Estimación_intervalos

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Estimación e Intervalos 
de Confianza 
 
Unidad 1 Flores L 
Guayaquil - Guayas FCN - UG 
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Guayaquil - Guayas FCN - UG 
1.1.- Introducción. 
1.2.- Estimación puntual y de intervalo de los 
 parámetros poblacionales. 
1.3.- Intervalo de confianza estimado de una 
 media poblacional. 
1.4.- Determinación del tamaño de la muestra. 
Objetivo: Aprender a construir intervalos de 
confianza de medias poblacionales. 
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Un intervalo estimado de  es un intervalo de 
“a” hasta “b” dentro de la cual una media 
poblacional desconocida es esperada que se 
encuentre. 
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 
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El intervalo es una inferencia basada en: 
 
1. El valor de la media [ ] de una muestra 
aleatoria seleccionada de una población. 
 
2. El conocimiento de los sucesos acerca de la 
distribución muestral de las medias. 
 
x
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No podemos estar 100% seguros que tal 
intervalo contiene la media poblacional , 
porque la muestra es sólo una pequeña parte 
de la población. 
Un intervalo de confianza estimado de  es un 
intervalo estimado, junto con la confianza que 
el intervalo que escogemos es correcto. 
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Los niveles de confianza más utilizados por 
los biólogos son de 90%, 95% y 99%. 
Hay 1 –  probabilidad que el valor de una 
media de la muestra proporcione un margen 
o menos. 
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1 -  de todos 
 valores x

2 xz  2 xz 
Distribución 
muestral de 
 x
22
x
Nivel de 
Confianza 
 
90% 0.10 
95% 0.05 
99% 0.01 
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1 -  de todos 
 valores x

2 xz  2 xz 
Distribución 
muestral de 
 x
22
x
[-------------- ----------------] x
[-------------- ----------------] x
[-------------- ----------------] x
Intervalo 
incluye  
Intervalo no 
Incluye  
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x z
n
 

/2
xdonde: es la media de la muestra. 
1 -  es el coeficiente de confianza. 
Z/2 es el valor de z (Tabla Z). 
 es la desviación estándar de la población. 
n es el tamaño de la muestra. 
Presentación Flores L 
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Valores de z/2 para los niveles de confianza más comunes 
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xdonde: es la media de la muestra. 
1 -  es el coeficiente de confianza. 
t/2 es el valor de t (Tabla t) con n -1 grados de 
libertad. 
s es la desviación estándar de la muestra 
n es el tamaño de la muestra. 
x t
s
n
  /2
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Distribución t: 
La distribución t es una familia de distribución de probabilidades 
La distribución t depende de un parametro conocido como los 
grados de libertad. 
Los grados de libertad de libertad se refieren al número 
independiente de piezas de informacion que entra en el cálculo 
de la desviación estándar. 
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Distribución t: 
Una distribución t con más grados de libertad de libertad tiene 
menor dispersión. 
A medida que aumentan los grados de libertad, la diferencia 
entre la distribución t y la distribución de probabilidad normal 
estándar se hace cada vez más pequeña. 
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Distribución 
normal 
estándar 
Distribución t 
(20 grados de 
libertad) 
Distribución t 
(10 grados de 
libertad) 
0 
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Valores normalizados 
de z 
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Diagrama de flujo para decidir entre Z y T cuando se 
realizan inferencias acerca de las medias de la población 
Se conoce la 
desviación estándar  
de la población? 
 
Si 
x z
n
 

/2
Caso de  
conocida 
No 
Uso de la 
desviación estándar 
s para estimar  
x t
s
n
  /2
Caso de  
desconocida 
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Diagrama de flujo para decidir entre Z y T cuando se 
realizan inferencias acerca de las medias de la población 
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“Tamaño de muestra (n):” 
En la mayoría de las aplicaciones, un tamaño de muestra de 
 n = 30 es adecuado. 
Si la distribución de la población es muy sesgada o contiene 
valores atípicos, se recomienda un tamaño de muestra de 
50 o más. 
Procedimiento para estimar  a partir de : x
1.- Fijar el Nivel de Confianza (NC) 
2.- Calcular del valor de Z correspondiente a dicho 
 nivel de confianza 
3.- Calcular la y la 
4.- Calcular el Error Estándar de la media (EE) 
 
 
5.- Calcular el Error Muestral (EM) 
 
6.- Construir el intervalo de confianza (IC): 
 
 
x S
2z
x
n

  x
s
s
n

* xEM Z S
IC x EM 
Procedimiento para estimar  a partir de : x
1.- Fijar el Nivel de Confianza (NC) 
2.- Calcular los grados de libertad (g.l. = n-1) 
3.- Calcular el valor de t (Tabla t) 
4.- Calcular la y la 
5.- Calcular el Error Estándar de la media (EE) 
 
 
6.- Calcular el Error Muestral (EM) 
 
7.- Construir el intervalo de confianza (IC): 
 
 
x S
x
n

  x
s
s
n

* xEM t S
IC x EM 
2t
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Ejercicio 1: 
• Se ha proporcionado un alimento a las crías 
de truchas en un estanque. Una muestra de 
40 peces revelo que el peso medio era de 
402.7 g y la desviación estándar 8.8 g ¿Cuál 
es el intervalo de confianza del 90%, 95% y 
99%? 
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Desarrollo: 
1.- Fijar el Nivel de Confianza (NC): 
2.- Calcular del valor de Z correspondiente a dicho nivel de confianza 
2z
NC: 90%, 95% y 99% 
Z 90%: 1.645 
Z 95%: 1.960 
Z 99%: 2.576 
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Desarrollo: 
3.- Calcular la y la : 
 
4.- Calcular el Error Estándar de la media (EE) 
x S
402.7x g 8.8S g
8.8 8.8
1.39
6.32540
x
s
s g
n
   
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Desarrollo: 
5.- Calcular el Error Muestral (EM) : 
 
6.- Construir el intervalo de confianza (IC) 
* xEM Z S
90% 1.645*1.39 2.29EM g 
95% 1.960*1.39 2.73EM g 
99% 1.576*1.39 3.58EM g 
IC x EM 
90% 402.7 2.29IC  
95% 402.7 2.73IC  
99% 402.7 3.58IC  
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Por lo tanto decimo que: 
Tenemos un 90% de confianza que el intervalo de 400.41 g a 
404.99 g contiene la media poblacional. 
Tenemos un 95% de confianza que el intervalo de 399.97 g a 
405.43 g contiene la media poblacional. 
Tenemos un 99% de confianza que el intervalo de 399.12 g a 
406.28 g contiene la media poblacional. 
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Ejercicio 1: 
• En una encuesta de 17 jóvenes encontramos 
que el consumo medio de calorías es de 2500 
cal y su desviación estándar es de 196. 
Calcular el intervalo de confianza para la 
media de la población con un nivel de 
confianza del 90%, 95% y 99%? 
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Desarrollo: 
1.- Fijar el Nivel de Confianza (NC): 
2.- Calcular los grados de libertad (g.l. = n-1) 
NC: 90%, 95% y 99% 
g.l : 17 – 1 = 16 
3.- Calcular el valor de t (Tabla t) ???????????????? 
2t
t 90%: 
t 95%: 
t 99%: 
2t
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Desarrollo: 
1.- Fijar el Nivel de Confianza (NC): 
2.- Calcular los grados de libertad (g.l. = n-1) 
NC: 90%, 95% y 99% 
g.l : 17 – 1 = 16 
3.- Calcular el valor de t (Tabla t) 
t 90%: 1.7459 
t 95%: 2.1199 
t 99%: 2.9208 
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Desarrollo: 
4.- Calcular la y la : 
5.- Calcular el Error Estándar de la media (EE) 
x S2500x cal 196S cal
196 196
47.54
4.12317
x
s
s cal
n
   
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Desarrollo: 
6.- Calcular el Error Muestral (EM) : 
7.- Construir el intervalo de confianza (IC) 
90% 1.7459*47.54 82.99EM cal 
95% 2.1199*47.54 100.77EM cal 
99% 2.9208*47.54 138.85EM cal 
IC x EM 
90% 2500 82.99IC  
95% 2500 100.77IC  
99% 2500 138.85IC  
* xEM t S
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Por lo tanto decimo que: 
Tenemos un 90% de confianza que el intervalo de 2417.01 cal a 
2582.99 cal contiene la media poblacional. 
Tenemos un 95% de confianza que el intervalo de 2399.23 cal a 
2600.77 cal contiene la media poblacional. 
Tenemos un 99% de confianza que el intervalo de 2361.15 cal a 
2638.85 cal contiene la media poblacional. 
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Un ejercicio: 
Supongamos que tenemos la siguiente muestra de n = 36 medidas 
de longitud de conchas (mm) de una población que es sometida 
a pesca cuyo valor paramétrico es desconocido. Calcular el 
Intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de 
confianza del 90%, 95% y 99%? 
 
41.0 41.3 44.2 41.2 42.0 37.3 42.1 37.8 41.0 
39.2 39.2 30.0 38.0 36.6 40.1 38.7 39.4 44.4 
39.0 38.0 41.3 40.0 39.0 39.7 39.0 41.0 38.1 
39.3 42.0 42.0 36.7 42.3 40.3 40.1 39.1 39.4 
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Desarrollo ejercicio: 
1 1429.8 39.72mm
36
X=
n
i
i
X
n
  

El estimador es , y 39.72 mm es una estimación 
puntual de la media poblacional desconocida 
X
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Desarrollo ejercicio: 
El estimador es , y 6.23 mm es una estimación 
puntual de la varianza poblacional desconocida 
2S
2
2 1
( )
218.01 218.01
6.23mm
1 36 1 35
=
n
i
i
X X
n
S


  
 

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Desarrollo ejercicio: 
El estimador es , y 2.50 mm es una estimación 
puntual de la desviación estándar poblacional 
desconocida 
S
2S 6.23 2.50mmS=  
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Desarrollo ejercicio: 
Nuestras estimación de 39.72 mm de longitud de la 
concha se aleja menos de 0.42 mm de la verdadera 
Longitud promedio de la concha. 
2.50 2.50
0.42mm
636
S =
X
S
n
  
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Otro ejercicio: 
Obtengamos una estimación puntual de la edad 
del actual curso de Bioestadística II en base a los 
estimadores puntuales estimados en el ejercicio 
anterior: 
 
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Otro ejercicio: 
Obtengamos una estimación puntual del peso de 
la cachema de los datos que se encuentran a 
continuación en base a los estimadores puntuales 
estimados en los ejercicios anteriores: 
 
97.00 57.13 106.77 106.68 100.44 172.60 
112.54 108.40 117.90 102.06 114.24 109.36 
98.44 208.81 154.85 109.00 112.61 
128.63 135.77 109.57 87.92 101.40 
127.11 148.29 73.31 90.33 132.94