Cuerpo rigido - Parte 2 - Teoría

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Cuerpo 
Rígido 
 FÍSICA I- 
CLASE TEÓRICO-
PRÁCTICA 
Parte II 
Rotación de un Cuerpo Rígido sobre un eje móvil 
Traslación y Rotación combinadas: 
Cuando se mueve el eje de rotación, el movimiento puede 
representarse como una combinación del movimiento de traslación 
del centro de masa y rotación alrededor de un eje que pasa por el 
centro de masa 
Por lo que se cumple que la energía cinética del cuerpo es la suma 
de la energía cinética asociada al movimiento del centro de masa y 
la energía cinética asociada a la rotación alrededor de un eje que 
pasa por el centro de masa: 
𝐸𝑐 = 
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
 2 +
1
2
𝐼𝐶𝑀ω
2 
Considerando al cuerpo rígido que rota y se 
traslada, como un conjunto de partículas, se 
toma una partícula representativa de masa 
𝑚𝑖 . Su velocidad 𝑣 𝑖 respecto a un sistema de 
referencia inercial es : 
𝑣 𝑖´: velocidad respecto al CM 
𝑣 𝐶𝑀 : velocidad del centro de masa 
𝑣 𝑖 = 𝑣 𝑖
 ´ + 𝑣 𝐶𝑀 
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
𝑚𝑖 (𝑣 𝑖 . 𝑣 𝑖) =
1
2
𝑚𝑖(𝑣 𝑖
 ´ + 𝑣 𝐶𝑀).(𝑣 𝑖
 ´ + 𝑣 𝐶𝑀) 
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
𝑚𝑖(𝑣𝐶𝑀
 2 + 2 𝑣𝐶𝑀. 𝑣´𝑖+𝑣𝑖
 ´2) 
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
 𝑚𝑖𝑣𝑖
2 =
1
2
𝑚𝑖(𝑣 𝑖 . 𝑣 𝑖 ) 
La energía cinética de la partícula respecto a 
un sistema de referencia inercial: 
La energía cinética total para todas las partículas del cuerpo será: 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑖 = (
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀
 2) + 𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀. 𝑣´𝑖 + (
1
2
𝑚𝑖𝑣𝑖
 ´2) 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑖 =
1
2
( 𝑚𝑖)𝑣𝐶𝑀
 2 + 𝑣 𝐶𝑀 . ( 𝑚𝑖𝑣´𝑖 ) + (
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝑖
 ´2) 
Por ser: 𝑚𝑖 = 𝑀 
 𝑚𝑖𝑣´𝑖 = 0 (por ser el producto 
de M por la velocidad del Centro de Masa 
relativa al Centro de Masa) 
y como : (
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝑖
 ´2) =
1
2
 (𝑚𝑖 𝑟𝑖
2ω2) =
1
2
ω2( 𝑚𝑖𝑟𝑖
2) =
1
2
 𝐼𝐶𝑀ω
2 
Se obtiene: 𝐸𝑐 =
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
 2 +
1
2
𝐼𝐶𝑀ω
2 
Reagrupando: 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
 2 + (
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝑖
 ´2) 
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
𝑚𝑖(𝑣𝐶𝑀
 2 + 2 𝑣𝐶𝑀. 𝑣´𝑖+𝑣𝑖
 ´2) 
Rodamiento sin deslizamiento de un cuerpo rígido 
Se considera un cuerpo rígido que rueda a lo largo de una superficie 
plana, por ejemplo, un cilindro uniforme de radio R que rueda sin 
deslizar sobre una superficie horizontal. 
Conforme el cilindro da vueltas a través de 
un ángulo θ, su centro de masa se mueve 
una distancia lineal s: 𝑠 = θ 𝑅 
Por lo tanto la velocidad y aceleración para 
el movimiento de rodamiento puro son : 
𝑣𝐶𝑀 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑θ
𝑑𝑡
= 𝑅ω 𝑎𝐶𝑀 =
𝑑𝑣𝐶𝑀
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑ω
𝑑𝑡
= 𝑅α 
Condición de rodadura 
El movimiento de un objeto que rueda sin resbalar, se puede modelar 
como una combinación de traslación pura y rotación pura 
El punto de la rueda que toca la superficie debe estar 
instantáneamente en reposo para que no resbale. 
La velocidad de un punto de la rueda es la 
suma vectorial de la velocidad del centro de 
masa y la velocidad del punto relativa al 
centro de masa. 
Eje Instantáneo de Rotación: En un instante dado, se puede 
suponer que la rueda gira alrededor de un eje de rotación instantáneo 
que pasa por el punto de contacto con el suelo. En cada instante hay 
un nuevo punto de contacto ¨O¨ y un nuevo eje de rotación . 
Traslación y Rotación combinadas : Dinámica 
 𝐹 = 𝑀𝑎 𝐶𝑀 
Sabemos que para un cuerpo de masa total M la aceleración del 
centro de masa es la de una masa puntual M sobre la que actúan 
todas las fuerzas externas a las que está sujeto el cuerpo: 
(1) 
El movimiento de rotación alrededor del centro de masa se describe 
mediante el análogo rotacional de la segunda ley de Newton: 
 τ𝑧 =𝐼𝐶𝑀 α𝑧 (2) 
Donde τ𝑧 incluye todos los momentos de torsión externos respecto a este eje, 
𝐼𝐶𝑀 es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masa 
La ecuación (2) es válida aún si el eje de rotación se mueve, siempre que se 
satisfagan las siguientes condiciones: 
- El eje que pasa por el CM debe ser un eje de simetría 
- El eje no debe cambiar de dirección 
El eje de una rueda de bicicleta pasa por el centro de masa de la 
rueda y es un eje de simetría. 
Ejercicio 5 : El yoyo 
Se hace un yoyo enrollando varias veces una 
cuerda alrededor de un cilindro sólido de 
masa M y radio R. Se sostiene el extremo de 
la cuerda fija mientras se suelta el cilindro 
desde el reposo. El cordel se desenrolla sin 
resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae 
y gira. Encuentre las expresiones de: 
a) La rapidez del centro de masa del cilindro 
después de caer una distancia h 
b) La tensión de la cuerda 
Ejercicio 6 – La esfera, el cilindro y el aro 
Una esfera, un cilindro y un aro, los tres cuerpos del mismo 
diámetro y masa, parten del reposo y del mismo lugar, ruedan sin 
deslizar cuesta abajo en un plano inclinado ¿Cuál llega primero y 
último a la base del plano inclinado? Justifique su respuesta 
Trabajo en el Movimiento de Rotación 
Suponga que una fuerza resultante tangencial 
constante actúa en el borde de un disco pivoteado. 
La rueda gira un ángulo infinitesimal dθ alrededor 
de un eje fijo (z) durante un tiempo infinitesimal dt 
𝑑𝑤 = 𝐹𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠0° = 𝐹𝑡𝑎𝑛 𝑅 𝑑θ 
𝑑𝑤 = τ𝑧 𝑑θ (1) 
Integrando, el trabajo total 
efectuado por una torca: 
El trabajo 𝑑𝑤 efectuado por 𝐹 𝑡𝑎𝑛 mientras un 
punto del borde se mueve una distancia 𝑑𝑠 es: 
𝑤𝑛𝑒𝑡𝑜 = τ𝑧 𝑑θ
θ2
θ1
 
El trabajo efectuado por una torca constante: 
𝑤𝑛𝑒𝑡𝑜 = τ𝑧 θ2 − θ1 = τ𝑧∆θ 
La potencia instantánea entregada por la fuerza: 
Considerando que : 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= τ𝑧
𝑑θ
𝑑𝑡
 
𝑃 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= τ𝑧ω 
𝑑𝑤 = τ𝑧 𝑑θ (1) 
Dividiendo ambos miembros por dt 
La potencia asociada al trabajo efectuado por una torca 
sobre un cuerpo que gira con velocidad angular ω es el 
producto de τ y ω 
Potencia en el movimiento de rotación 
El trabajo neto realizado por las fuerzas externas al hacer girar un 
objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en 
la energía cinética rotacional del objeto 
τ𝑛𝑒𝑡𝑜,𝑧 = Іα𝑧 = 𝐼
𝑑ω𝑧
𝑑𝑡
= 𝐼 
𝑑ω𝑧
𝑑θ
 
𝑑θ
𝑑𝑡
= 𝐼 
𝑑ω𝑧
𝑑θ
ω𝑧 
τ𝑛𝑒𝑡𝑜,𝑧 𝑑θ = 𝐼 ω𝑧𝑑ω𝑧 
𝑤𝑛𝑒𝑡𝑜 = τ𝑛𝑒𝑡𝑜,𝑧 𝑑θ
θ
θ0
= 𝐼 ω𝑧𝑑ω𝑧= 
ω
ω0
1
2
𝐼ω2 −
1
2
𝐼ω0
2 = ∆𝐸𝐶𝑅 
y que cuando la velocidad angular cambia de ω0 𝑎 ω el desplazamiento angular 
cambia de θ0 a θ, por lo que integrando resulta: 
𝑑𝑤𝑛𝑒𝑡𝑜 = τ𝑛𝑒𝑡𝑜,𝑧 𝑑θ 
Sabemos que el torque neto : 
Energía en el Movimiento Rotacional 
Sabemos que : 
Momento Angular (𝑳) para una partícula 
El momento angular para una partícula en movimiento 
rotacional es el análogo del momento lineal o cantidad de 
movimiento de una partícula en el movimiento traslacional. 
Para una partícula de masa constante m, 
velocidad 𝑣 , cantidad de movimiento 
lineal 𝑝 = 𝑚𝑣 , vector posición 
𝑟 relativo al origen O de un marco de 
referencia inercial, se define al 
momento angular 𝐿 como: 
𝐿 = 𝑟 x 𝑝 = 𝑟 x 𝑚𝑣 Unidad: 
𝑘𝑔 𝑚2
𝑠
 (en SI) 
(Momento angular de 
una partícula) 
 La dirección y sentido de 𝐿 se determina por la regla de 
la mano derecha 
Si la partícula se mueve en el plano 
x,y el vector momento angular 𝐿 es 
perpendicular a ese plano y su 
magnitud es: 
𝐿 = 𝑟𝑚𝑣 senΦ = 𝑚𝑣𝑙 
(donde l es la distancia perpendicular desde la línea de 𝑣 a O ) 
La rapidez de cambio del momento angular de una 
partícula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa 
sobre ella 
𝐿 = 𝑟 x 𝑝 = 𝑟 x 𝑚𝑣 
Derivando respecto del 
tiempo la ecuación: 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
x 𝑚𝑣 + 𝑟 x 𝑚
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑣 x 𝑚𝑣 + 𝑟 x 𝑚 𝑎 = 𝑟 𝑥 𝐹 = τ 
(1) 
(𝑣 x 𝑚𝑣 = 0 por ser colineales) 
Ejercicio 7 : Partícula con Movimiento Lineal 
Una partícula de masa “m” se mueve en 
el plano xy con una velocidad v a lo 
largo de una línea recta. Determine la 
magnitud, dirección y sentido de su 
momento angular: 
a) respecto del origen O 
b) respectodel origen O´ 
Momento Angular de un Cuerpo Rígido 
Se considera un cuerpo rígido que 
gira en torno al eje z y una 
rebanada del cuerpo en el plano x,y 
Cada partícula se mueve en un 
círculo centrado en ¨O¨ y en cada 
instante su velocidad 𝑣 𝑖 es 
perpendicular a su vector posición 𝑟 𝑖 
𝐿𝑖 = 𝑟𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖 = 𝑟𝑖𝑚𝑖ω𝑟𝑖 = 𝑚𝑖𝑟𝑖
2ω 
La magnitud del momento angular total de la rebanada será la suma de 
las magnitudes de los momentos angulares de las partículas: 
𝐿 = 𝐿𝑖 = ( 𝑚𝑖𝑟𝑖
2)ω = 𝐼ω 
donde I es el momento de inercia 
de la rebanada alrededor del eje z 
Para las demás rebanadas del cuerpo, paralelas al plano x,y 
Para los puntos que no están en el plano 
x,y , los vectores 𝑟 tienen componentes 
en las direcciones x, y, z y el momento 
angular de cada partícula tiene una 
componente perpendicular al eje z. 
Si el eje z es un eje de simetría, las 
componentes perpendiculares de L, 
de partículas situadas en lados 
opuestos de este eje, suman cero 
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje de simetría, su 
vector de momento angular 𝑳 queda sobre el eje de simetría y su 
magnitud es 𝑳 = 𝑰𝝎 
El vector velocidad angular está 
sobre el eje de rotación por lo que 
para un cuerpo rígido que gira 
alrededor de un eje de simetría, 𝐿 y 
ω tienen la misma dirección y 
sentido 
 𝐿 = 𝐼 ω 
Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un 
eje de simetría 
Sabemos que para una partícula se cumple: 𝑑𝐿
𝑑𝑡
= τ 
Generalizando para n partículas, se puede demostrar que: 
𝑑 𝐿
𝑑𝑡
= τ𝑒𝑥𝑡 
Las torcas de las fuerzas internas suman cero por lo que τ solo incluye las 
torcas de las fuerzas externas, es decir: 
𝑑( 𝐿𝑖)𝑖
𝑑𝑡
= 𝜏𝑖
𝑖
 
La rapidez de cambio del momento angular total de un sistema de 
partículas, relativo a un punto arbitrario, es igual al torque total relativo 
al mismo punto, de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema 
Si el sistema de partículas es un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría 
(el eje z) fijo, 𝐿𝑍 = 𝐼. 𝜔𝑍 e I es constante y derivando respecto del tiempo se 
obtiene: 
𝑑𝐿𝑍
𝑑𝑡
= 𝐼.
𝑑𝜔𝑍
𝑑𝑡
= 𝐼. 𝛼𝑍 es decir: 𝜏𝑍 = 𝐼. 𝛼𝑍 
Ejercicio 8 : El Sube y Baja 
Un padre de masa 𝑚1 y su hija de masa 𝑚2 se sientan en extremos opuestos de 
un sube y baja a iguales distancias desde el eje en el centro. El sube y baja se 
modela como una barra rígida de masa M y longitud l y se articula sin fricción. 
En cierto momento, la combinación da vueltas en un plano vertical con una 
rapidez angular ω. a) encuentre una expresión para la magnitud de la cantidad de 
movimiento angular del sistema b) Encuentre una expresión para la magnitud de 
la aceleración angular del sistema cuando el sube y baja forma un ángulo θ con la 
horizontal 
Conservación del Momento Angular 
Principio de Conservación del Momento Angular: Si la torca 
externa que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular 
total del sistema es constante (se conserva) 
Sabemos que : τ=
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 
Si τ = 0, entonces: 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 0 𝐿 es constante 
Por lo tanto , (ω I) es constante, y si el momento de inercia es constante, 
ω también es constante 
Un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje de simetría se 
mueve con velocidad angular constante cuando no se aplican 
torques externos ( ley de inercia para el movimiento de rotación) 
Analicemos el patinador: al encoger los brazos y las piernas su momento de inercia 
𝐼𝐶𝑀 cambia de un valor grande 𝐼1 a uno mucho menor 𝐼2 , las fuerzas externas que 
actúan son su peso y la normal, que no tienen torca con respecto a un eje que pasa 
por su centro de masa, entonces : 
Como la torca externa neta es cero 
Su velocidad angular aumenta al disminuir su momento de inercia 
(ω1 y ω2 son las velocidades angulares respectivas) 
Si el momento de inercia es variable, si I aumenta, la velocidad 
angular disminuye y viceversa 
 ∆𝐿 = 0, entonces 𝐿1 = 𝐿2 por lo tanto: 𝐼1ω1 = 𝐼2ω2 
Ejercicio 9: Plataforma Giratoria 
Una plataforma horizontal con la forma de 
un disco circular gira en un plano horizontal 
respecto de un eje vertical sin fricción. La 
plataforma tiene una masa M y un radio R. 
Un estudiante cuya masa es m camina 
lentamente desde el extremo de la plataforma 
hacia el centro de la misma. Si la velocidad 
angular del sistema es 𝜔 cuando el estudiante 
está en el extremo. Determine la expresión 
para calcular la velocidad angular del 
estudiante cuando llega a un punto r desde el 
centro de la plataforma. 
Ejercicio 10: Los discos que giran juntos 
Se tienen dos discos A y B que están girando con 
rapideces angulares 𝜔𝐴 𝑦 𝜔𝐵 , tal que 𝜔𝐵 = 4𝜔𝐴, 
sus momentos de inercia son 𝐼𝐴, 𝐼𝐵 siendo 𝐼𝐴 = 2𝐼𝐵 
A continuación se juntan los discos con fuerzas que 
actúan sobre el eje con la finalidad de no aplicar una 
torca a ningún disco. Los discos rozan entre sí y 
finalmente alcanzan una rapidez angular común 𝜔. 
 
a) Determine la rapidez angular final del conjunto 
 
b) Analice si se conserva la energía cinética de los 
discos, antes y después del acople. Justifique su 
respuesta