Funciones Trigonométricas

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Capítulo 5: Funciones Trigonométricas. Trigonometría 
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir se cumple 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) siendo T 
un número real positivo (𝑇 > 0) , denominado período de la función 𝑓. 
En este apartado se estudiarán las funciones seno, coseno y tangente, previamente se recordará 
algunos conceptos de trigonometría. 
Círculo trigonométrico: es un círculo de radio unidad con centro en el origen de coordenadas de un 
sistema rectangular. 
 
Considerando el ángulo �̂� con lado terminal en el primer 
cuadrante, se puede ubicar al triángulo rectángulo 

ORP 
De igual modo se puede ubicar un triángulo rectángulo en 
cualquier otro cuadrante. 
En 

ORP : 
Cateto opuesto al ángulo: 𝐶. 𝑂 = (𝑃𝑅) 
Cateto adyacente al ángulo: 𝐶. 𝐴 = (𝑂𝑅) 
Hipotenusa: 𝐻𝑖𝑝 = 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ siendo, 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ = 1  𝐻𝑖𝑝 = 1 
Razones trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
𝐶.𝑂
𝐻𝑖𝑝
  𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝐶. 𝑂  𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ 
𝑐𝑜𝑠�̂� =
𝐶.𝐴
𝐻𝑖𝑝
  𝑐𝑜𝑠�̂� = 𝐶. 𝐴  𝑐𝑜𝑠�̂� = 𝑂𝑅̅̅ ̅̅ 
𝑡𝑔�̂� =
𝐶.𝑂
𝐶.𝐴
  𝑡𝑔�̂� =
𝑃𝑅̅̅ ̅̅
𝑂𝑅̅̅ ̅̅
  𝑡𝑔�̂� =
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐𝑜𝑠�̂�
 
𝑠𝑒𝑐�̂� =
𝐻𝑖𝑝
𝐶.𝐴
  𝑠𝑒𝑐�̂� =
1
𝑐𝑜𝑠�̂�
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐�̂� =
𝐻𝑖𝑝
𝐶.𝑂
  𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐�̂� =
1
𝑠𝑒𝑛�̂�
 
𝑐𝑜𝑡𝑔�̂� =
𝐶.𝐴
𝐶.𝑂
  𝑐𝑜𝑡𝑔�̂� =
𝑐𝑜𝑠�̂�
𝑠𝑒𝑛�̂�
 ; 𝑐𝑜𝑡𝑔�̂� =
1
𝑡𝑔�̂�
 
 
Las razones trigonométricas para un ángulo �̂� pueden tomar los siguientes valores: 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛�̂� ≤ 1 ; −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠�̂� ≤ 1; 𝑡𝑔�̂� ∈ 𝑅 
Identidad trigonométrica fundamental: 
La suma de los cuadrados de las razones seno y coseno de un ángulo �̂� es igual a uno. 
Simbólicamente: 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑐𝑜𝑠2�̂� = 1 
Demostración 
Considerando el triángulo rectángulo

ORP en el círculo 
trigonométrico: 𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝 = 𝑑(𝑃𝑅̅̅ ̅̅ ) , 𝐶𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦 = 𝑑(𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ), 𝑑(𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ) = 1 
Por teorema de Pitágoras: 
𝑑(𝑃𝑅̅̅ ̅̅ )2 + 𝑑(𝑂𝑅̅̅ ̅̅ )2 = 𝑑(𝑂𝑃̅̅ ̅̅ )2 (1) 
Definiendo las razones: 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑑(𝑃𝑅̅̅ ̅̅ ) (2) ˄ 𝑐𝑜𝑠�̂� = 𝑑(𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ) (3) 
Reemplazando (2) y (3) en (1) 
𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑐𝑜𝑠2�̂� = 1 
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Ejemplo: Calcular el valor de la razón 𝑠𝑒𝑛�̂� si 𝑐𝑜𝑠�̂� = 1/2 y �̂� ∈ 𝐼𝐼 
𝑠𝑒𝑛2�̂� + (
1
2
)
2
= 1  𝑠𝑒𝑛2�̂� + 
1
4
= 1  𝑠𝑒𝑛2�̂� = 1 −
1
4
  𝑠𝑒𝑛2�̂� =
3
4
 
 𝑠𝑒𝑛�̂� = ±
√3
2
 , luego como �̂� ∈ 𝐼𝐼 𝑠𝑒𝑛�̂� =
√3
2
 
Función seno y coseno 
La función trigonométrica seno se expresa como: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 y la función trigonométrica coseno 
se expresa como: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥, donde “𝑥” es la variable independiente o argumento (amplitud 
angular medida en radianes, 𝑥 ∈ 𝑅). 
Dominio: 
∀𝑥 ∈ 𝑅, ∃𝑦 = 𝑓(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝑅 
Imagen: 
−1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 ∀𝑥 ∈ 𝑅, entonces, el conjunto imagen de las funciones es: 𝐼𝑓 = [−1, 1] 
Intersección con los ejes de coordenadas: 
Función: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Con el eje de las abscisas: 
0 = 𝑠𝑒𝑛𝑥  𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛(0) = 𝑥  0, ±𝜋, ±2𝜋, ±3𝜋 … = 𝑥 
De modo que 𝑥 = 𝑛𝜋 con 𝑛 ∈ 𝑍 
 existen infinitos puntos de corte: 𝑃(𝑛𝜋, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 
A modo de ejemplo, algunos puntos: 𝑃(−𝜋, 0); 𝑅(0, 0) ; 𝑄(𝜋, 0) 
Con el eje de las ordenadas: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛0  𝑦 = 0  corta al eje de las ordenadas en 𝑃(0, 0) 
Función: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Con el eje de las abscisas: 
0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥  𝑎𝑟𝑐𝑜𝑐𝑜𝑠(0) = 𝑥  ±𝜋/2, ±3/2 𝜋 … = 𝑥 
De modo que 𝑥 = 𝑛𝜋 + 𝜋/2 con 𝑛 ∈ 𝑍 
 existen infinitos puntos de corte: 𝑃(𝑛𝜋 + 𝜋/2, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 
A modo de ejemplo, algunos puntos: 𝑃(−𝜋/2, 0); 𝑅(𝜋/2, 0) ; 𝑄(3/2 𝜋, 0) 
Con el eje de las ordenadas: 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠0  𝑦 = 1  corta al eje de las ordenadas en 𝑃(0, 1) 
Valores extremos de las funciones seno y coseno: 
Valor máximo: 1; Valor mínimo: -1 
Período: 
El período es la longitud en la que se cumple un ciclo y su valor es T=2π. 
 
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Gráficas: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
Función tangente 
La función trigonométrica tangente se expresa como: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 donde “𝑥” es la variable independiente o 
argumento (amplitud angular medida en radianes) 
Dominio 
𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
  ∃𝑦 = 𝑓(𝑥) sólo si 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0  𝑥 ≠ ±
𝜋
2
, ±
3
2
𝜋 … 
De modo que 𝑥 ≠ 𝑛𝜋 +
𝜋
2
 con 𝑛 ∈ 𝑍 
𝐷𝑓 = {
𝑥𝜖𝑅
𝑥
≠ 𝑛𝜋 +
𝜋
2
; 𝑛 ∈ 𝑍} 
Asíntotas verticales 
Las rectas verticales 𝑥 = 𝑛𝜋 +
𝜋
2
 con 𝑛 ∈ 𝑍 se constituyen en asíntotas de la gráfica. 
Período: T=π. 
Imagen: El conjunto imagen es: 𝐼𝑓 = 𝑅 
Corte con el eje de las abscisas: 
0 = 𝑡𝑔𝑥  𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(0) = 𝑥  0, ±𝜋, ±2𝜋, ±3𝜋 … = 𝑥 
De modo que 𝑥 = 𝑛𝜋 con 𝑛 ∈ 𝑍  existen infinitos puntos de corte: 𝑃(𝑛𝜋, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 
A modo de ejemplo, algunos puntos: 𝑃(−𝜋, 0); 𝑅(0, 0) ; 𝑄(𝜋, 0) 
Corte con el eje de las ordenadas: 
𝑦 = 𝑡𝑔0  𝑦 = 0  corta al eje de las ordenadas en 𝑃(0, 0) 
 
 
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Resumen 
Función Dominio Imagen Período 
Puntos de corte con los ejes de: 
Las abscisas Las ordenadas 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑓 = 𝑅 𝐼𝑓 = [−1, 1] T=2π 𝑃(𝑛𝜋, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 𝑄(0,0) 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑓 = 𝑅 𝐼𝑓 = [−1, 1] T=2π 𝑃(𝑛𝜋 +
𝜋
2
, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 𝑄(0,1) 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝐷𝑓 = {
𝑥𝜖𝑅
𝑥
≠ 𝑛𝜋 +
𝜋
2
; 𝑛 ∈ 𝑍} 𝐼𝑓 = 𝑅 T=π 𝑃(𝑛𝜋, 0) con 𝑛 ∈ 𝑍 𝑄(0,0) 
 
Influencia de parámetros 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) con 𝐴 ∈ 𝑅  𝐴 ≠ 0 
Sea 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)  𝐴 ≠ 0 entonces, 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ( 𝐴 ≠ 0, factor que multiplica a la función) 
Amplitud: Es la mitad de la diferencia entre el valor máximo y mínimo. 
Amplitud=|𝐴| (La amplitud de la función es el valor absoluto del factor 𝐴) 
 𝐴 > 1 v 𝐴 < −1 se produce una elongación vertical de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
Si (ej. 𝑓(𝑥) = 3. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑔(𝑥) = −1.5. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 
 
 −1 < 𝐴 < 1  𝐴 ≠ 0 se produce una compresión vertical de la gráfica de la función. 
(ej. 𝑓(𝑥) = 0.5. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; ℎ(𝑥) = −0.8. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = |𝐴|; 
Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −|𝐴| 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; Imagen: 𝐼𝑓 = [−|𝐴|, |𝐴|] 
Período: T=2π 
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Amplitud= |2|; Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = 2 ; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −2 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; Imagen: 𝐼𝑓 = [−2, 2]; Período: T=2π 
 
(Elongación vertical de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 
 
El signo negativo del factor 𝐴 produce una reflexión de la gráfica sobre su eje, en este caso la recta 
𝑦 = 0. 
El parámetro 𝐴 como factor de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
produce una elongación o compresión 
vertical de la gráfica de la función 
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Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) con 𝐴 ∈ 𝑅  𝐴 ≠ 0 ; 𝑏 ∈ 𝑅  𝑏 > 0 
 𝑏 > 1se produce una compresión horizontal de la gráfica de la función. 
Si (ej. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ; 𝑔(𝑥) = −2. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) 
 0 < 𝑏 < 1se produce una elongación horizontal de la gráfica de la función. 
(ej. 𝑓(𝑥) = 0.5. 𝑠𝑒𝑛(0.5𝑥) ; ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(0.4𝑥)) 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = |𝐴|; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −|𝐴| 
Pulsación: “𝑏” número de veces que se cumple un ciclo en un período 2. 
Amplitud: Amplitud=|𝐴| 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; Imagen:𝐼𝑓 = [−|𝐴|, |𝐴|] 
Período: 
0 ≤ 𝑏𝑥 ≤ 2𝜋 
 0 ≤ 𝑥 ≤
2𝜋
𝑏
 (se divide en 𝑏 que es un valor positivo) 
𝑇 =
2𝜋
𝑏
 
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
Amplitud= 1; Pulsación: 𝑏 = 2 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = 2; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −2 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 ; Imagen: 𝐼𝑓 = [−1, 1] 
Período: 𝑇 =
2𝜋
𝑏
  𝑇 =
2𝜋
2
  𝑇 = 𝜋 
 
La función f cumple unciclo en un período π (2 ciclos en 2, compresión horizontal de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) con 𝐴 ∈ 𝑅  𝐴 ≠ 0 ; 𝑏 ∈ 𝑅  𝑏 > 0;  𝑐 ≠ 0 
Si el argumento está en términos de 𝑏 y 𝑐 seproduce una traslación horizontal de la gráfica de la 
función una distancia determinada por el ángulo ∅ = −
𝑐
𝑏
 denominado ángulo de fase. 
 ∅ > 0 se produce una traslación horizontal hacia la derecha. 
Si 
 ∅ < 0 se produce una traslación horizontal hacia la izquierda. 
 
El parámetro 𝑏 como factor de 𝑥 
produce una elongación o 
compresión horizontal de la gráfica 
de la función. 
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Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = |𝐴|; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −|𝐴| 
Amplitud: Amplitud=|𝐴| 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; Imagen: 𝐼𝑓 = [−|𝐴|, |𝐴|] 
Período y ángulo de fase: 
 0 ≤ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 2𝜋 
 0 − 𝑐 ≤ 𝑏𝑥 ≤ 2𝜋 − 𝑐 (se divide en b>0) 
0 −
𝑐
𝑏
≤ 𝑥 ≤
2𝜋
𝑏
−
𝑐
𝑏
 
 Período: 𝑇 =
2𝜋
𝑏
  ángulo de fase: ∅ = −
𝑐
𝑏
 
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 −
𝜋
2
) 
Amplitud= |2| → Amplitud=2; Pulsación: 𝑏 = 2 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = 2; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −2 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; Imagen: 𝐼𝑓 = [−2, 2] 
Período: 𝑇 =
2𝜋
𝑏
  𝑇 =
2𝜋
2
  𝑇 = 𝜋 
Angulo de fase: ∅ = −
−
𝜋
2
2
  ∅ =
𝜋
4
 se produce una traslación hacia la derecha. 
 
 (Traslación horizontal hacia la derecha ∅ =
𝜋
4
 ) 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝐷 con 𝐴 ≠ 0 ; 𝑏 ∈ 𝑅  𝑏 > 0; 𝑐 ≠ 0  D ∈ R 
 𝐷 > 0 se produce una traslación vertical hacia arriba. 
Si 
 𝐷 < 0 se produce una traslación vertical hacia abajo. 
El parámetro 𝐷 produce una traslación vertical de la gráfica de la función. 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = |𝐴| + 𝐷; Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −|𝐴| + 𝐷 
Amplitud: Amplitud=|𝐴| 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅; 
Imagen: 𝐼𝑓 = [−|𝐴| + 𝐷, |𝐴| + 𝐷] 
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Período y ángulo de fase: 
𝑇 =
2𝜋
𝑏
 ; ∅ = −
𝑐
𝑏
 
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) = −2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 
Amplitud= |−2| → Amplitud=2; 
Pulsación: 𝑏 = 1; 
Angulo de fase: ∅ = 0 
Valor máximo: 𝑉𝑚á𝑥 = |−2| + 3  𝑉𝑚á𝑥 = 5 
Valor mínimo: 𝑉𝑚í𝑛 = −|−2| + 3  𝑉𝑚í𝑛 = 1 
Imagen: 𝐼𝑓 = [1, 5] 
Período: 𝑇 =
2𝜋
𝑏
  𝑇 =
2𝜋
1
  𝑇 = 2𝜋 
 
(Traslación vertical hacia arriba 𝐷 = 3 ) 
Resumen 
Función 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝐷 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝐷 
Dominio 𝐷𝑓 = 𝑅 𝐷𝑓 = 𝑅 
Valor máximo 𝑉𝑚𝑎𝑥. = |𝐴| + 𝐷 𝑉𝑚𝑎𝑥. = |𝐴| + 𝐷 
Valor mínimo 𝑉𝑚í𝑛. = −|𝐴| + 𝐷 𝑉𝑚í𝑛. = −|𝐴| + 𝐷 
Imagen 𝐼𝑓 = [−|𝐴| + 𝐷, |𝐴| + 𝐷] 𝐼𝑓 = [−|𝐴| + 𝐷, |𝐴| + 𝐷] 
Amplitud|𝐴| 
Elongación vertical A > 1 v A < −1 A > 1 v A < −1 
Compresión vertical −1 < 𝐴 < 1  𝐴 ≠ 0 −1 < 𝐴 < 1  𝐴 ≠ 0 
Angulo de fase 
∅ = −
c
b
 
Traslación horizontal hacia la derecha ∅ > 0 ∅ > 0 
Traslación horizontal hacia la izquierda ∅ < 0 ∅ < 0 
Período 𝑇 =
2𝜋
𝑏
 𝑇 =
2𝜋
𝑏
 
Pulsación 
Elongación horizontal 0 < 𝑏 < 1 0 < 𝑏 < 1 
Compresión horizontal b > 1 b > 1 
 
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Teoremas Trigonométricos y aplicaciones 
Teorema del seno 
Considere un triángulo cuyos lados son 𝑝; 𝑞; 𝑟 y ángulos �̂�; �̂�; �̂� opuestos a los lados respectivos. 
 
Enunciado: En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. 
Simbólicamente: 
𝑝
𝑠𝑒𝑛�̂�
=
𝑞
𝑠𝑒𝑛�̂�
=
𝑟
𝑠𝑒𝑛�̂�
 
 
 
Demostración 
 
En el triángulo rectángulo PMQ se define: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
ℎ
𝑟
  𝑟. 𝑠𝑒𝑛�̂� = ℎ (1) 
En el triángulo rectángulo RMQ se define: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
ℎ
𝑝
  𝑝. 𝑠𝑒𝑛�̂� = ℎ (2) 
Igualando (1) y (2): 𝑟. 𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑝. 𝑠𝑒𝑛�̂� 
De modo que: 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑟
 (3) 
 
En el triángulo rectángulo RNP se define: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
ℎ´
𝑞
  𝑞. 𝑠𝑒𝑛�̂� = ℎ´ (4) 
En el triángulo rectángulo RNQ se define: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
ℎ´
𝑝
  𝑝. 𝑠𝑒𝑛�̂� = ℎ´ (5) 
Igualando (4) y (5): 𝑞. 𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑝. 𝑠𝑒𝑛�̂� 
Resulta: 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑞
 (6) 
Por propiedad transitiva, si: 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑟
 (3)  
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑞
 (6) 
Entonces: 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑟
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑞
 
¡¡Atención!! Para aplicar el teorema se necesita por lo menos la siguiente información: 
- 2 lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. 
- 2 ángulos y un lado. 
Las igualdades se pueden escribir: 
𝑝
𝑠𝑒𝑛�̂�
=
𝑞
𝑠𝑒𝑛�̂�
=
𝑟
𝑠𝑒𝑛�̂�
 o bien 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑝
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑞
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑟
 
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65 
 
Ejemplo: Un lado de un terreno triangular mide 30 metros y los ángulos que forma con los otros 
lados tienen una amplitud de 40° y 60°. Calcular la cantidad de metros de alambre tejido que se 
necesitan para cercar el terreno. 
Ilustración 
 
Desarrollo: 
Para resolver el problema se necesita conocer el perímetro del 
triángulo y de acuerdo a la información disponible se aplica el 
teorema del seno. 
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180° 
 40°+60°+�̂� = 180°  �̂� = 80° 
Por teorema se cumple que: 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐
  
𝑠𝑒𝑛 40°
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛60°
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛80°
30𝑚
 
De: 
𝑠𝑒𝑛 40°
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛80°
30𝑚
  𝑎 =
𝑠𝑒𝑛40° ∙ 30𝑚
𝑠𝑒𝑛80°
  𝑎 = 19.58 𝑚 
De: 
𝑠𝑒𝑛 60°
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛80°
30𝑚
  𝑏 =
𝑠𝑒𝑛60° ∙ 30𝑚
𝑠𝑒𝑛80°
  𝑏 = 26.38 𝑚 
Perímetro: 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
19.58𝑚 + 26.38𝑚 + 30𝑚 = 75.96𝑚 
Finalmente, se necesitan aproximadamente 76 metros de alambre tejido. 
Teorema del coseno 
Considere un triángulo cuyos lados son 𝑝; 𝑞; 𝑟 y ángulos �̂�; �̂� ; �̂� opuestos a los lados respectivos. 
 
Enunciado: En todo triángulo, el cuadrado de cualesquiera de sus lados es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo 
comprendido entre ellos. 
Simbólicamente: 
𝑝2 = 𝑞2 + 𝑟2 − 2. 𝑞. 𝑟𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑟2 = 𝑞2 + 𝑝2 − 2. 𝑞. 𝑝𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑞2 = 𝑝2 + 𝑟2 − 2. 𝑝. 𝑟𝑐𝑜𝑠�̂� 
 
 
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66 
 
Demostración 
 
 
Por teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo 𝑅𝑀𝑄: 
𝑝2 = (𝑞 − 𝑥)2 + ℎ2  𝑝2 − (𝑞 − 𝑥)2 = ℎ2 (1) 
En el triángulo rectángulo 𝑃𝑀𝑄: 
𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2  𝑟2 − 𝑥2 = ℎ2 (2) 
Definiendo: 𝑐𝑜𝑠�̂� =
𝑥
𝑟
  𝑟. 𝑐𝑜𝑠�̂� = 𝑥 (3) 
Igualando (1) y (2): 𝑝2 − (𝑞 − 𝑥)2 = 𝑟2 − 𝑥2 
𝑝2 − (𝑞2 − 2𝑞. 𝑥 + 𝑥2) = 𝑟2 − 𝑥2 (desarrollo del cuadrado del binomio en el primer miembro) 
𝑝2 − 𝑞2 + 2𝑞. 𝑥 − 𝑥2 = 𝑟2 − 𝑥2 (eliminación de paréntesis) 
𝑝2 = 𝑞2 − 2𝑞. 𝑥 + 𝑥2 + 𝑟2 − 𝑥2 (despeje del cuadrado de p) 
𝑝2 = 𝑞2 − 2𝑞. 𝑟. 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑟2 (cancelación de 𝑥2 y reemplazo de 𝑥 por: 𝑟. 𝑐𝑜𝑠�̂� ) 
Finalmente: 𝑝2 = 𝑞2 + 𝑟2 − 2𝑞. 𝑟. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
Con un procedimiento similar se muestran las otras igualdades del teorema. 
¡¡Atención!! Para aplicar el teorema se necesita por lo menos la siguiente información: 
- 2 lados y el ángulo determinado por dichos lados. 
- 3 lados. 
Ejemplo: Los lados de un terreno triangular miden 5 km, 8 km y 10 km. Determine el área del 
terreno. 
 
Por teorema: 𝑟2 = 𝑞2 + 𝑝2 − 2𝑞. 𝑝𝑐𝑜𝑠�̂� 
Reemplazando: 
(8𝑘𝑚)2 = (10𝑘𝑚)2 + (5𝑘𝑚)2 − 2(10𝑘𝑚). (5𝑘𝑚)𝑐𝑜𝑠�̂� 
64𝑘𝑚2 = 100𝑘𝑚2 + 25𝑘𝑚2 − 100𝑘𝑚2. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
64𝑘𝑚2 − 100𝑘𝑚2 − 25𝑘𝑚2 = −100𝑘𝑚2. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
−61 = −100. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
−61
−100
= 𝑐𝑜𝑠�̂�  �̂� = 54.41° 
Luego, en el triángulo rectángulo RMQ se define: 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
ℎ
5𝑘𝑚
 
(5𝑘𝑚). 𝑠𝑒𝑛(52.41°) = ℎ 
ℎ = 3.96 
De modo que: 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
10𝑘𝑚.3.96𝑘𝑚
2
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 19.8 𝑘𝑚2Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
67 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 ¿Cómo se determina el área y el perímetro de un: triángulo, rectángulo y círculo? 
 ¿Cuáles son los lados de los dos ángulos complementarios en un triángulo rectángulo? Ejemplifique. 
 ¿Cuál es la relación entre los ángulos complementarios en un triángulo rectángulo? Ejemplifique. 
 Enuncie el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo PQR. 
 Defina las razones trigonométricas y las razones inversas. Proporcione ejemplos. 
 Si se conocen dos lados de un triángulo rectángulo ¿cómo determina la amplitud de cualquiera de los 
ángulos agudos de dicho triángulo? Analice todas las posibilidades. 
 Defina círculo trigonométrico. 
 Establezca las relaciones entre razones trigonométricas, utilizando el círculo trigonométrico y las 
razones seno y coseno. 
 Enuncie y demuestre la identidad o teorema fundamental de la trigonometría. 
 Defina función seno, coseno y tangente e indique las características de sus gráficas (dominio, imagen, 
período y corte con los ejes de las coordenadas) 
 Si la expresión de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 o 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es multiplicada por una constante distinta de 
cero, ¿Cuál es la imagen de cada función? ¿Por qué? (caso 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝑥, con 
A ≠ 0) Ejemplifique. 
 ¿Cómo define la amplitud de una función seno o coseno? Ejemplifique. 
 ¿Qué sucede con la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝑥, cuando A < 0) 
 En la expresión𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) ¿Qué indica el parámetro b y cómo se determina? Ejemplifique. 
 En la expresión 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝐶) ¿cómo se determina el ángulo de fase y que indica? 
Ejemplifique. 
 En la expresión 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝐶) + 𝐷 ¿cómo se denomina D y qué indica? ¿Cuál es el conjunto 
imagen de la función? Ejemplifique. 
 Enuncie y demuestre el teorema del seno y coseno. 
 ¿Qué teorema trigonométrico aplicaría para obtener la amplitud de los ángulos interiores de un 
triángulo de lados 𝑎; 2𝑎 y ángulo opuesto al mayor de 50°? 
 Si el ángulo que forman dos lados de un triángulo mide 60° y uno de ellos mide 2 unidades más que 
el otro ¿cuánto mide el tercer lado? 
Ejercitación 
 
 La gráfica corresponde a un triángulo rectángulo con un cateto igual al doble del otro. 
a) Muestre que la longitud de la hipotenusa es phip 5= 
b) Obtenga el valor de las razones trigonométricas para el ángulo 
que tiene al cateto de mayor longitud como uno de sus lados. 
c) Calcule la amplitud de los ángulos agudos del triángulo. 
 
 
 Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo, ¿Cuál era la altura del 
árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo de º50 y la otra parte tiene 
una altura de 10m? 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
68 
 
 En cada expresión determine: a) Dominio e imagen, b) amplitud, c) período, d) pulsación, e) valor 
máximo y mínimo, f) ángulo de fase, g) desplazamiento vertical. 
i) ( )x3sen)x(f = ii) 





+=
4
)(

xsenxf iii) 





−=
2
x
sen3)x(g 
iv) ( ) 3x2cos5,2)x(h += v) 





−−=
3
xcos1)x(f

 vi) 





++=
6
x3cos2
3
7
y

 
Esboce la gráfica de cada una, luego utilizando un graficador trace la misma y compare. 
 
 Considere la expresión de una función trigonométrica de la forma D)Cbx(Asen)x(f ++= . Con 
la información proporcionada, determine el valor de cada parámetro y esboce la gráfica 
correspondiente. 
a) La gráfica de la función no sufre desplazamiento vertical, la amplitud es 2, su ángulo de fase es 
cero y su período es  
b) El desplazamiento vertical de la función es 3, su período es 4 , el valor máximo 9 y pasa por el 
origen de coordenadas. 
c) El período de f es 
2
3
, valor máximo 8, valor mínimo 5 y ángulo de fase 
3

− 
 
 Para una carretera se excavará un túnel bajo una 
montaña que tiene 80 metros de alto. Determine la 
longitud del túnel considerando los datos de la figura. 
 
 
 Un guardabosque en un punto de observación A avista un incendio en la dirección N 27°10’ O. Otro 
guardabosque se encuentra en el punto de observación B, a 6 km del punto A, observa el mismo 
incendio en la dirección N 52°40’ E. Calcule la distancia de cada observador al incendio. 
 Decida si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Fundamente su respuesta. 
a) El teorema del coseno nunca se transforma en el teorema de Pitágoras. 
b) La amplitud del ángulo  no se puede calcular si el 
2
3
−=sen .