Teoría de Gravitación

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Física 1
Fuente: www.tekcrispy.com
MOVIMIENTOS PLANETARIOS
Kepler, Johannes, con los datos astronómicos de Brahe intentaba deducir un modelo 
matemático para el movimiento de los planetas. Descubre
• Las trayectorias reales de los planetas no son círculos sino elipses.
• Los planetas se mueven muy rápidamente cuando se encuentran más cerca del Sol y más
lentamente cuando se encuentras más lejos. no se mueven con velocidad constante
• El período del planeta esta relacionado de forma muy precisa con su distancia media al Sol.
Kepler estableció sus resultados en tres leyes empíricas del movimiento planetario.
Primera Ley de Kepler o Ley de las órbitas
Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas planas, 
con el Sol ubicado en uno de los focos de la elipse.
El Sol está en el foco F de la elipse, El otro foco F’ está vacío.
a: semieje mayor de la elipse, 
b: semieje menor de la elipse.
𝒄: distancia de los focos al centro de la elipse. 
e: excentricidad de la órbita. 𝒆 =
𝒄
𝒂
F’
afelioperihelio
En órbitas circulares, la excentricidad es cero, Rp= Ra=a . El sol se 
ubica en el centro de la circunferencia. La excentricidad de la orbita 
de la Tierra es de 𝒆 = 0·017, se aproxima mucho a una circunferencia
Ra: afelio ( apo: lejos y helio: Sol) distancia máxima del planeta en órbita al Sol, Ra= a+c
Rp: perihelio distancia mas cercana al sol , Rp= a-c
Segunda Ley de Kepler o Ley de las áreas
• En un intervalo de tiempo 𝑑𝑡 el vector posición 𝑟 realiza un 
desplazamiento infinitesimal 𝑑𝜃 y barre un sector de área 𝑑𝐴. 
• El área es  triangular, ⇒ 𝑑𝐴 =
1
2
r𝑑𝜃. 𝑟
• La tasa o rapidez a la cual el área es barrida:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
𝑑𝜃.𝑟2
𝑑𝑡
, queda
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
𝜔𝑟2
• El momento angular del cuerpo de masa 𝑚 que orbita es 
𝐿 = 𝑚𝑟𝑣𝑠𝑒𝑛𝜙 = 𝑚𝑟2ω ⇒ ω𝑟2 =
𝐿
𝑚
∴
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
𝐿
𝑚
• Si consideramos como un sistema aislado. 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒 ⇒
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=cte
• Para dos puntos cualquiera se cumple 𝐿1 = 𝐿2 ⇒ 𝑟1𝑣1 = 𝑟2𝑣2
La recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas 
iguales en tiempos iguales. 
𝒅𝑨
𝒅𝒕
= 𝒄𝒕𝒆
Tercera Ley de Kepler o Ley de los períodos
𝐓: Periodo del planeta. Su unidad de medida en el S. I.es el segundo ( s )
𝐤: Constante de proporcionalidad. Su unidad de medida en el S. I. es 
𝑠2
𝑚3
𝑹𝒎: Distancia media al Sol. Su unidad de medida en el S. I. es el metro (m ) 
La distancia o radio medio de una órbita es la media entre 𝑅𝑎 la distancia máxima y 𝑅𝑝
mínima del planeta al Sol. 𝑅𝑚 =
𝑅𝑎+𝑅𝑝
2
⇒ 𝑅𝑚 =
𝑎+𝑐+𝑎−𝑐
2
⇒ 𝑅𝑚 = 𝑎
• El radio medio es el semieje mayor. 𝑻𝟐 = 𝐤 𝒂𝟑
• Si la órbita es circular el radio medio es el radio 𝑅 de la órbita. 𝑇2 = k 𝑅3
El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al cubo de la 
distancia media del planeta al Sol. 𝑻𝟐 = 𝐤 𝑹𝒎
𝟑
Ejercicio 1. Velocidad en el perihelio
El período de rotación de Júpiter que se mueve en una órbita elíptica alrededor del 
Sol es 12 veces mayor que el período que corresponde a la Tierra. 
a) La distancia media (semieje mayor de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol, es 
mayor, menor o igual a la distancia entre la Tierra y el Sol. 
b) El afelio de Júpiter del Sol es de 10% mayor que el perihelio. En cual de esos 
puntos es mayor la velocidad y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.
Isaac Newton en 1687 en su tratado matemático de filosofía natural justifica las leyes de
Kepler proponiendo la existencia de una fuerza central atractiva entre dos masas cualesquiera
en la Ley de gravitación universal.
Ley de la gravitación (Introducción)
Se plantea que la interacción entre dos cuerpos (planetas, partículas pequeñas, etc.) produce
un movimiento que se puede describir por las Leyes de Kepler. La ley de las áreas indica que la
fuerza asociada con la interacción gravitacional es central, actúa a lo largo de la línea que une
los cuerpos.
La interacción gravitatoria es una propiedad universal de toda materia. La fuerza debe ser
proporcional a la “cantidad” de materia de cada cuerpo, esto es a sus respectivas masas.
𝐹 ∝ 𝑚1𝑚2. 𝑓 𝑟
La dependencia entre la fuerza y la distancia r entre los cuerpos, se realizó
experimentalmente midiendo la fuerza entre las masas 𝑚1 y 𝑚2 para varias separaciones,
deduciendo que la interacción gravitacional es atractiva y varia inversamente con el cuadrado
de la distancia entre los cuerpos, es decir con 𝑓 𝑟 ∝
1
𝑟2
.
Ley de la Gravitación Universal
Módulo: 𝑭 = 𝑮
𝒎𝟏.𝒎𝟐
𝒓𝟐
unidades en el S.I. [N]
𝒎𝟏 , 𝒎𝟐: masas de los cuerpos, [kg]
𝒓 : distancia entre cuerpos, [m]
𝑮: constante de gravitación universal, 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 . 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐
Dirección: sigue la línea que une los cuerpos. 
Las fuerzas de atracción mutuas que experimentan dos cuerpos dotados de masa son 
directamente proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcionales al 
cuadrado de la distancia que los separa. 
Por la tercera ley de Newton, fuerzas de atracción mutua 
𝑭𝟏,𝟐 y 𝑭𝟐,𝟏 forman un par acción–reacción, 𝑭𝟏,𝟐 = −𝑭𝟐,𝟏
𝑭𝟐,𝟏: fuerza que ejerce 𝒎𝟐 sobre 𝒎𝟏
𝑢𝟐,𝟏: vector unitario de 𝒎𝟐 a 𝒎𝟏
𝑭𝟏,𝟐: fuerza que ejerce 𝒎1 sobre 𝒎2
𝑢𝟏,𝟐: vector unitario de 𝒎𝟏 a 𝒎𝟐
𝑭 = −𝑮
𝒎𝟏.𝒎𝟐
𝒓𝟐
𝒖𝒓 𝑢𝑟 vector unitario 
Signo menos por el sentido de la fuerza contrario al del vector de posición.
Ejercicio 2. Fuerza gravitacional sobre la bisectriz
Dos masas puntuales idénticas, cada una con masa M, siempre están separadas por
una distancia de 2R. Una tercera masa 𝑚 está entonces colocada a una distancia 𝑥 a lo
largo de la bisectriz perpendicular de las dos masas originales, como se muestra en la
figura.
• ¿Qué magnitud y dirección tiene fuerza gravitacional que actúa sobre la masa 𝑚?
• Analizar la magnitud de las fuerzas si:
(i) R<< x
(ii) x <<R
• Tenemos dos leyes que mencionan la masa de distinta manera, hemos usado la palabra
masa con dos significados distintos
• Las leyes de Newton Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 , la masa describe la propiedad de los cuerpos y la llamamos
masa inercial (resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento).
• La fuerza de interacción gravitatoria entre dos cuerpos 𝐹 = 𝐺
𝑚1.𝑚2
𝑟2
caracteriza la
magnitud de la interacción gravitatoria, dando a cada porción de materia una masa
gravitacional.
• Los experimentos demuestran que, pese a su distinto significado, los dos atributos masa
inercial y masa gravitacional son iguales en magnitud.
• El hecho de que cerca de la superficie terrestre todos los cuerpos caen con la misma
aceleración es una indicación de que la masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo,
usaremos el término “masa” para referirnos ya sea para la masa inercial o la gravitatoria.
Igualdad de la Masa inercial y masa gravitatoria
𝐹𝑔 = 𝐺
𝑀𝑇 . 𝑚
𝑟2
= 𝐺
𝑀𝑇 . 𝑚
(𝑅𝑇 + ℎ)
2
La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto en esta 
posición también es 𝑚𝑔
𝐺
𝑀𝑇.𝑚
(𝑅𝑇+ ℎ)
2 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝑔 =
𝐺𝑀𝑇
(𝑅𝑇+ ℎ)
2 g disminuye con Altura creciente
Variación de fuerza gravitacional y g con la altura
𝑔 =
𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇
2 = 6,67 ∙ 10
−11
𝑁 𝑚2
𝑘𝑔2
5,9736 ∙ 1024𝑘𝑔
(6,3781 ∙ 106𝑚)2
⇒ 𝑔 = 9,81 m/s2
Cerca de la superficie de la Tierra 
Un objeto de masa 𝑚 ubicado a una distancia ℎ sobre la superficie de la Tierra o a una
distancia 𝑟 del centro de la Tierra, donde 𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ. La magnitud de la fuerza gravitacional
que actúa sobre este objeto es
Satélites - Órbitas circulares
Un satélite de masa 𝑚 se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio 𝑟 con 
rapidez constante 𝒗. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitacional 
𝐹𝑔, dirigida hacia el centro de la Tierra y por lo tanto hacia el centro de la órbita. aplicando
la segunda Ley de Newton
⇒
𝐺 𝑀𝑇 .𝑚
𝑟2
= 
𝑚𝑣2
𝑟
𝐹𝑔 = 𝑚𝑎𝑐
𝒗 : Rapidez de la 
orbita circular
𝑣2= 
𝐺 𝑀𝑇
𝑟
⇒ 𝑣 =
𝐺 𝑀𝑇
𝑟
𝑇=
2𝜋
𝜔
⇒ 𝑇 =
2𝜋𝑟
𝑣
= 2𝜋𝑟
𝑟
𝐺 𝑀𝑇La energía cinética del satélite 𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 ⇒ 𝐸𝑐 =
1
2
𝐺 𝑀𝑇 .𝑚
𝑟
𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ
Velocidad orbital del satélite
𝑇2 =
4𝜋2
𝐺 𝑀𝑇
𝑟3 ⇒ 𝑠𝑖 𝑘 =
4𝜋2
𝐺 𝑀𝑇
⇒ 𝑇2 = 𝑘𝑟3
Puede calcularse la masa de un planeta a partir de datos de los 
satélites y deducir la 3era Ley de Kepler de la ec. del período
Un satélite es un cuerpo material, natural o 
artificial, de m<<M, que gira alrededor de un 
planeta , en una órbita definida.
Período de revolución del satélite 
Ejercicio 3. Luna orbitando la Tierra
La Luna, satélite natural de la Tierra, describe órbitas que suponemos que son 
circulares, en torno a la Tierra debido a la atracción gravitatoria entre ambas. Si la 
masa y el radio de la Tierra se duplican (sin modificar la distancia entre los centros), 
razone si las siguientes afirmaciones son correctas y justifique su respuesta: 
(i) El periodo orbital de la Luna se duplica; 
(ii) Su rapidez orbital permanece constante.
Campo gravitacional
Supongamos que tenemos una masa 𝒎 y que colocamos en diferentes 
posiciones a su alrededor, otra masa 𝒎’. En cada posición la masa 𝒎’ 
experimenta una fuerza debida a su interacción gravitacional con la 
masa 𝒎 dada por la ecuación
Ԧ𝐹 = −𝐺
𝑚.𝑚′
𝑟2
𝑢𝑟
La masa 𝒎 produce, en el espacio que la rodea, un campo gravitatorio 
y que se reconoce por la fuerza que 𝒎 ejerce sobre otra masa, tal como 
𝒎’, colocada en dicha región. La intensidad del campo gravitatorio 𝒈
producida por una masa 𝒎 en un punto 𝑷 , se define como la fuerza 
ejercida sobre la unidad de masa colocada en 𝑷. 
A
B
C
D
E
F
G
H
I
 
𝒈 =
Ԧ𝐹
𝑚′
= −𝐺
𝑚
𝑟2
𝑢𝑟
𝑚
𝑃
𝑢𝑟𝒈
𝑟𝑂
Unidades 
𝑁
𝑘𝑔
o 
𝑚
𝑠2
Es posible detectar la presencia del campo y medir su intensidad al colocar una partícula de 
prueba en el campo y notar la fuerza que se ejerce sobre ella. 
Campo gravitatorio (Principio de superposición)
El campo gravitatorio es una magnitud vectorial, su dirección es
radial y sentido hacia la masa que lo produce, tiene las unidades de
una aceleración.
• Si varias masas 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 se encuentran en cierta región del
espacio, cada una contribuye al campo gravitatorio originado en
un punto P.
• El campo gravitacional resultante creado por todas ellas en un
determinado punto P se obtienen como la suma vectorial de los
campos individuales creados por cada masa en ese punto.
• Ԧ𝑔𝑇 = Ԧ𝑔1 + Ԧ𝑔2+ Ԧ𝑔3 +⋯ = 𝐺σ
𝑚𝑖
𝑟𝑖
2
𝑚1
𝑚2
𝑚3
𝑃
Ԧ𝑔1
Ԧ𝑔2
Ԧ𝑔3
A
B
C
D
E
F
G
H
I
 
𝒈 = −𝐺
𝑀𝑇
𝑅𝑇
2 𝑢𝑟 = 9,8
𝑁
𝑘𝑔
Ƹ𝑗 = 9,8
𝑚
𝑠2
Ƹ𝑗
El campo gravitatorio terrestre
Energía potencial gravitacional
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa 𝑚 para traer otro
de masa 𝑚′ desde el infinito a una distancia 𝑟 de la primera masa.
• Por ser la fuerza gravitatoria conservativa 𝑊 = −∆𝐸𝑃 = − 𝐸𝑃 𝑟 − 𝐸𝑃 ∞
• Fijamos como origen de energía potencial, aquel en que la fuerza gravitatoria es cero 
𝐸𝑃 ∞ = 0, por lo tanto . 
𝑊 = න
∞
𝑟
Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 = −𝐺𝑚𝑚′න
∞
𝑟 𝑑𝑟
𝑟2
= −𝐺𝑚𝑚′ −
1
𝑟 ∞
𝑟
𝑊 = 𝐺
𝑚𝑚′
𝑟
𝑊 = −𝐸𝑃 𝑟 ⇒ 𝑬𝑷 𝒓 = −𝑮
𝒎𝒎′
𝒓
Energía potencial gravitacional: es el trabajo necesario para aproximar dos masas desde el 
infinito a una distancia r.
Unidades SI: Joule (J)
Gráfico Energía potencial gravitacional 𝐸𝑃 𝑟
La energía potencial gravitacional 𝑬𝑷 asociada a un 
objeto de masa 𝑚 situada a una distancia 𝒓 del centro de 
la Tierra de masa 𝑀𝑇 y radio 𝑅𝑇 es: 
• 𝑬𝑷 𝒓 = −𝑮
𝑀𝑇𝑚
𝒓
• La energía potencial tiende a cero a medida que 𝒓 tiende 
a infinito. 
• Si el cuerpo cae (se acerca a la Tierra) el Trabajo es 
positivo y la energía disminuye se hace mas negativa. 
Unidades SI: Joule (J) 
Relación de la energía potencial gravitacional con 𝑚𝑔ℎ
• El cambio en energía potencial cuando un objeto es elevado 
desde el suelo hasta una altura h, usando la forma general para 
la energía potencial gravitacional 
• Si ℎ ≪ 𝑅𝑇, la expresión 𝑅𝑇 (𝑅𝑇 + ℎ) es aproximadamente igual a 𝑅𝑇
2
considerando que g = G
𝑀𝑇
𝑅𝑇
2 = 9,81
m
s2
• Podemos considerar la ecuación de la energía potencial gravitatoria 𝑚𝑔ℎ como un 
caso especial de la ecuación mas general.
𝐸𝑃2 − 𝐸𝑃1 = −𝐺
𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇 + ℎ
− −𝐺
𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇
𝐸𝑃2 − 𝐸𝑃1 = −𝐺𝑀𝑇𝑚
1
𝑅𝑇 + ℎ
−
1
𝑅𝑇
𝐸𝑃2 − 𝐸𝑃1 = 𝐺𝑀𝑇𝑚
ℎ
𝑅𝑇 𝑅𝑇 + ℎ
𝐸𝑃2 − 𝐸𝑃1 ≅ 𝐺
𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇
2 ℎ ⇒ 𝐸𝑃2 − 𝐸𝑃1 ≅ 𝑚𝑔ℎ
𝑬𝑷𝟏 = −𝑮
𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻
𝑬𝑷𝟐 = −𝑮
𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻 + 𝒉
𝒎
𝒎
𝒓 = 𝑹𝑻 + 𝒉
𝒉
Potencial gravitacional
El potencial gravitacional en un punto del campo gravitacional es la energía potencial
por unidad de masa colocada en ese punto. Se representa por el símbolo𝑽.
• Si en cierto punto P en un campo gravitacional colocamos una masa𝑚′, tiene una energía
potencial 𝐸𝑃 = −𝐺
𝑚𝑚′
𝑟
entonces el potencial gravitacional en dicho punto es.
• La ecuación informa la interacción gravitacional con la masa 𝑚, independientemente de la
otra masa 𝑚′ involucrada.
El potencial es una magnitud escalar por ser la energía y la masa magnitudes escalares.
• Si varias masas contribuyen al potencial en un punto P el potencial combinado equivale a
la suma escalar de
• 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = −𝐺σ
𝑚𝑖
𝑟𝑖
𝑉 =
𝐸𝑃
𝑚′
=
−𝐺
𝑚𝑚′
𝑟
𝑚′
⇒ 𝑽 = −𝑮
𝒎
𝒓
𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑘𝑔
En el S. I. sus unidades son
El conjunto de todos los puntos del espacio que poseen un mismo potencial gravitatorio se 
denomina superficie equipotencial.
Representación del Campo y potencial gravitatorio
• El campo puede representarse figurativamente por líneas de fuerzas.
• Las líneas de fuerza se trazan de modo que su densidad sea proporcional a la intensidad el 
campo. 
• Las líneas son radiales nunca se cruzan y la intensidad del campo es mayor cerca a la masa. 
• Todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r de la masa m, tienen el mismo 
valor del potencial y constituyen una superficie equipotencial.
Las superficies equipotenciales nunca se cortan.
Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. 
Líneas de campo y superficies equipoentciales creado por dos masas, 
donde la masa de la Tierra es mayor que la luna.
Ejercicio 4. Campo y potencial gravitatorio
Considere dos partículas, de masas m y 2m, situadas en dos puntos del espacio
separados una distancia d. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a
las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio? Justifique las respuestas.
Energía Mecánica Orbital
La energía total del satélite de masa 𝑚 que se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular de 
radio 𝑟 con rapidez constante 𝒗. 
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐+𝐸𝑃 = 
1
2
𝑚𝑣2+ −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟
como 𝑣2= 
𝐺 𝑀𝑇
𝑟
𝐸𝑚 =
1
2
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟
+ −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟
𝑬𝒎 = −
𝑮𝑴𝑻𝒎
𝟐𝒓
Aumentar el radio orbital r implica incrementar la energía mecánica, la 𝐸𝑚 se hace menos negativa.
La energía mecánica total en una órbita es negativa e igual a la mitad de la Energía potencial.
𝑬𝒎 =
𝑬𝒑
𝟐
𝑬𝒄 = −
𝑬𝒑
𝟐
El mismo análisis se puede aplicar al movimiento de cualquier cuerpo sometido a atracción
gravitacional de un cuerpo estacionario.
Ejercicio 5. Satélite para comunicaciones
Una empresa de telecomunicaciones quiere poner una serie de satélites de masa m,
en órbita circular sobre el ecuador de modo que se muevan con un radio de giro igual
al doble del terrestre. Para ello, pueden colocarlos directamente en órbita desde la
Tierra o bien transportarlos en el transbordador espacial hasta la Estación Espacial
Internacional (ISS), que orbita a una altura de 6,25 % del RT, como paso intermedio, y
lanzarlos desde allí. Calcula
• a) La energía para el cambio de órbita desde la estación espacial.
• b) La energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape a
la acción del campo gravitatorio terrestre. (optativo)
Velocidad de Escape (𝑣𝑒𝑠𝑐)
La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero 
para salir del campogravitatorio de otro masivo
Suponemos que el objeto de masa m es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con 
una velocidad inicial . Como la Energía mecánica es constante en un campo gravitatorio :
En general para cualquier planeta, la velocidad de escape será: 𝒗𝒆𝒔𝒄 =
𝟐𝑮𝑴
𝑹
,
R y M son el radio y la masa del Planeta respectivamente.
𝐸𝑐0+𝐸𝑝0 = 𝐸𝑐𝑓+𝐸𝑝𝑓
1
2
𝑚𝑣𝑒𝑠𝑐
2 −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇
=
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟𝑚á𝑥
1
2
𝑚𝑣𝑒𝑠𝑐
2 −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇
= 0 ⇒ 𝑣𝑒𝑠𝑐 =
2𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇
𝑣0 será la velocidad de escape 𝑣𝑒𝑠𝑐 ,
𝑣𝑓 = 0, la velocidad final cuando el objeto esta a una 
distancia infinita y 𝐸𝑝𝑓 ⟶ 0
𝑣𝑒𝑠𝑐 = 11,2 𝑘𝑚/𝑠