Derivadas -Métodos

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Derivada 
El Cálculo Diferencial es la matemática de los cambios y el concepto de Derivada está asociado 
al estudio de los cambios que pueden suceder en el campo de la física, biología, economía, 
psicología y en la geometría. Este concepto facilita el cálculo de: la velocidad de un objeto en un 
determinado instante, las tasas de variación de una población, tasas de cambio del ingreso con 
respecto a la producción, rendimientos y pendientes de rectas tangentes a una curva. 
Pendiente de una recta secante a una curva. 
 Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑥1, 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) y 𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)), entonces la 
pendiente de la recta secante a la curva que pasa por 𝑃 y 𝑄 es 𝑚𝑠 =
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
. 
 
 
𝑥1 + ∆𝑥 
Incremento de las variables 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 
 ∆𝑓 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 ∆𝑓 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) 
Pendiente: 𝑚𝑠 =
∆𝑓
∆𝑥
  Cociente incremental 
 𝑚𝑠 =
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
Pendiente de una recta tangente a una curva 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑥1. 
Considerando 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) un punto fijo y haciendo que 𝑥2 → 𝑥1, se obseva que ∆𝑥 → 0 y la 
recta secante (𝑟𝑠) se hace tangente (𝑟𝑡) a la gráfica de la función en 𝑃. 
 
Gráficamente se observa que las pendientes de las 
rectas secantes se aproximan al valor de la pendiente 
de la recta tangente cuando ∆𝑥 → 0. 
Si 𝑚𝑠 =
∆𝑓
∆𝑥
 (pendiente de la recta secante) 
 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
 (pendiente de la recta tangente) 
 
 
 
Derivada de una función. Métodos de derivación. 
La pendiente de la recta tangente a la gráfica 
de 𝑓 en el punto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) es la 
pendiente de la gráfica de 𝑓
 
en 𝑥 = 𝑥1. 
 
 
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Def: Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥1 , la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de 𝑓, en el punto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) es: 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
, si existe el límite. 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1. Obtener la ecuación de la recta: 
a) Secante que pasa por los puntos 𝑃(0, 1) y 𝑄(1, 2). 
b) Tangente en el punto 𝑃(0, 1). 
Recta secante: 𝑚𝑠 =
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 ; Puntos: 𝑃(0, 1) ∈ 𝑓 y 𝑄(1, 2) ∈ 𝑓. 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 siendo: 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 1  ∆𝑥 = 1 
∆𝑓 = 𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0)  ∆𝑓 = 𝑓(1) − 𝑓(0) 
∆𝑓 = 13 + 1 − (0 + 1)  ∆𝑓 = 1 
 Si 𝑚𝑠 =
∆𝑓
∆𝑥
  𝑚𝑠 = 1  la ecuación de la 𝑟𝑠: 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 
𝑃(0, 1) ∈ 𝑟𝑠  𝑏 = 1 
  la ecuación de la recta secante 𝑟𝑠 es: 𝑦 = 𝑥 + 1 
Recta tangente: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 ; 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 ; Punto: 𝑃(0, 1) ∈ 𝑓. 
Siendo: 𝑥1 = 0; ∆𝑓 = 𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0) 
 𝑓(∆𝑥) 𝑓(0) 
 
𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)
∆𝑥
  𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
(∆𝑥)3+1−(03+1)
∆𝑥
 
 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
(∆𝑥)3
∆𝑥
 (indeterminación 0
0
 );  𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥2  𝑚𝑡 = 0 
Si 𝑚𝑡 = 0  la ecuación de la 𝑟𝑡: 𝑦 = 0 + 𝑏 
𝑃(0, 1) ∈ 𝑟𝑡  𝑏 = 1 
 la ecuación de la recta tangente es: 𝑦 = 1 
 
Recta tangente en P(0,1) 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: La recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2
3
− 1, en 𝑃(2, −1) , es vertical. 
∆𝑓 = 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) 
 ∆𝑓 = √2 + ∆𝑥 − 2
3
− 1 − (√2 − 2
3
− 1) 
 ∆𝑓 = √∆𝑥
3
 
 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
√∆𝑥
3
∆𝑥
; 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
1
√∆𝑥2
3 y ∄ 𝐿 
  no está definida la pendiente de la recta (recta vertical). 
 
Derivada de una función 
Def. La derivada de una función 𝑓 es otra función 𝑓’ cuyo valor en cualquier número 𝑥 es: 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 siempre que exista el límite. 
Notación: 𝑓´; 𝑦´; 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 ; 𝐷𝑥 
Interpretación Geométrica 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑥1 y 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) ∈ 𝑓. 
En 𝑥 = 𝑥1: 𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
  𝑓′(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
 = 
 𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑥1) 
 
 
 
 
Ejemplo: Obtener la expresión de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 
Gráficas de 𝑓 y 𝑓’. 
1°) ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
 ∆𝑓 = (𝑥 + ∆𝑥)2 + (𝑥 + ∆𝑥) − (𝑥2 + 𝑥) (incremento de 𝑓) 
 ∆𝑓 = 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2 + 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 
 ∆𝑓 = 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2 + ∆𝑥 
2°) 𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
2𝑥∆𝑥+∆𝑥2+∆𝑥
∆𝑥
) indeterminación 
0
0
 
 𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(2𝑥 + ∆𝑥 + 1)  𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 1 
Observación: Si la recta tangente a la curva en un 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), es 
vertical, ∄ lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
La pendiente de una recta tangente a una 
curva en un punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) es igual al valor 
de la derivada de la función 𝑓 en 𝑥 = 𝑥1. 
 
 
 
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La relación entre el valor de la derivada y la pendiente de la recta tangente en un punto de la 
gráfica de la función permite realizar, la siguiente lectura, a modo de ejemplo: 
En 𝑥 = −1 ; 𝑓´(−1) = −1 
 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en 𝑃(−1,0) es 𝑚𝑡 = −1. 
 
 
 
En 𝑥 = 0; 𝑓´(0) = 1 
 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto 𝑃(0,0) es 𝑚𝑡 = 1. 
 
 
 
En 𝑥 = 1 ; 𝑓´(1) = 3 
 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto 𝑃(1,2) es 𝑚𝑡 = 3. 
 
 
 
 
Recordar 
 
 
 
 
Reglas de derivación 
En algunos casos, el proceso para obtener la derivada de una función aplicando la definición se 
hace muy complejo. La utilización de una serie de reglas y propiedades de derivación permite 
que la determinación de la derivada de una función sea más simple (la demostración de cada 
una se puede consultar en cualquier texto de Cálculo, en este escrito se demostrarán sólo dos 
de ellas) 
Regla de la constante 
 Si 𝑘 ∈ 𝑅 y 𝑓(𝑥) = 𝑘  𝑓´(𝑥) = 0 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = −2  𝑓´(𝑥) = 0 
 
La ecuación de la recta de 𝑚𝑡 = −1, se determina del siguiente modo: 
 𝑦 = −𝑥 + 𝑏 y como 𝑃(−1,0) ∈ 𝑟 
 0 = 1 + 𝑏  𝑏 = −1  𝑟𝑡: 𝑦 = −𝑥 − 1 
 
La ecuación de la recta de 𝑚𝑡 = 1 y 𝑃(0,0) ∈ 𝑟  𝑏 = 0 
y resulta 𝑟𝑡: 𝑦 = 𝑥 
 
La ecuación de la recta de 𝑚𝑡 = 3, se determina del siguiente modo: 
𝑦 = 3𝑥 + 𝑏 y como 𝑃(1,2) ∈ 𝑟 
 2 = 3 + 𝑏  𝑏 = −1  𝑟𝑡: 𝑦 = 3𝑥 − 1 
 
Para determinar la derivada aplicando definición: 
1°. Obtener la expresión de: ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥). 
2°. Realizar el cociente incremental: 
∆𝑓
∆𝑥
. 
3°. Aplicar límite al cociente: lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 y resolver. 
 
 
31 
 
Regla de la potencia 
Si 𝑛 ∈ 𝑅 y 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛  𝑓´(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
Ejemplo1: 𝑓(𝑥) = 𝑥2  𝑓´(𝑥) = 2𝑥 
Ejemplo2: 𝑔(𝑥) =
1
𝑥3
 ; se escribe 𝑔 como potencia de exponente negativo: 𝑔(𝑥) = 𝑥−3 
  𝑔´(𝑥) = −3𝑥−4  𝑔´(𝑥) = −
3
𝑥4
 
Ejemplo3: ℎ(𝑥) = √𝑥2
3
 ; se escribe ℎ como potencia de exponente faccionario: ℎ(𝑥) = 𝑥
2
3 
  ℎ´(𝑥) =
2
3
𝑥−
1
3  ℎ´(𝑥) =
2
3 √𝑥
3 
Caso particular: Función identidad: 𝑓(𝑥) = 𝑥  𝑓´(𝑥) = 1 
Regla del múltiplo constante 
Sea 𝑘 ∈ 𝑅 y existe la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥)  𝑓´(𝑥) = 𝑘. 𝑢´(𝑥) 
Ejemplo: 𝑦 =
2
3
𝑥3  𝑦´ =
2
3
. (3). 𝑥2  𝑦´ = 2 𝑥2 
Demostración (derivada de una constante por una función) 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑢(𝑥)  𝑓´(𝑥) = 𝑘. 𝑢´(𝑥) 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 𝑓(𝑥) 
 
1°) ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)  ∆𝑓 = 𝑘. 𝑢(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑘. 𝑢(𝑥) 
2°) 𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑘.𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑘.𝑢(𝑥)
∆𝑥
)𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑘.[𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)]
∆𝑥
) (factor común 𝑘) 
𝑓´(𝑥) = 𝑘. lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)
∆𝑥
) (Propiedad de límite de una constante por una función) 
 
 𝑢´(𝑥) 
 𝑓´(𝑥) = 𝑘. 𝑢´(𝑥) 
Regla de la suma y diferencia 
Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables con especto a 𝑥. 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)  𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) ± 𝑣´(𝑥) 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) =
5
3
𝑥6 − 𝑥  𝑓´(𝑥) =
5
3
. (6). 𝑥5 − 1  𝑓´(𝑥) = 10𝑥5 − 1 
 
 
 
32 
 
Demostración (derivada de una suma de funciones) 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)  𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) + 𝑣´(𝑥) 
 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 𝑓(𝑥) 
 
1°) ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)  ∆𝑓 = 𝑢(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑣(𝑥 + ∆𝑥) − [𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)] 
2°) 𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)+𝑣(𝑥+∆𝑥)−[𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)]
∆𝑥
) 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)+𝑣(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)−𝑣(𝑥)
∆𝑥
) (eliminando corchete) 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥+∆𝑥)−𝑣(𝑥)
∆𝑥
) (agrupando términos) 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)
∆𝑥
+
𝑣(𝑥+∆𝑥)−𝑣(𝑥)
∆𝑥
) (suma de fracciones de igual denominador) 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝑢(𝑥)
∆𝑥
) + lim
∆𝑥→0
(
𝑣(𝑥+∆𝑥)−𝑣(𝑥)
∆𝑥
) (propiedad de límite de una suma) 
 
 𝑢´(𝑥) 𝑣´(𝑥) 
 𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) + 𝑣´(𝑥) 
Derivadas de funciones trascendentes: 
Función 𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 
Derivada 𝑓’ 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
 
Ejemplo: Derivada de la función 𝑦 = 2𝑥3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
Por regla para la resta de funciones se tiene: 
𝑦´ = 𝐷𝑥(2𝑥
3) − 𝐷𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥) (derivada de una constante por una función y derivada de una función trascendente) 
 𝑦´ = 6𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Regla del producto 
Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables con especto a 𝑥. 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)  𝑓´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣´(𝑥) 
Ejemplo: Derivada de la función ℎ(𝑥) = √𝑥
3
. (𝑙𝑛𝑥) 
Se escribe: ℎ(𝑥) = 𝑥
1
3. (𝑙𝑛𝑥) 
Por regla para la multiplicación de funciones: 
ℎ´(𝑥) = 𝐷𝑥 (𝑥
1
3) ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥
1
3 ∙ 𝐷𝑥(𝑙𝑛𝑥) 
Derivando, lo indicado, en cada término: 
ℎ´(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥
1
3 ∙
1
𝑥
 
 
 
33 
 
ℎ´(𝑥) =
1
3𝑥
2
3
∙ 𝑙𝑛𝑥 +
𝑥
1
3
𝑥
 (Cociente de potencias de igual base) 
ℎ´(𝑥) =
1
3𝑥
2
3
∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥−
2
3  ℎ´(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥
3𝑥
2
3
+
1
𝑥
2
3
 
ℎ´(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥+3
3𝑥
2
3
  ℎ´(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥+3
3 √𝑥2
3 
 
Regla del cociente 
Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables con especto a 𝑥. 
Si 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥) 
 ; 𝑣(𝑥) ≠ 0  𝑓´(𝑥) = 
𝑢´(𝑥)∙𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)∙𝑣´(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2
 
Ejemplo: Derivada de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥+2
 
𝑓´(𝑥) = 
𝑢´∙𝑣−𝑢∙𝑣´
[𝑣]2
 ; siendo 𝑢 = 𝑥2 y 𝑣 = 𝑥 + 2, luego 𝑢´ = 2𝑥 y 𝑣´ = 1 
 𝑓´(𝑥) = 
2𝑥∙(𝑥+2)−𝑥2∙1
[𝑥+2]2
  𝑓´(𝑥) = 
2𝑥2+4𝑥−𝑥2
[𝑥+2]2
 (propiedad distributiva) 
  𝑓´(𝑥) = 
𝑥2+4𝑥
[𝑥+2]2
 
Velocidad instantánea (Interpretación física) 
Un ejemplo simple, que muestra la relación del concepto de derivada con velocidad 
instantánea es el siguiente: suponga que conduciendo un automóvil recorrió 150 kilómetros en 
tres horas. 
La velocidad promedio será de 50 km por hora. Se calcula realizando el cociente: 
𝑣𝑝 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
 
Si 𝑆 es la función (posición) que determina la distancia recorrida en un intervalo de tiempo 
[𝑡1, 𝑡2], el incremento de la función es ∆𝑆 = 𝑆(𝑡2) − 𝑆(𝑡1) y el incremento de la variable es 
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 entonces la velocidad promedio se expresa: 𝑣𝑝 =
∆𝑆
∆𝑡
 . 
Sin embargo, durante el recorrido, la lectura del velocímetro en distintos momentos, es 
diferente y es lo que se denomina velocidad instantánea. ¿Cómo calcular ese valor? 
Matemáticamente, se obtiene calculando el límite del cociente incremental cuando ∆𝑡 → 0: 
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑆
∆𝑡
 si existe el límite. 
Es decir, 𝑣 = 𝑆´(𝑡0) siendo 𝑡0 el instante en el que se calcula la velocidad. 
 
 
La velocidad instantánea es igual al valor de la derivada de la función 
posición, en un instante de tiempo determinado. 𝑣 = 𝑆´(𝑡0) 
 
 
 
34 
 
Ejemplo: La distancia recorrida por una partícula está dada por 𝑆(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 + 3; con 𝑆 en 
metros y 𝑡 en segundos. Determine: a) La velocidad promedio en el intervalo de tiempo [2, 3]; 
b) La velocidad de la partícula en el instante 𝑡 = 2. 
a) Velocidad promedio: 𝑣𝑝 =
∆𝑆
∆𝑡
 y 𝑡1 = 2 ; 𝑡2 = 3 siendo 𝑡2 = 𝑡1 + ∆𝑡 
𝑣𝑝 =
𝑆(𝑡1+∆𝑡)−𝑆(𝑡1)
∆𝑡
  𝑣𝑝 =
𝑆(3)−𝑆(2)
𝑡2−𝑡1
  𝑣𝑝 =
3.(3)2−3+3−(3.(2)2−2+3)
1
 
 𝑣𝑝 = 27 − 13  𝑣𝑝 = 14𝑚/𝑠 
b) La velocidad instantánea se obtiene calculando la derivada de 𝑆 y evaluando en 𝑡 = 2. 
𝑆(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 + 3  𝑆´(𝑡) = 6𝑡 − 1 
𝑆´(2) = 12 − 1 = 11  𝑣 = 11𝑚/𝑠 
Tasas de variación poblacional (interpretación biológica) 
Sea 𝑃 una función que modela una cierta población en un determinado tiempo 𝑡. 
Tasa de variación promedio 
Considerando el intervalo de tiempo [𝑡0, 𝑡1]. 
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
∆𝑃
∆𝑡
 
Tasa de variación instantánea 
Considerando el instante 𝑡 = 𝑡0. 
𝑇𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑃
∆𝑡
 si existe el límite. 
𝑇𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑃´(𝑡0) 
La tasa instantánea es la derivada de la función población evaluada en un determinado instante. 
Ejemplo: Cierto cultivo de bacterias crece de modo que su masa, en gramos, está dada por la 
expresión 𝑀(𝑡) =
1
3
 𝑡2 + 3 después de t horas. 
a) ¿Cuánto crecerá la masa en el intervalo de tiempo 3 ≤ 𝑡 ≤ 6 ? 
b) ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento en el intervalo 3 ≤ 𝑡 ≤ 6 ? 
c) Obtenga la tasa instantánea de crecimiento cuando 𝑡 = 3 
d) Explique el significado físico y geométrico de b) y c) 
a) La diferencia entre los gramos de masa a las 6(seis) horas y a las 3(tres) horas determina el 
aumento de la masa en ese período. Es decir, se calcula ∆𝑀. 
 ∆𝑀 =
1
3
(6)2 + 3 − (
1
3
(3)2 + 3)  ∆𝑀 = 15 − (6) 
  ∆𝑀 = 9 
Respuesta: La masa tendrá un crecimiento de 9 gramos durante el período indicado. 
 
 
 
35 
 
b) La tasa promedio es el cociente entre la variación de la masa y el tiempo transcurrido. 
 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
∆𝑀
∆𝑡
  𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑀(6)−𝑀(3)
6−3
  𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
15−6)
3
  𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 3 
Respuesta: La tasa promedio de crecimiento es de 3 gramos por hora. 
c) Para determinar la tasa instantánea se deriva la función y se evalúa en el instante t = 3 
La derivada de M es: 𝑀´(𝑡) =
2
3
 𝑡 y en t = 3 es 𝑀´(3) = 2  𝑇𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 2 
Respuesta: La tasa de crecimiento en el instante t=3 es de 2 gramos por hora. 
d) El resultado obtenido en el inciso b) desde el punto de vista: 
Físico: Es la velocidad promedio de crecimiento de la masa. 
Geométrico: Es la pendiente de la recta secante a la curva que representa la masa y que pasa 
por los puntos de abscisas t = 6 y t = 3 
El resultado obtenido en c) desde el punto de vista: 
Físico: Es la velocidad instantánea de aumento de la masa. 
Geométrico: Es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la masa, en el punto 
de abscisa t = 3. 
Función derivable en x=a 
Una función 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎 si su derivada 𝑓′ está definida en 𝑥 = 𝑎. 
 
 
Ejemplo: La función 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
+ 1 es derivable en 𝑥 = −1 y no es derivable en 𝑥 = 0. 
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 + 1 con 𝐷𝑓 = 𝑅 
𝑓′(𝑥) =
2
3
𝑥−
1
3  𝑓′(𝑥) =
2
3 √𝑥
3 con 𝐷𝑓´ = 𝑅 − {0} 
Luego, −1 ∈ 𝐷𝑓´  ∃ 𝑓′(−1) siendo 𝑓′(−1)= −
2
3
 
0𝐷𝑓´  ∄ 𝑓′(0)  𝑓 no es derivable en 𝑥 = 0. 
Gráfica 
 
Se observa un punto anguloso en x=0. 
Teorema: Si una función 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎 entonces, es continua en 𝑥 = 𝑎. 
(lo recíproco no es verdadero) 
Ejemplo: Mostrar que 𝑔(𝑥) = √𝑥
3
+ 2 es continua pero no es derivable en 𝑥 = 0. 
1°) Estudiar continuidad en 𝑥 = 0; 𝐷𝑔 = 𝑅 
1) 0 ∈ 𝐷  ∃ 𝑔(0) = 2 
2) lim
𝑥→0
(√𝑥
3
+ 2) = 2 
3) 𝑔(0) = lim
𝑥→0
(√𝑥
3
+ 2)  𝑔 es continua en 𝑥 = 0. 
Gráfica 
 
Es decir, la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 = 𝑎 si ∃𝑓′(𝑎). 
 
 
36 
 
2°) Estudiar derivabilidad en 𝑥 = 0. 
𝑔′(𝑥) =
1
3 √𝑥2
3 y 𝐷𝑔′ = 𝑅 − {0}  ∄ 𝑔′(0)  𝑔 no es derivable en 𝑥 = 0. 
Métodos de derivación 
Las reglas de derivación estudiadas en el apartado anterior, en ocasiones, no son suficientes 
para determinar, en forma directa, las derivadas de ciertas funciones y para dar solución a esas 
situaciones se estudiarán algunos métodos de derivación. 
Regla de la Cadena 
En la práctica se presentan funciones del tipo 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)21; 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑥); 
ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) entre otras. 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) una función compuesta, siendo 𝑓 derivable con respecto a 𝑢 y 𝑢 derivable 
con respecto a 𝑥. 
La cadena: 𝑓 → 𝑢 → 𝑥 
𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) 
Función interna 
Función externa 
 
Si 𝑓 es derivable con respecto a 𝑢 y 𝑢 es derivable con respecto a 𝑥, entonces la función 
compuesta 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) es derivable con respecto a 𝑥 siendo: 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑢′(𝑥) 
Notación de Leibniz: 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Procedimiento: 
 
 
 
 
Ejemplo1: Obtener la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 
Identificar las funciones que componen a 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥)3 
 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 y 𝑓(𝑢) = 𝑢3 
Derivar cada función de la cadena: 𝑓 → 𝑢 → 𝑥 
 𝑓´(𝑢) = 3𝑢2 y 𝑢´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
El Producto de las derivadas de las funciones es: 𝑓´(𝑥) = 𝑓´(𝑢) ∙ 𝑢´(𝑥) 
 𝑓´ = 3(𝑢)2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
En términos de 𝑥: 𝑓´(𝑥) = 3(𝑠𝑒𝑛𝑥)2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
1) Identificar las funciones que componen a la función 𝑓. 
2) Derivar cada función. 
3) Multiplicar las derivadas, expresadas en términos de 𝑥. 
 
 
 
37 
 
Ejemplo2: Obtener la función derivada de 𝑔(𝑥) = (𝑙𝑛 (2𝑥))2 
Identificar las funciones que 
componen a 𝑔(𝑥) = (𝑙𝑛 (2𝑥))2 
Derivar cada función de la 
cadena: 𝑔 → 𝑢 → 𝑣 → 𝑥 
Multiplicar y obtener la 
expresión de la derivada. 
𝑔(𝑢) = 𝑢2 𝑔´(𝑢) = 2𝑢 
𝑔′(𝑥) = 𝑔′(𝑢) ∙ 𝑢′(𝑣) ∙ 𝑣′(𝑥) 
𝑔′ = 2ln𝑣 ∙
1
𝑣
∙ 2 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑣 𝑢′(𝑣) =
1
𝑣
 
En términos de x: 
𝑔′(𝑥) = 2ln (2𝑥) ∙
1
2𝑥
∙ 2 
𝑣 = 2𝑥 𝑣′(𝑥) = 2  𝑔′(𝑥) = 2 ∙
ln (2𝑥)
𝑥
 
 
Aplicación1: Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia 
medida desde el origen, después de t segundos es 𝑆(𝑡) = √2𝑡 + 1 pies. 
a) ¿Cuál es la velocidad del objeto en el instante t = 0? 
b) ¿Cuándo alcanzará la velocidad de medio pie por segundos? 
a) Para determinar la velocidad del objeto en t = 0, se deriva la función S y evalúa en t=0. 
𝑠(𝑡) = (2𝑡 + 1)
1
2 
Por regla de la cadena: 𝑠´(𝑡) =
1
2
. 2. (2𝑡 + 1)−
1
2 
Luego de simplificar y aplicar propiedad de potencia de exponente negativo: 𝑆´(𝑡) =
1
√2𝑡+1
 
En 0=t  𝑆´(0) =
1
√0+1
= 1  𝑣 = 1𝑝𝑖𝑒/𝑠𝑒𝑔 
Respuesta. La velocidad es de 1 pie por segundo en el instante t=0. 
b) Si la velocidad es 𝑣 =
1
2
 y como 𝑣 = 𝑆´(𝑡) se reemplaza en la expresión 𝑆´(𝑡) =
1
√2𝑡+1
 para 
calcular el tiempo en que el objeto alcanza dicha velocidad. 
1
2
=
1
√2𝑡+1
  2 = √2𝑡 + 1 
 4 = 2𝑡 + 1  3 = 2𝑡 
  
3
2
= 𝑡 
Respuesta. A los 1,5 segundos alcanza una velocidad de 0,5 pie por segundo. 
Aplicación2: El comportamiento de una cierta población en el tiempo, se describe mediante la 
expresión 𝑃(𝑡) = 𝑡2𝑒1−𝑡 + 1 ( 0t , t en años y P en miles) 
a) ¿Cuál es la población inicial? 
b) Obtenga la expresión de la tasa de variación instantánea de la población. 
c) Calcule )1(P y diga qué significa el valor obtenido, en el contexto del problema. 
Desarrollo 
a) Población inicial 𝑡 = 0,  𝑃(0) = 1 
 
 
38 
 
Rta. La población inicial es de 1000 individuos. 
b) La tasa de variación está dada por 𝑃’ evaluada en un determinado instante de tiempo. 
Entonces, se calcula 𝑃′(𝑡) = 2𝑡𝑒1−𝑡 + 𝑡2(−1)𝑒1−𝑡 + 0 
(derivada de un producto, regla de la cadena y derivada de una suma) 
 𝑃′(𝑡) = 2𝑡𝑒1−𝑡 − 𝑡2𝑒1−𝑡 
Puede expresarse: 𝑃′(𝑡) = 𝑒1−𝑡(2𝑡 − 𝑡2) 
c) 𝑃′(1) = 𝑒1−1(2 ∙ 1 − (1)2)  𝑃′(1) = 1. 
Significa que la tasa de crecimiento de la población, en t=1 (un año) es de 1000 individuos. 
 
Derivación implícita 
Para derivar una expresión 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 se procede a realizar la derivación en ambos miembros 
y dicho proceso que se denomina: Método de derivación implícita. 
Ejemplos: 𝑥2 − 3𝑦2 + 2 = 0 ; 𝑠𝑒𝑛(𝑥, 𝑦) + 𝑥𝑦 = 2 − 𝑥 … 
Procedimiento: 
 
 
 
 
Ejemplo: Derivar 𝑦3 − 𝑥2𝑦 = 𝑥 . 
Derivar cada término con respecto a 𝑥: 
 
𝐷𝑥[𝑦
3] − 𝐷𝑥[𝑥
2𝑦] = 𝐷𝑥[𝑥] (función compuesta y producto de funciones) 
 
3𝑦2𝑦′ − (2𝑥. 𝑦 + 𝑥2𝑦′) = 1 
 regla de la cadena derivada del producto
 
 
3𝑦2𝑦′ − 2𝑥. 𝑦 − 𝑥2𝑦′ = 1 (se eliminó paréntesis) 
 
3𝑦2𝑦′−𝑥2𝑦′ = 1 + 2𝑥𝑦 (se agrupan términos semejantes) 
 
𝑦′. (3𝑦2−𝑥2) = 1 + 2𝑥𝑦 (factor común y’) 
La derivada de la expresión es: 
𝑦′ =
1 + 2𝑥𝑦
3𝑦2 − 𝑥2
 
1) Derivar, con respecto a 𝑥, cada uno de los términos de la igualdad. 
2) Agrupar los términos en 𝑦’ y extraer factor común 𝑦’. 
3) Despejar 𝑦’. 
 
 
 
39 
 
Derivación logarítmica 
Para derivar expresiones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) se aplica el método de derivación 
logarítmica que consiste en: 
1) Aplicar logaritmo natural en ambos miembros 
𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] = 𝑙𝑛[𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)] 
𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] = ℎ(𝑥). 𝑙𝑛[𝑔(𝑥)] (propiedad de logaritmo de una potencia) 
2) Derivar implícitamente 
𝐷𝑥[𝑙𝑛[𝑓(𝑥)]] = 𝐷𝑥[ℎ(𝑥). 𝑙𝑛[𝑔(𝑥)]] (derivada de una función compuesta y de un producto) 
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
= ℎ′(𝑥). 𝑙𝑛𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥).
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥). [ℎ′(𝑥). 𝑙𝑛𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥).
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)
] 
Ejemplo1: 𝑦 = 𝑥2+𝑥
2
 
1) Aplicar logaritmo. 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥2+𝑥
2
) 
𝑙𝑛𝑦 = (2 + 𝑥2). 𝑙𝑛(𝑥) (propiedad de logaritmo de una potencia en el 2do miembro) 
2) Derivar implícitamente. 
𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑦] = 𝐷𝑥[(2 + 𝑥
2)]. 𝑙𝑛(𝑥) + (2 + 𝑥2). 𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑥] (regla de derivación de un producto) 
𝑦´
𝑦
= 2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + (2 + 𝑥2).
1
𝑥
 
𝑦´ = 𝑦 ∙ (2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 +
2+𝑥2
𝑥
) 
Luego 𝑦´ = 𝑥2+𝑥
2
∙ (2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 +
2+𝑥2
𝑥
) (se reemplazó la expresión de 𝑦 = 𝑥2+𝑥
2
) 
Ejemplo2: 𝑓(𝑥) = (
2
5
)
𝑥
 
1) Aplicar logaritmo. 
𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
2
5
)
𝑥
 
𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛 (
2
5
) (propiedad de logaritmo de una potencia) 
2) Derivar implícitamente. 
𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑓(𝑥)] = 𝐷𝑥[𝑥]. 𝑙𝑛 (
2
5
) (derivada de una constante por una función) 𝑐𝑡𝑒 = 𝑙𝑛 (2
5
) 
𝑓´(𝑥)
𝑓(𝑥)
= 𝑙𝑛 (
2
5
) 
𝑓´(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑙𝑛 (
2
5
) 
Luego 𝑓´(𝑥) = (
2
5
)
𝑥
. 𝑙𝑛 (
2
5
) (se reemplazó la expresión de 𝑓(𝑥)) 
 
 
40 
 
Ejemplo3: 𝑔(𝑥) = (2𝑥)𝑥 + 𝑥3 
La función 𝑔 está definida como una suma de funciones entonces, primero se aplica propiedad 
de la derivada de una suma de funciones. 
𝑔(𝑥) = (2𝑥)𝑥 + 𝑥3  𝑢(𝑥) = (2𝑥)𝑥 y 𝑣(𝑥) = 𝑥3 siendo 𝑔´(𝑥) = 𝑢´(𝑥) + 𝑣´(𝑥) 
  𝑣´(𝑥) = 3𝑥2 y por derivación logarítmica se obtiene 𝑢´. 
1) Aplicar logaritmo a 𝑢(𝑥) = (2𝑥)𝑥. 
𝑙𝑛 𝑢(𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥)𝑥 
𝑙𝑛 𝑢 (𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛(2𝑥) (propiedad de logaritmo de una potencia) 
2) Derivar implícitamente. 
𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑢(𝑥)] = 𝐷𝑥[𝑥]. ln(2𝑥) + 𝑥. 𝐷𝑥[ln (2𝑥)] (regla de derivación de un producto) 
𝑢´(𝑥)
𝑢(𝑥)
= 1. ln(2𝑥) + 𝑥.1
2𝑥
. 2 (regla de la cadena) 
 𝑢´(𝑥) = 𝑢(𝑥)[ln(2𝑥) + 1]  𝑢´(𝑥) = (2𝑥)𝑥[ln(2𝑥) + 1] 
Finalmente: 𝑔´(𝑥) = (2𝑥)𝑥[ln(2𝑥) + 1] + 3𝑥2 
Recta tangente y recta normal a una curva 
Recta tangente: (𝑟𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑡𝑥 + 𝑏) 
Lo estudiado precedentemente, permite afirmar que la pendiente de la recta tangente, a una 
curva, en un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) es el valor de la derivada en el punto. 
 𝑚𝑇 = 𝑓´(𝑥0, 𝑦0) 
Ejemplo: Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦2 − 𝑥3 − 2 = 0 en el punto 
𝑃(−1, 1). 
Derivar la expresión (en este caso, por método de derivación implícita) 
𝐷𝑥[𝑦
2] − 𝐷𝑥[𝑥
3] − 𝐷𝑥[2] = 𝐷𝑥[0]  2𝑦𝑦´ − 3𝑥
2 − 0 = 0  2𝑦𝑦´ = 3𝑥2 
luego: 𝑦´ =
3𝑥2
2𝑦
 
Determinar 𝑚𝑇: 
𝑦´(−1,1) =
3(−1)2
2∙(1)
  𝑚𝑇 =
3
2
 
La ecuación de la recta: 𝑦 = 3
2
𝑥 + 𝑏 
Obtener 𝑏: 
𝑃(−1, 1) ∈ ∁  1 = 3
2
∙ (−1) + 𝑏  5
2
= 𝑏 
 la ecuación de la recta tangente es: 𝑦 =
3
2
𝑥 +
5
2
 
Recta Normal a una curva en un punto: (𝑟𝑁: 𝑦 = 𝑚𝑁𝑥 + 𝑏) 
La recta normal a una curva en un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) es una recta perpendicular a la recta 
tangente en dicho punto. 
 
 
41 
 
Si 𝑟𝑁⊥𝑟𝑇  𝑚𝑁∙𝑚𝑇 = −1 siendo: 𝑚𝑇 = 𝑓´(𝑥0, 𝑦0) 
 𝑚𝑁 = −
1
𝑓´(𝑥0,𝑦0)
 
Ejemplo1: Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la 
función 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 en el punto (3, 2). 
Por regla de la cadena, la derivada de 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)
1
2 es: 
𝑓´(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 1)−
1
2  𝑓´(𝑥) =
1
2√𝑥+1
 
Al evaluar la derivada en 𝑥 = 3 se obtiene 𝑚𝑇 
  𝑓´(3) =
1
2√3+1
  𝑚𝑇 =
1
4
  𝑟𝑇: 𝑦 =
1
4
𝑥 + 𝑏 
Para calcular 𝑏 se considera el punto P que pertenece a la curva y también a las rectas. 
 𝑃(3,2) ∈ 𝑟𝑇  2 =
1
4
3 + 𝑏  2 −
3
4
= 𝑏 
  𝑏 =
5
4
  𝑟𝑇: 𝑦 =
1
4
𝑥 +
5
4
 
Como 𝑟𝑁⊥𝑟𝑇  𝑚𝑁 = −
1
𝑚𝑇
  𝑚𝑁 = −4 
Para obtener 𝑏: 𝑃(3,2) ∈ 𝑟𝑁  2 = −4 ∙ 3 + 𝑏 
  2 + 12 = 𝑏  𝑏 = 14 
  𝑟𝑇: 𝑦 = −4𝑥 + 14 
Ejemplo2: Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de la función 
𝑔(𝑥) = (
1
2
𝑥 + 1)
3
+ 1 en el punto 𝑃(−2,1)? 
La derivada de 𝑔(𝑥) = (
1
2
𝑥 + 1)
3
+ 1 es: 
𝑔´(𝑥) = 3 (
1
2
𝑥 + 1)
2
∙
1
2
+ 0  𝑔´(𝑥) =
3
2
(
1
2
𝑥 + 1)
2
 
Al evaluar la derivada en 𝑥 = −2 se obtiene 𝑚𝑇 
 𝑔´(−2) =
3
2
(
1
2
(−2) + 1)
2
  𝑚𝑇 = 0 
 𝑟𝑇: 𝑦 = 𝑏  𝑟𝑇: 𝑦 = 1 (recta horizontal que 
pasa por 𝑃(−2,1)) 
La recta normal es perpendicular a la recta 𝑦 = 1, entonces 
es una recta vertical y su ecuación es 𝑥 = −2. 
Ejemplo3: ¿Cuál es la pendiente de la recta normal a la curva 𝑦 = 𝑥𝑥
2
 en el punto 𝑃(1,1)? 
3) Aplicar logaritmo. 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥𝑥
2
) 
𝑙𝑛𝑦 = (𝑥2). 𝑙𝑛(𝑥) (propiedad de logaritmo de una potencia) 
 
 
42 
 
4) Derivar implícitamente. 
𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑦] = 𝐷𝑥[(𝑥
2)]. 𝑙𝑛(𝑥) + (𝑥2). 𝐷𝑥[𝑙𝑛𝑥] (regla de derivación de un producto) 
𝑦´
𝑦
= 2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + (𝑥2).
1
𝑥
 
𝑦´ = 𝑦 ∙ (2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥)  𝑦´ = 𝑥𝑥
2
∙ (2𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥) 
 𝑚𝑇 = 1 ∙ (2 ∙ 𝑙𝑛1 + 1) (siendo 𝑙𝑛1 = 0)  𝑚𝑇 = 1 
  𝑚𝑁 = −1 . 
La gráfica ilustra la situación. 
 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina pendiente de una recta secante a la gráfica de una función. 
 Defina pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto. 
 Defina derivada de una función y ejemplifique. 
 ¿Cuál es la relación entre pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto y 
el concepto de derivada de una función? 
 ¿Qué sucede cuando la recta tangente a la curva en un punto es vertical? 
 ¿Cuál es el significado físico y biológico de la derivada de una función en un punto? 
 ¿Cuál es la diferencia entre velocidad promedio y velocidad instantánea? 
 Enuncie reglas y propiedades de derivación. 
 ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trascendentes? 
 Demuestre la regla de derivación de: una constante por una función; diferencia de funciones; 
producto de funciones y cociente de funciones. 
 ¿Cuándo una función es derivable en 𝑥 = 𝑎? Proporcione ejemplos algebraicos y gráficos. 
 Proporcione ejemplos algebraicos y gráficos de funciones que no son derivables en 𝑥 = 𝑎. Justifique 
cada caso. 
 Si una función es continua en su dominio ¿siempre es derivable en él? Proporcione ejemplos. 
 ¿Cuándo se aplica la regla de la cadena? Mediante un ejemplo muestre el procedimiento para 
calcular la derivada. 
 ¿En qué caso es conveniente derivar en forma implícita? Ejemplifique. 
 Explique el procedimiento para derivar implícitamente. 
 ¿Cuáles son los pasos básicos de la derivación logarítmica? 
 ¿Cómo caracteriza a las funciones que se derivan aplicando el método de derivación logarítmica? 
Ejemplifique. 
 ¿Cómo determina la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto? 
 ¿Cómo determina la ecuación de una recta normal a una curva en un punto? 
 
Ejercitación 
 
 Obtenga las derivadas de las siguientes funciones aplicando la definición. Indique el domino de cada 
función y su derivada. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2 + 2 c) ℎ(𝑥) =
1
𝑥−3
 
 Aplique reglas o métodos para obtener la derivada de: 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛 + 𝑙𝑛𝑥 𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 1)
2 + 2 ℎ(𝑥) =
2𝑥
𝑥 − 3
 
 
 
43 
 
𝑚(𝑥) = 6√𝑥 + 1
3
+ 2 𝑛(𝑥) = (3𝑥)
𝑥 + 𝑥 𝑦𝑥 − 𝑦
3 = 2 − 𝑥 
 
 El volumen (en metros cúbicos por hectárea) que se produce, de una cierta 
especie de árboles se puede estimar mediante el modelo matemático 
𝑉(𝑡) =
28.02
1+138.65𝑒−0.2𝑡
 donde 𝑡 está medido en años. 
a) Obtener la expresión que permite estimar la tasa de cambio del 
volumen de árboles. 
b) Calcular la tasa de cambio a la que los árboles crecieron al inicio del año 
10, 22 y 40. 
 
 Una población P (en miles) varía con respecto al tiempo t (en años) de acuerdo a la expresión 
𝑃(𝑡) = (𝑡3 − 1)2 + 4. Determine: 
a) La población inicial. 
b) La expresión que permite calcular la tasa de variación de la población. 
c) La tasa de variación a los 2, 3 y 4 años. 
 Dada la elipse de ecuación 
(𝑥−2)2
16
+
(𝑦−3)2
3
= 1. 
a) Esboce la gráfica de la elipse. 
b) Obtenga las coordenadas de todos los puntos en los cuales la recta tangente es paralela a los 
ejes coordenados y escriba la ecuación de la recta tangente y normal 
c) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la elipse en 4=x .