PARCIAL 4D

Vista previa del material en texto

1. a. Evaluar lim𝑛→∞ (
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
 
Solución: Sea 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
⇒ 𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
= 𝑒𝐿 
Ahora 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛ln (
2+𝑛2
3+𝑛2
) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
ln(
2+𝑛2
3+𝑛2
)
1
𝑛
. Aplicando L´Hopital 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
2+𝑛2
3+𝑛2
∙
(3+𝑛2)2𝑛−(2+𝑛2)2𝑛
(3+𝑛2)
2
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
3+𝑛2
2+𝑛2
∙
2𝑛
(3+𝑛2)
2
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
2𝑛
(2+𝑛2)(3+𝑛2)
−
1
𝑛2
 
= − 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
2𝑛3
𝑛4+5𝑛2+6
= 0, por lo tanto 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
2+𝑛2
3+𝑛2
)
𝑛
= 𝑒0 = 1 
 
 
b. Evaluar lim𝑛→∞ (
𝜋
4
)
𝑛
. 
Solución: 
Como |𝑟| = |
𝜋
4
| < 1 entonces lim𝑛→∞ (
𝜋
4
)
𝑛
= 0 
 
 
 
2. Determinar si la serie ∑
1
𝑛2+𝑛
⁡+∞𝑛=1 es convergente o divergente en caso de ser 
convergente hallar su suma. 
Solución: 
Descomponiendo en fracciones parciales el término 𝑎𝑛 se obtiene 
 𝑎𝑛 =
1
𝑛2+𝑛
=
1
𝑛(𝑛+1)
=
1
𝑛
−
1
𝑛+1
 Sea 𝑏𝑛 =
1
𝑛
⇒ 𝑏𝑛+1 =
1
𝑛+1
 por lo tanto 
 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 Luego la serie es telescópica y 𝑠𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1, Ahora 
lim𝑛→∞ 𝑠𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 = lim𝑛→∞ 1 −
1
𝑛+1
= 1 
Por lo tanto la serie ∑
1
𝑛2+𝑛
⁡+∞𝑛=1 es convergente y su suma es 𝑆 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
2015-2 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCIÓN Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 4 Valor: 25% Fecha: 
3. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la serie 
alterna 
∑(−1)𝑛
3𝑛
2𝑛+8
∞
𝑛=1
 
Solución: 𝑎𝑛 = (−1)
𝑛 3
𝑛
2𝑛+8
 Consideremos el límite 
𝐿 = lim𝑛→+∞ √|𝑎𝑛|
𝑛
= lim𝑛→+∞ √|(−1)𝑛
3𝑛
2𝑛+8
|
𝑛
= lim𝑛→+∞ √(
3
2
)
𝑛 1
28
𝑛
 
= lim𝑛→+∞
3
2
(
1
28
)
𝑛
=
3
2
> 1 
Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie 
∑ (−1)𝑛
3𝑛
2𝑛+8
∞
𝑛=1 Diverge 
 
 
4. Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie 
∑(−1)𝑛
3𝑛𝑥𝑛
(3𝑛)!
∞
𝑛=0
 
Solución: 
𝑎𝑛 = (−1)
𝑛 3
𝑛𝑥𝑛
(3𝑛)!
 Consideremos el límite 
 𝐿 = lim𝑛→+∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim𝑛→+∞ |
(−1)𝑛+1⁡
3𝑛+1𝑥𝑛+1
(3𝑛+3)!
(−1)𝑛⁡
3𝑛𝑥𝑛
(3𝑛)!
| = lim𝑛→+∞ |
3𝑛3𝑥𝑛𝑥(3𝑛)!
(3𝑛)!(3𝑛+1)(3𝑛+2)(3𝑛+3)3𝑛𝑥𝑛
| 
= lim𝑛→+∞ |
𝑥
(3𝑛+1)(3𝑛+2)(3𝑛+3)
| = |𝑥| lim
𝑛→+∞
1
(3𝑛+1)(3𝑛+2)(3𝑛+3)
= 0 < 1 
Se concluye del criterio del cociente para convergencia absoluta que la serie 
∑ (−1)𝑛
3𝑛𝑥𝑛
(3𝑛)!
∞
𝑛=0 converge absolutamente para todo 𝑥 ∈ ℝ. Por lo tanto el radio de 
convergencia es 𝑅 = +∞, el intervalo de convergencia es (−∞,+∞). 
 
 
 
5. Escriba los cinco primeros términos de la expansión en una serie de Maclaurin para la 
función 
𝑓(𝑥) = e𝑥+𝑥
2
 
Solución: 
Como 𝑒𝑢 = 1 + 𝑢 +
𝑢2
2!
+
𝑢3
3!
+
𝑢4
4!
+⋯ luego tomando 𝑢 = 𝑥 + 𝑥2 se tiene que 
e𝑥+𝑥
2
= 1 + (𝑥 + 𝑥2) +
(𝑥+𝑥2)
2
2!
+
(𝑥+𝑥2)
3
3!
+
(𝑥+𝑥2)
4
4!
+⋯⁡ 
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +
𝑥2+2𝑥3+𝑥4
2
+
𝑥3+3𝑥4+3𝑥5+𝑥6
6
+
𝑥4+4𝑥5+6𝑥6+4𝑥7+𝑥8
24
+⋯ Esto implica que 
e𝑥+𝑥
2
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +
𝑥2
2
+ 𝑥3 +
𝑥3
6
+
𝑥4
2
+
𝑥4
2
+
𝑥4
24
+⋯ = 1 + 𝑥 +
3𝑥2
2
+
7𝑥3
6
+
25𝑥4
24
+⋯