Movimiento en 2D (parte 1)

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MOVIMIENTO EN DOS 
DIMENSIONES (parte 1)
Clase Teórico Práctica 
Física 1 
Ԧ𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗
Vector desplazamiento ∆ Ԧ𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = 𝑥𝑓 Ƹ𝑖 + 𝑦𝑓 Ƹ𝑗 − (𝑥𝑖 Ƹ𝑖 + 𝑦𝑖 Ƹ𝑗)
Vector posición
Para dos dimensiones, en el plano, se utiliza la notación 
de vectores unitarios para referirse a la posición, al 
desplazamiento, a la velocidad y a la aceleración :
Velocidad media
𝑣𝑚 =
∆ Ԧ𝑟
∆ 𝑡
=
Ԧ𝑟𝑓 − Ԧ𝑟𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Velocidad instantánea
Ԧ𝑣 = lim
∆𝑡 →0
∆ Ԧ𝑟
∆ 𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗)
𝑑𝑡
Ԧ𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣𝑦 Ƹ𝑗
La magnitud de la velocidad instantánea (rapidez) es : 
En cualquier punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea 
es tangente a la trayectoria en ese punto
𝒗 = 𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐
Aceleración media
𝑎𝑚 =
∆ Ԧ𝑣
∆ 𝑡
=
Ԧ𝑣𝑓 − Ԧ𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Aceleración instantánea
Ԧ𝑎 = lim
∆𝑡 →0
∆ Ԧ𝑣
∆ 𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡2
La aceleración instantánea en componentes será: 
Ԧ𝑎 =
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣𝑦 Ƹ𝑗)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖 +
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗
La magnitud del vector 
aceleración instantánea 
𝒂 = 𝒂∥
𝟐 + 𝒂⊥
𝟐
El vector aceleración instantánea de una partícula en movimiento 
siempre apunta hacia el interior de cualquier curva descrita por la 
partícula. 
𝑎∥ : La componente de la aceleración 
paralela a velocidad indica los cambios 
en la rapidez de la partícula 
𝑎⊥ ∶ La componente de la aceleración 
perpendicular a la velocidad indica los 
cambios en la dirección del movimiento
Ejercicio 1 – Aceleración de una 
esquiadora
Una esquiadora se mueve sobre una
rampa. La rampa es curva a partir
de C. La rapidez de la esquiadora
aumenta al moverse hacia abajo
hasta alcanzar su rapidez máxima
en E, disminuyendo a partir de ahí.
Grafique el vector aceleración en los
puntos B, D, E , F
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN 
CONSTANTE EN 2 D
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑎 ∆𝑡 Ԧ𝑟 = Ԧ𝑟0 + Ԧ𝑣0 ∆𝑡 +
1
2
Ԧ𝑎∆𝑡2
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 ∆𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 ∆𝑡 +
1
2
𝑎𝑥 ∆𝑡
2
𝑣𝑥
2 = 𝑣0𝑥
2 + 2𝑎𝑥 𝑥 − 𝑥0
Para la componente x:
Para la componente y:
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 ∆𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 ∆𝑡 +
1
2
𝑎𝑦 ∆𝑡
2
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 + 2𝑎𝑦 𝑦 − 𝑦0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Proyectil: es cualquier cuerpo que recibe una
velocidad inicial y luego sigue una trayectoria
determinada totalmente por los efectos de la
aceleración gravitacional y la resistencia del
aire.
Movimiento de proyectil o 
Tiro Oblicuo
Para analizarlo se parte de un modelo idealizado que representa al
proyectil como una partícula con aceleración constante. Se desprecia el
efecto de la resistencia del aire, de la curvatura y rotación terrestre.
Un proyectil se mueve en un plano vertical determinado por la
dirección de la velocidad inicial.
Su trayectoria depende de 𝑣𝑜 y de la aceleración de la gravedad
Características
El movimiento es bidimensional y se utiliza para su análisis el plano
x,y; tratando por separado sus coordenadas de forma independiente. Se
estudia como combinación de un movimiento horizontal con velocidad
constante y un movimiento vertical con aceleración constante.
𝑎𝑥= 0
𝑎𝑦= -g = -9,8 
𝑚
𝑠2
En la dirección x 
En la dirección y 
(Sistema de Referencia en O, y(+) hacia arriba, x(+) hacia la derecha)
Ecuaciones generales
En la dirección x , para un tiempo t :
𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0. 𝑐𝑜𝑠θ0 𝑣0𝑦 = 𝑣𝑜. senθ0
Componentes de la velocidad inicial
La posición para un tiempo t 
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎 =𝑥0 +𝑣0 cos θ0 𝑡 − 𝑡0 (de 2) 
La velocidad para un tiempo t 
vx= v0x= v0 cos θ0 = cte (de 1) 
Ecuaciones generales
En la dirección y , para un tiempo t :
La velocidad para un tiempo t 
vy = v0y – g 𝒕 − 𝒕𝟎 = v0 sen θ0 – g 𝑡 − 𝑡0 (de 4) 
La posición para un tiempo t 
y = y0+v0y 𝒕 − 𝒕𝟎 – ½g 𝒕 − 𝒕𝟎
2 = y0+ v0 sen θ0 𝑡 − 𝑡0 – ½ g 𝑡 − 𝑡0
2 (de 5) 
Módulo del vector posición
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 (7)
La ecuación complementaria
vy
2 =v0y
2 -2 g (𝑦𝑓 – y0) (de 6)
Ejercicio 2 : La esquiadora que salta la 
rampa
La esquiadora salta la rampa. Grafique el vector aceleración en los
puntos G, H, I despreciando la resistencia del aire
Ejercicio 3 : un acróbata en moto
Un acróbata en moto se lanza del borde de una rampa con una
velocidad horizontal de 9m/s. Obtener la posición, distancia desde el
borde y velocidad del motociclista después de 5 segundos del
lanzamiento
Punto de lanzamiento
Trayectoria de un proyectil
La trayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0
es parabólica
Ecuación de la trayectoria :
Condiciones iniciales de posición: x0 = 0, y0 = 0 en 𝑡0 = 0
𝑣𝑜𝑥= 𝑣0 cos θ0 𝑣𝑜𝑦= 𝑣0 sen θ0Condiciones iniciales de velocidad : 
x = v0xt = v0 (cos θ0 )t (2) 
y = v0yt – ½gt
2 = v0 (sen θ0)t – ½ gt
2 (5)
De la (2) se despeja t y se sustituye en la (5):
00 cosv
x
t =
𝑦 = 𝑣0sen𝜃0
𝑥
𝑣0 cos 𝜃0
−
1
2
𝑔
𝑥
𝑣0 cos 𝜃0
2
De las ecuaciones de la posición en x e y se puede obtener la ecuación de la trayectoria
𝑦 = tan𝜃0𝑥 −
𝑔
2𝑣0
2 cos2 𝜃0
𝑥2
Ecuación de la trayectoria : representa 
una parábola que tiene la forma: 
𝑦 = 𝑏𝑥 − 𝑎 𝑥2
Ejercicio 4 
Altura máxima y 
Alcance 
a) Deduzca la expresión para la altura máxima en función de 𝑣0 y 𝜃0
b) Deduzca la expresión para el tiempo de vuelo (tiempo empleado en 
moverse desde el punto de partida hasta el de impacto, sobre la misma 
línea horizontal) en función de 𝑣0 y 𝜃0
c) Compruebe que el alcance horizontal R (distancia horizontal desde el 
punto de partida hasta el punto de impacto, sobre la misma línea 
horizontal) se puede calcular con la expresión
d) Para una 𝑣0 dada, ¿qué valor de 𝜃0 da la altura máxima? y ¿que valor da 
el alcance horizontal máximo? 
R= 
𝑣0
2 sin 2θ0
𝑔
Considerando x0 = 0, y0 = 0 en 𝑡0 = 0, 
Un proyectil es lanzado con rapidez 𝑣0 y ángulo inicial 𝜃0 (entre 0
𝑜 y 90𝑜)
	Diapositiva 1: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (parte 1)
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6: Ejercicio 1 – Aceleración de una esquiadora
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10: Características
	Diapositiva 11: Ecuaciones generales
	Diapositiva 12: Ecuaciones generales
	Diapositiva 13: Ejercicio 2 : La esquiadora que salta la rampa
	Diapositiva 14: Ejercicio 3 : un acróbata en moto
	Diapositiva 15: Trayectoria de un proyectil
	Diapositiva 16: Ejercicio 4 Altura máxima y Alcance