
 
 
 
Se llama momento de inercia polar cuando se formula un área diferencial 𝑑𝐴 con 
respecto al polo “O” o eje “z”. 
 
 
 
 
 
El área de la figura es compuesta, ya que está 
conformada por un cuadrilátero y un hoyo en 
su centro de forma circular. 
AC = ACUADILATERO - ACIRCULO 
Se define como 𝑑𝐽𝑂 = 𝑟
2𝑑𝐴, donde r es la distancia perpendicular desde el polo 
(eje z) hasta el elemento 𝑑𝐴. Para toda el área, el momento de inercia polar es: 
 
𝐽𝑂 = ∫ 𝑟
2𝑑𝐴
.
𝐴
= 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
 
Esta relación entre 𝐽𝑂 e 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 es posible puesto que 𝑟
2 = 𝑥2 + 𝑦2. 
 
A partir de las formulaciones anteriores se ve que 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 y 𝐽𝑂 siempre serán positivos 
ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además, las 
unidades del momento de inercia implican longitud elevada a la cuarta potencia, por 
ejemplo, 𝑚4 , 𝑚𝑚4, 𝑜 𝑝𝑖𝑒𝑠4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIÓN. 
 
Los conceptos que acabamos de ver en este documento son muy importantes ya 
que con ellos resolveremos lo problemas de una manera más fácil y a si fue ya que 
entendiendo con presión los conceptos la mente se abre de una manera mas fácil y 
cada ejercicio es un reto por que a mi parecer son muy interesantes ya que con ello 
determine los siguientes puntos. 
 
❖ Se logro determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas similares 
y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a ladistribución de su masa, siendo mayor el momento del aro porque su masa está 
distribuida en el borde la circunferencia. 
 
❖ Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como 
las fuerzas de rozamiento que, aunque eran despreciables incidieron en los 
resultados. 
 
❖ Se pudieron comparar dos métodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por 
medio de la relación de sus radios y sus masas. 
 
 
❖ Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación, 
mayor es su inercia. Esto se ve en los resultados obtenidos con el aro, mucho 
mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
• http://es.scribd.com/doc/18467025/MOMENTO-DE-INERCIA 
 
• http://www.monografias.com/trabajos35/momentos-inercia/momentos-
inercia.shtml 
 
 
• http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1rea 
 
 
• https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item//teorema-de-los-
ejes-paralelos-1.html 
 
 
• https://www.teorema.top/teorema-de-ejes-paralelos/ 
 
 
• https://es.scribd.com/doc/239891915/Radio-de-Giro 
 
• https://www.academia.edu/10036903/PRODUCTO_DE_INERCIA 
https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item/teorema-de-los-ejes-paralelos-1.html
https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item/teorema-de-los-ejes-paralelos-1.html
https://www.teorema.top/teorema-de-ejes-paralelos/
https://es.scribd.com/doc/239891915/Radio-de-Giro
https://www.academia.edu/10036903/PRODUCTO_DE_INERCIA