Estudio de funciones

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ESTUDIO DE FUNCIONES 
El análisis del comportamiento de las funciones, en su dominio, conduce a estudiar además de 
las intersecciones con los ejes coordenados, asíntotas y discontinuidades, algunos puntos 
singulares, los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y la concavidad de las 
gráficas. 
Puntos extremos relativos o locales. 
Considerando la gráfica de una función 𝑓 y analizando el valor de la función en el entorno de 
cada número 𝑐 se observa que: 
- 𝑐1 es la abscisa de un punto mínimo relativo 
de ordenada 𝑓(𝑐1). Siendo 𝑃(𝑐1, 𝑓(𝑐1)) 
- 𝑐2 es la abscisa de un punto máximo relativo 
de ordenada 𝑓(𝑐2). Siendo 𝑄(𝑐2, 𝑓(𝑐2)) 
- 𝑐3 es la abscisa de un punto mínimo relativo 
de ordenada 𝑓(𝑐3). Siendo 𝑅(𝑐3, 𝑓(𝑐3)) 
- 𝑐4 es la abscisa de un punto máximo relativo 
de ordenada 𝑓(𝑐4). Siendo 𝑇(𝑐4, 𝑓(𝑐4)) 
 
 Valores máximos y mínimos relativos o locales. 
 
 
 
 
Gráficamente: 
 
∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) es 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) 
 
∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) es 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) 
 
Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable en un intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y alcanza un valor máximo o 
mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐 ∈ 𝐼,entonces𝑓’(𝑐) = 0. 
Estudio de funciones. Comportamiento y Puntos singulares. 
Def. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑐 ∈ 𝐼 entonces: 
1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo de 𝑓 si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥). 
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo de 𝑓 si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥). 
 
 
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El valor de las pendientes de las rectas tangentes que pasan por los 
puntos de abscisas 𝑐1 y 𝑐2 es cero  𝑓
′(𝑐1) = 0 y 𝑓
′(𝑐2) = 0 
Observaciones 
 
 
Ejemplo: La función 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 en 𝑥 = 1no tiene valor extremo, sin embargo 
𝑔’(1) = 0. 
La derivada de 𝑔 es: 𝑔′(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2 
𝐷𝑔′ = 𝑅  ∃ 𝑔′(1) 
𝑔′(1) = 3(1 − 1)2  𝑔′(1) = 0 
Es una función creciente en su dominio. 
 
La recta tangente a gráfica en P(1,1) tiene 
pendiente: 𝑚𝑡 = 0  𝑔
′(1) = 0 y no es un 
punto extremo. 
 
 
Ejemplo: La función 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
 en 𝑥 = 0 tiene valor extremo y ∄𝑓’(0). 
𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
 con dominio𝐷𝑓 = 𝑅 
𝑓′(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3𝑓′(𝑥) =
1
3 √𝑥2
3 
𝐷𝑓′ = 𝑅 − {0}∄ 𝑓′(0) sin embargo, 𝑓 tiene un 
valor mínimo en x=0. En 𝑥 = 0 se observa un punto anguloso. 
Conclusión: Si 𝑓 tiene un valor extremo relativo en 𝑥 = 𝑐 entonces 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄ 𝑓’(𝑐) 
 
 
 
 
 
 
 
1) La condición 𝑓’(𝑐) = 0 no es suficiente para que exista un valor extremo relativo. 
Existen funciones que no presentan valores extremos cuando 𝑓’(𝑐) = 0. 
 
2) La condición carece de sentido si la función no es derivable en 𝑥 = 𝑐. 
Existen funciones que presentan extremos relativos en valores donde no son derivables. 
 
¡¡¡Atención!!! Que 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄ 𝑓’(𝑐) no es suficiente 
para asegurar la existencia de un valor extremo en 𝑥 = 𝑐. 
 
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Números Críticos 
Los números críticos (𝑥 = 𝑐) son valores pertenecientes al dominio de la función. En las gráficas 
de las funciones, son abscisas de posibles puntos extremos. Algebraicamente, se obtienen 
resolviendo la ecuación 𝑓′(𝑥) = 0 y determinando los valores donde ∄ 𝑓′(𝑥). Gráficamente, se 
tiene en cuenta la relación entre pendiente de una recta tangente a una curva y el valor de la 
derivada de la función (𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑐) y se obtienen analizando la pendiente de la recta tangente 
donde (𝑚𝑡 = 0) y donde no existe la pendiente (∄ 𝑚𝑡) . 
En la gráfica de 𝑓, se observa que: 
La recta tangente a la curva en 𝑃(𝑐1, 𝑓(𝑐1)) es horizontal, de modo que, 𝑚𝑡 = 0 . 
 El valor 𝑐1 es un número crítico: allí 𝑓
′(𝑐1) = 0 
En 𝑄(𝑐2, 𝑓(𝑐2)), no es posible trazar una recta tangente a la curva, (∄ 𝑚𝑡). 
El valor 𝑐2 también, es un número crítico: ∄ 𝑓
′(𝑐2) , 
 
 
 
 Pertenecen al dominio de la función y lo dividen en intervalos de monotonía. 
Los n° críticos (𝒙 = 𝒄) Son abscisas de posibles puntos extremos relativos. 
 Algebraicamente, se obtienen al resolver 𝑓’(𝑥) = 0 y analizar los valores donde ∄𝑓′(𝑥). 
Ejemplo1: Obtener los números críticos de 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 + 1 y escribir los intervalos en los 
que se divide el dominio de 𝑓. 
𝑓′(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 siendo 𝐷𝑓′ = 𝑅  no hay valores donde ∄𝑓
′. 
Haciendo 𝑓′(𝑥) = 0 se tiene: 𝑥3 − 3𝑥2 = 0 
  𝑥2(𝑥 − 3) = 0 
 𝑥 = 0  𝑥 = 3, ambos pertenecen al domino de la función entonces, son 
números críticos: 𝑐1 = 0 y 𝑐2 = 3. 
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, 0); (0, 3); (3, ∞) 
 
Ejemplo2: Obtener los números críticos de 𝑔(𝑥) = 3√𝑥 + 1
3
+ 2 . 
𝐷𝑔 = 𝑅 
𝑔′(𝑥) =
1
√(𝑥+1)2
3 siendo 𝐷𝑔′ = 𝑅 − {−1} 
De modo que ∄𝑔′(−1) pero, 𝑥 = −1 ∈ 𝐷𝑔 
 el valor 𝑥 = −1 es un número crítico. 
Haciendo 𝑔′(𝑥) = 0 se tiene que no existe valor de 𝑥 que cumpla la igualdad. 
  la función g tiene un solo número crítico: 𝑐 = −1 . 
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, −1); (−1, ∞) 
Def. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función y 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 entonces, 𝑥 = 𝑐 es un número o valor critico de 𝑓 
si 𝑓’(𝑐) = 0 o ∄𝑓′(𝑐). 
 
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Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento 
Considerando que, el valor de la derivada de una función está asociado a la pendiente de la 
gráfica de la función en un punto, se puede afirmar que: Si en los intervalos del dominio, 
determinados por los números críticos: 
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es positiva la función será 
creciente en ese intervalo. 
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es negativa la función será 
decreciente en ese intervalo. 
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es cero la función será 
constante en ese intervalo. 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) con dominio 𝐷 = 𝑅 
En 𝑥 = 𝑐1, 𝑓
′(𝑐1) = 0  𝑐1 es un número crítico de 𝑓. 
En 𝑥 = 𝑐2, ∄𝑓
′(𝑐2)  𝑐2 es un número crítico de 𝑓. 
∀𝑥 ∈ (−∞, 𝑐1); 𝑓
′(𝑥) < 0  𝑓 es decreciente en (−∞, 𝑐1] 
∀𝑥 ∈ (𝑐1, 𝑐2); 𝑓
′(𝑥) > 0  𝑓 es creciente en [𝑐1, 𝑐2] 
∀𝑥 ∈ (𝑐2, ∞); 𝑓
′(𝑥) = 0  𝑓 es constante en [𝑐2, ∞) 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Sea 𝑔(𝑥) =
1
2(𝑥−1)
+
1
2
𝑥 determinar los intervalos donde la función crece o decrece. 
𝐷𝑔 = 𝑅 − {1} 
𝑔′(𝑥) = −
1
2(𝑥−1)2
+
1
2
  𝑔′(𝑥) =
𝑥2−2𝑥
2(𝑥−1)2
 
𝑔′(𝑥) = 0  𝑥2 − 2𝑥 = 0  𝑥 = 0 ; 𝑥 = 2 
∄𝑔′(𝑥)  2(𝑥 − 1)2 = 0  𝑥 = 1 
0 ∈ 𝐷; 2 ∈ 𝐷; 1𝐷 
  los n° críticos son: 𝑐1 = 0 ; 𝑐2 = 2 
El dominio se divide en: (−∞, 0); (0, 1); (1, 2); (2, ∞) 
 
 
 
 
Teorema: Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y continua en el 
intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]: 
1) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) > 0 entonces 𝑓 es creciente en el intervalo [𝑎, 𝑏]. 
2) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) < 0 entonces 𝑓 es decreciente en el intervalo [𝑎, 𝑏] 
3) Si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) = 0 entonces 𝑓 es constante en el intervalo [𝑎, 𝑏] 
 
 
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La tabla muestra, en forma organizada, el estudio para la determinación del comportamiento 
de la función en los intervalos. 
Intervalo Valor prueba Valor de 𝑔’ Signo de 𝑔’ Comportamiento de 𝑔 
(−∞, 0) 𝑥 = −1 𝑔′(−1) =
(−1)2−2.(−1)
2(−1−1)2
=
3
8
 + Creciente 
(0, 1) 𝑥 = 0.5 𝑔′(0.5) =
(0.5)2 − 2. (0.5)
2(0.5 − 1)2
= −
3
2
 - Decreciente 
(1, 2) 𝑥 = 1.5 𝑔′(1.5) =
(1.5)2 − 2. (1.5)
2(1.5 − 1)2
= −
3
2
 - Decreciente 
(2, ∞) 𝑥 = 3 𝑔′(3) =
32−2.(3)
2(3−1)2
=
3
8
 + Creciente 
Respuesta: La función 𝑔 es creciente en (−∞, 0] ∪ [2, ∞) y decreciente en [0, 1) ∪ (1, 2] 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) los números críticos dividen a 𝐷𝑓 en 
intervalos de monotonía y en ellos se cumple que ∀𝑥 ∈
𝐼, 𝑓′(𝑥) > 0 o ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) < 0. También, puede suceder 
que el valor de la derivada sea 𝑓′(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, lo cual 
indica que la funciónes constante en dicho intervalo. 
 
Criterio del signo de la Primera Derivada para determinar puntos extremos relativos 
Consiste en estudiar el cambio de signo de la primera derivada en un entorno de cada número 
crítico. Si el cambio es de positivo a negativo existe un valor máximo relativo y si es de negativo 
a positivo existe un valor mínimo relativo de 𝑓. Si no hay cambio no existe un extremo relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo1: Obtener los puntos extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 + 1. 
𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 + 1, dominio 𝐷𝑓 = 𝑅 
𝑓′(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2, con dominio 𝐷𝑓′ = 𝑅 no hay valores donde ∄𝑓
′. 
𝑓′(𝑥) = 0  𝑥3 − 3𝑥2 = 0  𝑥2(𝑥 − 3) = 0 
 𝑥 = 0 ∈ 𝐷𝑓  𝑥 = 3 ∈ 𝐷𝑓 
¡La obtención correcta de 
los números críticos 
garantizará un análisis 
correcto del 
comportamiento de la 
función! 
Def. Sea 𝑓 una función continua en un intervalo abierto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑥 = 𝑐 ∈ 𝐼 un número 
crítico, entonces: 
1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo, si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓′(𝑥) > 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓′(𝑥) < 0. 
Siendo el punto máximo 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). 
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo, si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓′(𝑥) < 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓′(𝑥) > 0. 
Siendo el punto mínimo 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). 
3) Si 𝑓′ no cambia de signo en 𝑥 = 𝑐 entonces 𝑓 no alcanza un valor extremo en 𝑥 = 𝑐. 
El punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) no será extremo relativo. 
 
 
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 𝑐1 = 0 y 𝑐2 = 3, son números críticos. 
El dominio queda dividido en los intervalos: (−∞, 0); (0, 3); (3, ∞) 
Nº critico Intervalo Valor prueba Signo de 𝑓’ Comportamiento de 𝑓 Punto Extremo Local 
 
(−∞, 0) 𝑥 = −1 Negativo Decreciente 
 
𝑥 = 0 𝐴(0, 1) no es punto extremo 
(0, 3) 𝑥 = 1 Negativo Decreciente 
𝑥 = 3 𝐵(3, 𝑓(3)) es un punto mínimo 
(3, ∞) 𝑥 = 4 Positivo Creciente 
 
Para calcular la ordenada de B se evalúa 𝑓 en 𝑥 = 3: 
𝑓(3) =
1
4
34 − 33 + 1 = −
23
4
  el único punto extremo de la gráfica es 𝐵 (3, −
23
4
) 
 
Ejemplo2: Obtener los puntos extremos relativos de la función ℎ(𝑥) =
3
2
√(𝑥 − 3)2
3
+ 𝑥 
Dominio: 𝐷ℎ = 𝑅 
Números críticos de ℎ(𝑥) =
3
2
(𝑥 − 3)
2
3 + 𝑥 
ℎ′(𝑥) = (𝑥 − 3)−
1
3 + 1  ℎ′(𝑥) =
1
(𝑥−3)
1
3
+ 1 siendo 𝐷ℎ′ = 𝑅 − {3} 
 ∄ℎ′(3) pero 𝑥 = 3 ∈ 𝐷ℎ entonces, es un número crítico. 
ℎ′(𝑥) =
1+(𝑥−3)
1
3
(𝑥−3)
1
3
 , haciendo: ℎ′(𝑥) = 0  1 + (𝑥 − 3)
1
3 = 0 , 
 (𝑥 − 3)
1
3 = −1  𝑥 − 3 = (−1)3  𝑥 − 3 = −1 luego, 𝑥 = 2 ∈ 𝐷ℎ. 
Los números críticos son: 𝑐1 = 2 y 𝑐2 = 3 
Nº critico Intervalo Valor prueba Signo de ℎ’ Punto Extremo relativo (PE) 
 
(−∞, 2) 𝑥 = 0 Positivo 
 
𝑥 = 2 𝑃(2,
7
2
) punto máximo 
(2, 3) 𝑥 = 2.5 Negativo 
𝑥 = 3 𝑄(3, 3) es un punto mínimo 
(3, ∞) 𝑥 = 3 Positivo 
 
 
Ejemplo3: A partir del análisis de la gráfica de una función 𝑓 con dominio 𝐷 = 𝑅, estime los 
valores extremos relativos y el comportamiento de la función en su dominio. 
 
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Números críticos: 𝑐1 = −2; 𝑐2 = −1; 𝑐3 = 0 y 𝑐4 = 2 
En 𝑥 = −2, 𝑚𝑡 = 0  𝑓
′(−2) = 0  −2 ∈ 𝐷 
En 𝑥 = −1, ∄ 𝑚𝑡  ∄ 𝑓
′(−1)  −1 ∈ 𝐷 
En 𝑥 = 0,𝑚𝑡 = 0  𝑓
′(0) = 0  0 ∈ 𝐷 
En 𝑥 = 2, 𝑚𝑡 = 0  𝑓
′(2) = 0  2 ∈ 𝐷 
Intervalos de monotonía: 
(−∞, −2); (−2, −1); (−1, 0); (0, 2); (2, ∞) 
 
Observación: El trazado de las rectas tangentes a la gráfica en los puntos indicados permite inferir la existencia o 
no de la derivada y el valor de la misma. 
 
Nº critico Intervalo Signo de 𝑚𝑡 Signo de 𝑓’ Comportamiento de 𝑓 Valor extremo Punto extremo local 
 
(−∞, −2) Positivo  Positivo Creciente 
 
𝑥 = −2 No posee T(-2, 1) no es P.E. 
(−2, −1) Positivo  Positivo Creciente 
𝑥 = −1 𝑓(−1) = 2 P(-1, 2) Máx. relativo 
(−1, 0) Negativo  Negativo Decreciente 
𝑥 = 0 𝑓(0) = −2 Q(0,-2) Mín. relativo 
(0, 2) Positivo  Positivo Creciente 
𝑥 = 2 𝑓(2) = 2 R(2,2) Máx. relativo 
(2, ∞) Negativo  Negativo Decreciente 
 
La función es creciente en (−∞, −1] ∪ [0,2] y decrece en [−1,0] ∪ [2, ∞) 
Extremos absolutos en intervalos cerrados 
Sea 𝑓 una función continua en 𝐼 = [𝑎, 𝑏] 
 
El valor mínimo absoluto es 𝑓(𝑎) y el 
máximo absoluto 𝑓(𝑏). 
Puntos 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) y 𝑄(𝑏, 𝑓(𝑏)) 
(Están en los extremos del intervalo) 
 
El valor máximo absoluto es 𝑓(𝑐1) y el 
mínimo absoluto 𝑓(𝑎). 
Puntos 𝑃(𝑐1, 𝑓(𝑐1)) y 𝑄(𝑎, 𝑓(𝑎)) 
(Uno está en el extremo del intervalo y 
el otro en el interior) 
 
El valor máximo absoluto es 𝑓(𝑐2) y el 
mínimo absoluto 𝑓(𝑐1). 
Puntos 𝑃(𝑐2, 𝑓(𝑐2)) y 𝑄(𝑐1, 𝑓(𝑐1)) 
(Están en valores interiores al intervalo) 
 
 
 
 
 
 
 
Def. Sea 𝑓 una función continua en 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝑐 ∈ 𝐼, entonces: 
1) 𝑓(𝑐) es un valor máximo absoluto, si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) . 
2) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo absoluto, si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) . 
Siendo el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) el punto extremo absoluto en 𝐼. 
 
 
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Procedimiento: 
 
 
 
 
 
Ejemplo: ¿Cuáles son los puntos extremos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 15𝑥 en [−1, 3]? 
Determinación de los números críticos 
La derivada es: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 18𝑥 + 15  𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2 − 6𝑥 + 5) 
El dominio de la derivada es: 𝐷𝑓′ = 𝑅  No hay valor en el intervalo donde ∄ 𝑓′(𝑥). 
Haciendo: 𝑓′(𝑥) = 0  3(𝑥2 − 6𝑥 + 5) = 0 
𝑥12 =
6±√36−20
2
  𝑥12 =
6±√16
2
  𝑥12 =
6±4
2
  𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = 5 
𝑥 = 5 𝐼 y 𝑥 = 1 ∈ 𝐼  𝑐 = 1 es un número crítico perteneciente al intervalo. 
Valor de la función en los números críticos y en los extremos del intervalo 
Se evalúa la función en los extremos del intervalo: 𝑥 = −1; 𝑥 = 3 y 
en el n° crítico 𝑐 = 1. 
En 𝑥 = −1; 𝑓(−1) = (−1)3 − 9(−1)2 + 15(−1) 
𝑓(−1) = −25 Valor Mínimo absoluto. 
En 𝑥 = 1 𝑓(1) = (1)3 − 9(1)2 + 15. (1) = 7 
 𝑓(1) = 7 Valor máximo absoluto. 
En 𝑥 = 3 𝑓(3) = (3)3 − 9(3)2 + 15. (3) = −9 
𝑓(3) = −9 P. E. absolutos: 𝑃(−1, −25) y 𝑄(1,7) 
 
Problemas de optimización 
En general, para resolver problemas de optimización se recomienda determinar las siguientes 
expresiones: 
Expresión que relaciona las variables 
Esta expresión vincula las variables, que intervienen, con los datos del problema. 
Expresión a optimizar 
La pregunta: ¿Qué es lo que se quiere hacer máximo o mínimo?, puede ayudar en la 
determinación de la expresión a optimizar. 
Ilustrar la situación con una gráfica, siempre que sea posible. 
 
Para determinar los puntos extremos absolutos en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] se procede a: 
1. Determinar los números críticos que pertenecen al intervalo abierto (𝑎, 𝑏). 
2. Evaluar la función en los extremos del intervalo y en los números críticos perteneciente al mismo. 
3. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto en [𝑎, 𝑏]. 
 
 
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Problema1: Un terreno rectangular se cercará con 600 metros de alambre tejido. ¿Qué 
dimensiones deberá tener el terreno para que el área encerrada sea la máxima? 
 
Interpretación gráfica: 
Expresión que relaciona las variables: 
Perímetro: 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 
 2𝑥 + 2𝑦 = 600, luego 𝑦 = 300 − 𝑥 
Expresión optimizar: 
El área del terreno: 𝐴 = 𝑥 . 𝑦 
 𝐴(𝑥) = 𝑥 . (300 − 𝑥) 
 
Dominio: 𝐼 = [0, 300] 
Números críticos: 
𝐴′(𝑥) = 300 − 2𝑥  𝐴′(𝑥) = 0 en 𝑥 = 150 ∈ 𝐼 
Evaluar la función: 
En los extremos del intervalo: el valor es cero. 
En el n° crítico: 𝐴(150) = 150 . (300 − 150)  𝐴(150) = 22500 (valor máximo de para el área) 
 si la base mide 150 m el área será máxima y la altura 𝑦 = 300 − 𝑥 también mide 150 m. 
Problema2: La producción 𝑃 de cierta hortaliza en un invernadero en kg depende de la 
temperatura T en °C, según la expresión: 𝑃(𝑇) = (𝑇 + 1)2 ∙ (32 − 𝑇). Calcular la temperatura 
optima a mantener en el invernadero para que la producción sea máxima. 
Función a optimizar: 𝑃(𝑇) = −𝑇3 + 30𝑇2 + 63𝑇 + 32con dominio 𝐷𝑃 = 𝑅 
𝑃′(𝑇) = −3𝑇2 + 60𝑇 + 63  𝑃′(𝑇) = 0  −3𝑇2 + 60𝑇 + 63 = 0 
 Luego, 𝑇 = −1°𝐶 y 𝑇 = 21°𝐶 
Intervalo de temperatura (°C) Signo de 𝑃’ 
𝑇 < −1 − 
 
Con temperatura de 𝑇 = −1°𝐶 , la producción es mínima 
−1 < 𝑇 < 21 + 
Con temperatura de 𝑇 = 21°𝐶 , la producción es máxima 
𝑇 > 21 − 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Rolle 
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], derivable en el intervalo abierto 
(𝑎, 𝑏) y 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces existe un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓’(𝑐) = 0. 
 
 
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Ilustración (distintas situaciones) 
 
 
 
En 𝑥 = 𝑐, 𝑚𝑇 = 0  𝑓
′(𝑐) = 0 
∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)  𝑓(𝑐) es máx. abs. 
 
En 𝑥 = 𝑐, 𝑚𝑇 = 0  𝑓
′(𝑐) = 0 
∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)  𝑓(𝑐) es mín. abs. 
 
 
 
 
En 𝑥 = 𝑐1 y 𝑥 = 𝑐2 es 𝑚𝑇 = 0 
 𝑓′(𝑐1) = 𝑓
′(𝑐2) = 0 
𝑓(𝑐1) es máx. absoluto y 𝑓(𝑐2) mín. abs. 
 
En 𝑥 = 𝑐1 , 𝑥 = 𝑐2 y 𝑥 = 𝑐3 es 𝑚𝑇 = 0 
 𝑓′(𝑐1) = 𝑓
′(𝑐2) = 𝑓
′(𝑐3) = 0 
𝑓(𝑐1) es máx. absoluto. 
 
 
 
 
Ejemplo1: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2, definida en [0, 4]. Verifique las hipótesis del teorema de 
Rolle y determine el o los valores donde se cumple la tesis. 
Desarrollo: 
Siendo 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 8𝑥  ∃ 𝑓′ ∀𝑥 ∈ 𝑅 
1. Si existe un único 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), entonces 𝑓 tendrá un valor extremo absoluto en 𝑥 = 𝑐. 
2. Si existen más un número 𝑐, en uno de ellos se producirá un valor extremo absoluto. 
3. Si 𝑓(𝑥) = 𝑘 (k, constante) entonces, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) = 0 
4. 
 
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De modo que la función 𝑓 es derivable en 𝑅, en consecuencia, es derivable en 𝐼 = (0, 4)  es 
continua en [0, 4]. 
Al evaluar la función en los extremos del intervalo de definición se tiene que: 
𝑓(0) = (0)3 − 4(0)2 + 2  𝑓(0) = 2 
𝑓(4) = (4)3 − 4(4)2 + 2  𝑓(4) = 2 
Así, se cumple que: 𝑓(0) = 𝑓(4) 
Tesis: ∃ 𝑐 / 𝑓′(𝑐) = 0 
𝑓′(𝑐) = 3𝑐2 − 8𝑐  3𝑐2 − 8𝑐 = 0 
Luego, 𝑐(3𝑐 − 8) = 0  𝑐 = 0  𝑐 =
8
3
 
𝑐 = 0(0,4)  𝑐 =
8
3
∈ (0,4) 
El número donde se cumple la tesis del teorema es 𝑐 =
8
3
. 
 
 
Ejemplo2: Determine si en el intervalo [1, 3] la función 𝑔(𝑥) = 3√(𝑥 − 2)2
3
+ 1 cumple las 
condiciones de Rolle. 
Desarrollo: 
Siendo 𝑔′(𝑥) =
2
√𝑥−2
3  ∄ 𝑔
′(2) 
 no es derivable ∀𝑥 ∈ (1,3), por lo tanto, no cumple hipótesis 1). 
 No se cumple una de las condiciones, aunque 𝑔 sea continua y 
𝑔(1) = 𝑔(3) 
 
 
 
 
 
 
Gráficamente Algebraicamente 
La pendiente de la recta secante 𝑟𝑠, es 𝑚𝑠 =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. 
La pendiente de la recta tangente 𝑟𝑡 es 𝑚𝑡 = 𝑓’(𝑐) 
Las rectas son paralelas, es decir, 𝑟𝑡//𝑟𝑠 
 se cumple: 𝑚𝑡 = 𝑚𝑠 
Siendo 𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑐)  𝑚𝑠 =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 
  𝑓’(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 
Teorema del valor medio (Lagrange) 
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], derivable en el intervalo abierto 
(𝑎, 𝑏), entonces existe un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓’(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. 
 
 
55 
M.Arias 
 
Ejemplo: Obtenga la o las abscisas de los puntos que satisfacen el teorema del Valor Medio 
para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 en el intervalo [−1,1]. 
1. Se comprueba que la función es continua en [−1,1] y derivable en (−1,1) . 
La función es continua en R por ser una función polinómica, en consecuencia, es 
continua en el intervalo cerrado [−1,1] 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 siendo su dominio R, por lo tanto, la función es derivable en R y, en 
consecuencia, es derivable en el intervalo (−1,1) 
2. Si la función es continua en [−1,1] y derivable en (−1,1) existe al menos un número 𝑐 
en cual se cumple que 𝑓’(𝑐) =
𝑓(1)−𝑓(−1)
1−(−1)
. 
Evaluar la función en 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 
𝑓(1) = 13 − 12 + 1 = 1  𝑓(1) = 1 
𝑓(−1) = (−1)3 − (−1)2 + 1 = −1  𝑓(−1) = −1 
 𝑓’(𝑐) =
1−(−1)
1−(−1)
= 1  𝑓′(𝑐) = 1 (∗) 
Si 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 se reemplaza 𝑥 por 𝑐 y se tiene 𝑓′(𝑐) = 3𝑐2 − 2𝑐 (∗∗) 
Luego, se iguala (∗) y (∗∗): 1 = 3𝑐2 − 2𝑐 y se resuelve la ecuación resultante. 
3𝑐2 − 2𝑐 − 1 = 0  𝑐 = −
1
3
 y 𝑐 = 1 
 El valor interior al intervalo es  𝑐 = −
1
3
. 
La gráfica ilustra la situación 
 
Derivada Sucesivas 
Si 𝑓 es una función derivable  ∃ 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥)(derivada de primer orden) 
Si 𝑓′ es una función derivable  ∃ 
𝑑𝑓′
𝑑𝑥
= 𝑓′′(𝑥)(derivada de segundo orden) 
Si 𝑓′′ es una función derivable  ∃ 
𝑑𝑓′′
𝑑𝑥
= 𝑓′′′(𝑥)(derivada de tercer orden) 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Si 𝑓𝑛−1 es una función derivable  ∃ 
𝑑𝑓𝑛−1
𝑑𝑥
= 𝑓𝑛(𝑥)(derivada de orden𝑛) 
 
56 
M.Arias 
 
Ejemplo: Sea𝑔(𝑥) =
3
20
𝑥5 − 2𝑥3 + 3 y ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. Obtener 𝑔’’’ y ℎ’’. 
𝑔′(𝑥) =
3
4
𝑥4 − 6𝑥2 
𝑔′′(𝑥) = 3𝑥3 − 12𝑥 
𝑔′′′(𝑥) = 9𝑥2 − 12 
 
ℎ′(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 (regla de la cadena) 
ℎ′′(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥. (−𝑠𝑒𝑛𝑥) (regla del producto) 
ℎ′′(𝑥) = 2(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
ℎ′′(𝑥) = 2 − 4 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (siendo 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
Concavidad 
La gráfica de una función puede presentar intervalos donde es cóncava hacia arriba y otros con 
concavidad hacia abajo. 
Considerando una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable en 𝐼 = (𝑎, 𝑏) 
 
En (𝑎, 𝑏)los valores de 𝑓’ aumentan 
 (𝑓’ es creciente en 𝐼 y 𝑓 es cóncava 
hacia arriba) 
 
 
 
En (𝑎, 𝑏) los valores de 𝑓’ disminuyen 
(𝑓’ es decreciente en 𝐼 y 𝑓 es cóncava 
hacia abajo) 
Si 𝑓’ es creciente en 𝐼 , su derivada 
𝑑𝑓′
𝑑𝑥
 es positiva (𝑓’’(𝑥) > 0) y la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba. 
Si 𝑓’ decrece en 𝐼 , su derivada 
𝑑𝑓′
𝑑𝑥
 es negativa (𝑓’’(𝑥) < 0) y la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Determinar los intervalos en los que la función ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1 es cóncava hacia 
arriba. 
1.- Obtener la segunda derivada de ℎ. 
ℎ′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 y ℎ′′(𝑥) = 6𝑥 + 6 
2.- Plantear la desigualdad correspondiente para obtener los intervalos 
donde la función es cóncava hacia arriba. Es decir ℎ′′(𝑥) > 0 . 
6𝑥 + 6 > 0  6𝑥 > −6  𝑥 > −1 
 la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (−1, ∞). 
 
Criterio de Concavidad 
Sea 𝑓 una función derivable en 𝐼 = (𝑎, 𝑏): 
1) Si 𝑓’’(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼  𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼. 
2) Si 𝑓’’(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼  𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼. 
 
57 
M.Arias 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo1: Obtener los puntos extremos de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 + 1. 
Dominio: 𝐷𝑔 = 𝑅 
Números Críticos 
𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥, factorizada: 𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥(1 + 𝑥) 
𝑔′(𝑥) = 0  𝑒𝑥(1 + 𝑥) = 0  𝑥 = −1 ∈ 𝐷 
De modo que es un número crítico, 𝑐 = −1 
Siendo 𝐷𝑔′ = 𝑅, no hay valores donde no existe la derivada. 
Criterio del signo de la segunda derivada. 
𝑔′′(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥  𝑔′′(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 
Luego, 𝑔′′(𝑥) = 𝑒𝑥(2 + 𝑥) 
Evaluando en 𝑥 = −1 : 𝑔′′(−1) = 𝑒−1(2 − 1)  𝑔′′(−1) = 𝑒−1 
Siendo 𝑔′′(−1) > 0 
La función tiene un valor mínimo relativo en 𝑥 = −1 y el punto es: 𝑃(−1, 0.63) 
Ejemplo2: ¿Cuáles son los puntos extremos de la función 𝑓(𝑥) =
1
5
𝑥5 −
1
4
𝑥4? 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 
Números Críticos 
La derivada es: 𝑓′(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3, Factor Común: 𝑓′(𝑥) = 𝑥3(𝑥 − 1) 
Los valore pertenecen al dominio: 𝑥 = 0 ∈ 𝐷𝑓 y 𝑥 = 1 ∈ 𝐷𝑓 
Siendo 𝐷𝑓′ = 𝑅, no hay valores donde no existe la derivada. 
Criterio del signo de la segunda derivada. 
𝑓′′(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥2 
Se evalúa en cada número crítico. 
En x= 0, 𝑓′′(0) = 0 (no se puede afirmar si es abscisa de un punto extremo) 
En x= 1, 𝑓′′(1) = 4(1)3 − 3(1)2  𝑓′′(1) = 1  𝑓′′(1) > 0 
 𝑥 = 1 es abscisa de un punto mínimo  𝑃 (1, − 
1
20
) 
 
Criterio del signo de la Segunda Derivada (parala determinación de extremos relativos) 
Sea 𝑥 = 𝑐 un número crítico de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable, entonces: 
1) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo de 𝑓, si 𝑓’’(𝑐) > 0. 
2) 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo de 𝑓, si 𝑓’’(𝑐) < 0. 
3) Si 𝑓’’(𝑐) = 0; No se puede afirmar que 𝑓(𝑐) sea un extremo relativo de 𝑓. 
 
 
58 
M.Arias 
 
 
 
Por Criterio del signo de la Primera Derivada, se analiza el signo de la derivada en el 
entorno de cero (tener presente la división del dominio de la función, generada por 
los números críticos). 
En 𝑥 < 0, valor prueba x=-1 𝑓′(−1) = (−1)4 − (−1)3 = 2 𝑓′(𝑥) > 0 
 
𝑅(0, 0) 
Máx. Rel. En 0 < 𝑥 < 1, valor prueba x=0.5 𝑓′(0.5) = (0.5)4 − (0.5)3 = −0.0625 𝑓′(𝑥) < 0 
 𝑥 = 0 es abscisa de un punto máximo relativo, 𝑅(0, 0) 
Diferencias y semejanzas entre los criterios 
Criterio del: 
Signo de la 1era derivada Signo de la 2da derivada 
Identificar el Dominio de 𝑓. Identificar el Dominio de𝑓. 
Determinar: Números críticos (𝑥 = 𝑐 ) Determinar: Números críticos (𝑥 = 𝑐 ) 
Estudiar: signo de f en un entorno de cada n° 𝑥 = 𝑐 Evaluar f  en cada n° 𝑥 = 𝑐 
 
Puntos de inflexión 
Un punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) perteneciente a la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es un punto de 
inflexión si en él la gráfica cambia de concavidad y se cumple que 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓′′(𝑐). 
 
 
 
 
Abscisas de posibles puntos de inflexión y determinación puntos de inflexión 
Las abscisas de posibles puntos de inflexión (APPI), dividen al dominio de la función en 
intervalos y se determinan resolviendo 𝑓’’(𝑥) = 0 y analizando los valores donde ∄𝑓′′(𝑥). 
Procedimiento 
 
 
 
¿Cómo saber si hay un punto extremo en 𝑥 = 0? 
 
Def. Sea 𝑓 continua en 𝐼 = (𝑎, 𝑏) y 𝑐 ∈ 𝐼, entonces en 𝑥 = 𝑐 existe un punto de inflexión (PI) 
si ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓′′(𝑥) > 0  ∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓′′(𝑥) < 0 o bien ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓′′(𝑥) < 0  
∀𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏), 𝑓′′(𝑥) > 0. 
 
- Determinar: Dominio y APPI. 
- Estudiar el signo de la segunda derivada en los intervalos determinados por las APPI. 
- Identificar los cambios de concavidad. 
 
 
59 
M.Arias 
 
Ejemplo: Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad de la función 
𝑔(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3. 
Dominio: 𝐷𝑔 = 𝑅 
APPI 
𝑔′(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥2 
𝑔′′(𝑥) = 12𝑥2 − 12𝑥, siendo 𝐷𝑔′′ = 𝑅 por los que no hay valores 
donde no existe la segunda derivada. 
Haciendo 𝑔′′(𝑥) = 0 y factorizando resulta: 12𝑥. (𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son APPI (ambos pertenecen al dominio de 𝑔) 
APPI Intervalo Valor prueba Signo de 𝑓′′ Concavidad de 𝑓 Punto de Inflexión (PI) 
 
(−∞, 0) 𝑥 = −1 Positivo Hacia arriba 
 
𝑥 = 0 𝑃(0, 0) 
(0, 1) 𝑥 = 0.5 Negativo Hacia abajo 
𝑥 = 1 𝑄(1, −1) 
(1, ∞) 𝑥 = 2 Positivo Hacia arriba 
 
La función es cóncava hacia arriba en (−∞, 0) ∪ (1, ∞) y es cóncava hacia abajo en (0, 1). 
 
 
Observación: Si 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓′′(𝑐) no se puede asegurar que existe un punto de inflexión. 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥4 siendo 𝑓’’(𝑥) = 12𝑥2 y 𝑓’’(0) = 0 sin embargo en x=0 no hay cambio de 
concavidad de la gráfica porque: 
Para 𝑥 < 0 , 𝑓’’(𝑥) > 0 y para 𝑥 > 0 , 𝑓’’(𝑥) > 0 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina valor máximo y valor mínimo de una función. Proporcione ejemplos. 
 Enuncie la condición necesaria para la existencia de un valor extremo relativo. 
 Proporcione un ejemplo para mostrar que la condición necesaria no es suficiente. 
 Proporcione un ejemplo de una función que cumple con la condición necesaria, en cierto valor de 𝑥, 
pero allí la función no tiene valor extremo. Interprete gráficamente. 
 Proporcione un ejemplo de una función que no cumple con la condición necesaria, en cierto valor de 
𝑥, pero allí la función presenta un valor extremo. Interprete gráficamente. 
 Aplicando concepto de derivada ¿Cuándo una función es creciente, decreciente o constante en un 
intervalo? 
 Defina número crítico de una función. 
 ¿Cómo obtiene las coordenadas de un punto crítico? 
Teorema: Si 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión entonces, 𝑓’’(𝑐) = 0 o ∄𝑓′′(𝑐). 
 
 
60 
M.Arias 
 
 Enuncie el criterio del signo de la primera derivada para determinar si un número crítico es abscisa 
de un punto extremo. Ejemplifique. 
 ¿Un punto crítico es un punto extremo? Ejemplifique. 
 Si 𝑥 = 𝑐 es un número crítico entonces ¿en 𝑥 = 𝑐 hay punto extremo? 
 Enuncie el criterio de la segunda derivada (concavidad de una función en un intervalo). 
 ¿Cuál es el comportamiento de la derivada de una función, en cuanto a crecimiento o decrecimiento, 
en un intervalo donde la función es cóncava hacia abajo? 
 Defina punto de inflexión. 
 Si 𝑓 es continua en R; 𝑥 = 𝑐 es un número crítico y 𝑓’’(𝑐 ) = 2 entonces ¿𝑓 tiene un valor máximo en 
𝑥 = 𝑐? 
 ¿Cuál es el procedimiento para determinar los puntos de inflexión de una función? Ejemplifique. 
 
Ejercitación 
 
 Determine el valor de 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 sea creciente en el intervalo [2, ∞) 
 La función 3)3()( xxf −= ¿presenta un valor extremo en 3=x ? 
 Pruebe que xexxf 2)( = en 0=x tiene un mínimo relativo. 
 Determine los puntos extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 +
1
𝑥2
. 
 La incidencia de propagación (n° de nuevos casos por día) de una enfermedad contagiosa en una 
población de 200000 habitantes, está dada por: 𝑅(𝑥) = 0.02𝑥(200000 − 𝑥). Donde 𝑥 es el número 
de personas infectadas. Mostrar que la incidencia de la propagación es mayor cuando la mitad de la 
población está infectada. 
 Pruebe que la función 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 es cóncava hacia arriba en todo su dominio. 
 Determine los intervalos de concavidad de la función 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
. 
 Sea 
45
1220
)( x
b
x
a
xf += . Decida si son verdaderas las afirmaciones. 
a) f tiene un punto de inflexión cuando 00 = ab 
b) f no tiene un punto de inflexión cuando 00 = ba