centro de gravedad (2021-1) - Axel

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Centro de gravedad, masa y centroide
Se ha supuesto que la atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido puede representarse por una sola fuerza W, esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, la cual se aplica en el centro de gravedad del cuerpo.
Centro de gravedad
Centro de masa
El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí.
Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masa coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio, que es representado por un vector de magnitud y dirección constante. 
Centroide
Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá . Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.
Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general.
Centro geométrico (Centroide) y centro de masa: El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema es simétrico. 
 
En el estudio de las Ingenierías se asume que el cuerpo se encuentra en “condición ideal”, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo; luego el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto.
Método de áreas
El centroide del área superficial de un objeto, tal como una placa o disco, se pueden encontrar subdividiendo el área en elementos en dA y calculando los momentos de los elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional
Considerar una placa horizontal bidimensional. La placa puede subdividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento son pequeñas.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL 
Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1 , las del segundo elemento se representan por x2 y y2 , etc. Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente,
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
 
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIOANAL
 
 
 
 
 
 
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
 
 
 
 
 
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS
 
PRIMEROS MOMENTO DE ÁREAS Y LÍNEAS
 
PRIMEROS MOMENTO DE ÁREAS Y LÍNEAS
 
Momento de Inercia
Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. También conocido como segundo momento de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. 
Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos.
Aparece en las relaciones de la dinámica del movimiento rotacional. El momento de inercia debe especificarse respecto a un eje de rotación dado.
El momento de inercia de un cuerpo expresa los efectos producidos por los cuerpos en movimiento. 
Está relacionado con las masas de los cuerpo y la inercia (2º principio de Newton) de estos cuando están en movimiento.
Cuando hablamos de momentos de inercia referidos a superficies, que será lo más normal, se debería decir, momento de segundo orden, ya que una superficie carece de masa y, por tanto, no se produce inercia.
Resistencia de materiales podemos definir el momento de inercia como la capacidad que tiene los cuerpos de ser rígidos, entendiendo por rigidez la capacidad que tienen estos de resistir la flexión. Es decir, un cuerpo con un momento de inercia en un determinado eje alto, es muy rígido y por lo tanto resiste mucha flexión.
El momento de inercia se representa con la letra I o J.
Podemos decir que un cuerpo tiene un elevado momento de inercia según un determinado eje cuando al ser dividimos por este eje de forma virtual, en las dos partes que no quedan, la distancia de sus centros de gravedad con respecto al eje es grande. Mientras mayor sea esta distancia, mayor será el momento de inercia.
Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. 
 
 
 
 
 
 
Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. 
Para una masa puntual el momento de inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación, I = mr2. Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una colección de puntos materiales.
Ejemplos de momentos de inercia
Ecuaciones del momento de inercia
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia mínima r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: 
Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como: 
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: 
tiene como equivalente para la rotación: 
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es          , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es         , donde I  es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. 
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular L.
es el torque aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
Momentos de inercia de objetos simétricosMomentos comunes de inercia
Momento de Inercia. Forma General
Momento Polar de Inercia
Es una cantidad utilizada para predecir que resistencia o habilidad resiste a la torsión, por lo tanto es un escalar, donde en los objetos con una invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes del plano se presenta.
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. 
Similitudes Lineal-Rotacional
La conservación del momento lineal dice que cuando una masa golpea otra masa igual que está en reposo pegándose a ella, la combinación de las dos masas saldrá a la mitad de la velocidad, porque el producto de la velocidad por la masa debe permanecer constante. Usando una cuerda a través de un tubo, se mueve una masa en un círculo horizontal a la velocidad angular ω . Si tiramos de la cuerda hacia abajo, de modo que el radio de giro se reduzca a la mitad, entonces, la conservación del momento angular dice que la bola debe multiplicar por cuatro su velocidad angular. Esto es, porque el producto del momento de inercia y la velocidad angular debe permanecer constante y pasando el radio a la mitad. reduce el momento de inercia por un factor de cuatro.
Con el balance de fuerza apropiado, se puede producir una órbita circular, por medio de una fuerza actuando en la dirección del centro. Actuando perpendicular a la velocidad, le suministra la necesaria fuerza centrípeta para mantenerla en un círculo.
Si una rueca con eje gira y la sujetamos por uno de los extremos del eje entonces, el par producido por el peso de la rueda y el eje, es perpendicular al momento angular de la rueda. Esto cambia su dirección pero no su magnitud, causando que la punta del eje trace un círculo. A esto se le llama precesión, y es análoga a la órbita de una masa bajo una fuerza central.
Similitudes Lineal-Rotacional
Momento Polar de Inercia
Momento polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par .
Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión y es necesario para calcular el desplazamiento .Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión 
 
 
ALGUNOS EJEMPLOS DE M.P.I.