parcial 1 solucionado

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Servicios a la Facultad de Ingeniería
Instituto de Matemáticas
Solución Parcial 1 de Geometría Vectorial y Analítica
Abril 16 de 2015
Profesor: Juan Carlos Arango Parra Grupo: 29
Nombre: Documento:
Nota: El examen consta de 4 numerales para ser resueltos en un tiempo máximo de 2 horas. Cada numeral
tiene el mismo valor. Los procedimientos empleados para llegar a cada respuesta deben ser justificados y quedar
registrados en el examen. EL USO CELULARES Y/O DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS SERÁ MOTIVO PARA
LA CANCELACIÓN DEL PARCIAL.
1. (25%) Dadas las afirmaciones siguientes, indique si son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta
para las afirmaciones falsas mediante un contraejemplo.
a) (F) Siempre se cumple que (A · B)2 = A2 · B2.
Solución: Si A y B fuesen matrices rectangulares para las cuales esté definida el producto, por
ejemplo A de orden 2× 3 y B de orden 3× 2, el producto AB es de orden 2× 2 y es posible hallar
su cuadrado (AB)2, sin embargo, no es posible hallar A2 y B2 debido a que la potencia solo se
define para matrices cuadradas.
b) (F) Si A · B = A · C entonces B = C.
Solución: Sea A =
[
0 −1
0 0
]
y las matrices B y C como B =
[
2 3
−4 5
]
y C =
[
−4 3
−4 5
]
, los
productos AB y AC están dados por
AB =
[
0 −1
0 0
] [
2 3
−4 5
]
=
[
4 −5
0 0
]
y AC =
[
0 −1
0 0
] [
−4 3
−4 5
]
=
[
4 −5
0 0
]
,
con estas matrices se satisface que AB = AC, sin embargo B 6= C.
c) (F) Toda matriz nula es escalar.
Solución: El enunciado es falso, ya que si la matriz es nula puede ser rectangular y en tal caso
no será posible que sea escalar ya que esta matriz necesita ser cuadrada.
d) (F) El producto de matrices diagonales es conmutativa.
Solución: El enunciado es falso ya que no se especifican que sean del mismo orden. En el caso del
ser del mismo orden es verdadero, por ejemplo consideremos dos matrices diagonales de orden 3
como se muestra a continuación
D1 =


a 0 0
0 b 0
0 0 c

 y D2 =


d 0 0
0 e 0
0 0 f

 .
Página 2/6 Solución Parcial 1
Las matrices D1 · D2 y D2 · D1 equivalen a
D1D2 =


a 0 0
0 b 0
0 0 c




d 0 0
0 e 0
0 0 f

 =


ad 0 0
0 be 0
0 0 cf


y
D2D1 =


d 0 0
0 e 0
0 0 f




a 0 0
0 b 0
0 0 c

 =


da 0 0
0 eb 0
0 0 fc

 .
Como el producto de número reales es conmutativo (ad = da, be = eb y cf = fc) entonces
D1 · D2 = D2 · D1, nótese que el producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal
donde se multiplican solo los elementos de la diagonal principal.
e) (V) Sea H = [aij] una matriz cuadrada tal que aij = 0 para i 6= j y aij 6= 0 para i = j entonces
H es una matriz diagonal.
Solución: La condición de ser aij = 0 para i 6= j implica que los elementos que están por fuera
de la diagonal principal de esta matriz cuadrada H deben ser cero y no importa los que estén en
la diagonal, solo que aij 6= 0. Con estas condiciones H es una matriz diagonal.
f ) (F) Si el producto matricial de dos matrices es una matriz cuadrada, entonces necesariamente los
factores son matrices cuadradas.
Solución: Sea AB la matriz resultante que es cuadrada, por ejemplo 3×3, sin embargo, cada una
de las matriz del producto no tienen que ser cuadrada, puede suceder que A sea de orden 3× 5 y
B de orden 5 × 3, y así AB es de orden 3 × 3 pero no son cuadradas A y B.
2. (25%) De acuerdo con los conceptos de sistemas de ecuaciones dé respuesta a las siguientes preguntas
(utilizar la eliminación Gaussiana)
a) (12,5%) Encuentre los valores (siempre que sea posible) de α, β y λ para los cuales se da la
igualdad αX + βY + λZ = (1, 1, 1), donde X = (−2, 1, 1), Y = (0,−1, 1) y Z = (2, 0, 1).
Solución: Sustituyendo los valores de las n-tuplas X, Y y Z y aplicando las operaciones entre
n−tuplas se llega a
α(−2, 1, 1) + β(0,−1, 1) + λ(2, 0, 1) = (1, 1, 1)
(−2α,α, α) + (0,−β, β) + (2λ, 0, λ) = (1, 1, 1)
(−2α + 2λ, α − β, α + β + λ) = (1, 1, 1)
Igualando componente a componente se llega al sistema 3 × 3 con variables α, β, λ el cual se
resolverá haciendo uso de la eliminación gaussiana
−2α + 2λ = 1
α − β = 1
α + β + λ = 1
Página 3/6 Solución Parcial 1
Aumentado la matriz en los términos independientes y aplicando el proceso de escalonamiento se
llega a


−2 0 2 1
1 −1 0 1
1 1 1 1


E12−→


1 −1 0 1
−2 0 2 1
1 1 1 1


2E1+E2−→
−1E1+E2


1 −1 0 1
0 −2 2 3
0 2 1 0


−
1
2
E2
−→


1 −1 0 1
0 1 −1 −3
2
0 2 1 0


−2E2+E3−→


1 −1 0 1
0 1 −1 −3
2
0 0 3 3


1
3
E3
−→


1 −1 0 1
0 1 −1 −3
2
0 0 1 1


El sistema de ecuaciones equivalente se escribe como
α − β = 1
β − λ = −
3
2
λ = 1
Por sustitución regresiva es posible encontrar los valores de las demás variables, al ser λ = 1
entonces en la segunda ecuación del sistema equivalente se escribe β = −3
2
+ λ = −3
2
+ 1 = −1
2
,
finalmente al sustituir los valores conocidos en la primera ecuación es posible hallar el valor de α,
donde α = 1 + β = 1 − 1
2
. Con los valores hallados se cumple
1
2
(−2, 1, 1) −
1
2
(0,−1, 1) + (2, 0, 1) = (1, 1, 1) .
b) (12,5%) La matriz A representa la matriz reducida de un sistema de ecuaciones, determine: Rango
fila, tipo de soluciones, variables principales, parámetros, sistema equivalente, el conjunto solución
y una solución particular.
A =
[
1 0 3 2 −4
0 1 1 3 2
]
Solución: La matriz A tiene dos pivotes, es por ello que el rango fila es 2, tiene infinitas soluciones
que dependen de los dos parámetros que tiene el sistema (correspondiente a las columnas sin
pivotes) equivalente que se presenta a continuación, donde se asume que las variables son x, y, z
y w.
x + 3z + 2w = −4
y + z + 3w = 2
Despejando las variables x y y en términos de z y w se tiene
x = −4 − 3z − 2w
y = 2 − z − 3w
Que determina el conjunto solución S = {(x, y, z, w) : x = −4− 3z − 2w , y = 2− z − 3w}. Como
el sistema tiene infinitas soluciones es posible hallar una solución particular asignando valores
arbitrarios a los parámetros, si z = −1 y w = 2 resulta x = −5 y y = −3.
Página 4/6 Solución Parcial 1
3. (25%) Sean
A =


−5 −2
3 −3
4 −4

 , B =
[
1 3 5 0
2 1 −2 3
]
y C =
[
0 −1
−1 0
]
a) Halle las matrices AC y AB.
b) Determine la matriz BTCT .
c) Determine el orden de una matriz D que satisface la ecuación ADT B = I2×2.
d) Encuentre las componentes de una matriz E que cumple la igualdad 1
2
ACT + E = O donde O es
la matriz nula.
Solución:
a) Como la matriz A es de orden 3× 2 y la matriz C es de orden 2× 2 entonces la matriz AC es de
orden 3 × 2 que se halla como
AC =


−5 −2
3 −3
4 −4


[
0 −1
−1 0
]
=


2 5
3 −3
4 −4

 .
Por otro lado, la matriz AB será de orden 3 × 4 y se presenta a continuación
AB =


−5 −2
3 −3
4 −4


[
1 3 5 0
2 1 −2 3
]
=


−9 −17 −21 −6
−3 6 21 −9
−4 8 28 −12


b) De acuerdo con las propiedades de la transpuesta, la transpuesta de CB es (CB)T = BTCT ,
entonces es más sencillo encontrar la matriz CB y luego transponer la misma. Como C es una
matriz de orden 2 × 2 y B es de orden 2 × 4 entonces CB es de orden 2 × 4 y está dada por
CB =
[
0 −1
−1 0
] [
1 3 5 0
2 1 −2 3
]
=
[
−2 −1 2 −3
−1 −3 −5 0
]
,
Trasponiendo esta matriz se llega a que BT CT = (CB)T es una matriz de 4 × 2 dada por
BTCT =




−2 −1
−1 −3
2 −5
−3 0




.
c) No es posible encontrar esta matriz D. Pensemos primero en la matriz ADT como A es de orden
3×2 entonces DT debe tener dos filas para hacer la multiplicación ADT ; como también debe estar
definida la matriz DT B y B es de orden 2 × 4 entonces DT debe tener 2 columnas. Por tanto,
el producto ADT B está bien definido si DT es una matriz de orden 2, sin embargo, la matriz
resultante del producto ADT B no es de orden 2 × 2 como se ilustra a continuación
A
3×2
DT
2×2
B
2×4
= Resultante
3×4
.
luego no existe la matriz D que satisfaga la condición ADT B = I2×2.
Página 5/6 Solución Parcial 1
d) Como C es una matriz simétrica entonces CT = C y por tanto la multiplicaciónACT = AC
(resultado del literal a)) entonces la matriz 1
2
ACT se igual a
1
2
ACT =


1 5
2
3
2
−3
2
2 −2

 .
Y por tanto, la matriz E que satisface la igualdad 1
2
ACT + E = O donde O es la matriz nula, es
cambiarle los signos a la matriz 1
2
ACT en tal caso
E =


−1 −5
2
−3
2
3
2
−2 2

 .
4. (25%) Una fábrica de muebles manufactura mesas, sillas y armarios. Cada pieza requiere tres opera-
ciones: corte de la madera, ensamble y acabado. Cada proceso requiere la cantidad de horas (h) que
se da en la tabla adjunta. Los trabajadores de la fábrica pueden proporcionar 480 horas de corte, 760
horas de ensamble y 855 horas de acabado por semana. ¿Cuántas mesas, sillas y armarios se deben
producir de modo que todas las horas de mano de obra se utilicen?
Mesa Silla Armario
Corte (h) 1
2
1 1
Ensamble (h) 1
2
11
2
21
2
Acabado (h) 1 11
2
3
Solución: Las variables se definen como x: “El número de mesas que se pueden fabricar”, y: “El número
de sillas que se pueden fabricar” y z: “El número de armarios que se pueden producir”. De acuerdo con
los datos de la tabla, el sistema de ecuaciones se plantea como sigue, donde cada número mixto se
escribió en forma fraccionaria
1
2
x +
1
2
y + 1z =480
1
2
x +
3
2
y +
5
2
z =760
1x +
3
2
y + 3z =855 .
Se procede ahora a la eliminación gaussiana


1
2
1 1 480
1
2
3
2
5
2
760
1 3
2
3 855


2E1 2E2−→
2E3


1 2 2 960
1 3 5 1520
2 3 6 1710


−1E1+E2−→
−2E1+E3


1 2 2 960
0 1 3 560
0 -1 2 -210


1E2+E3−→


1 2 2 960
0 1 3 560
0 0 5 350


1
5
E3
−→


1 2 2 960
0 1 3 560
0 0 1 70

 .
JULIAN DAVID
Resaltado
JULIAN DAVID
Resaltado
JULIAN DAVID
Nota adhesiva
Es un error de escritura, el numero que corresponde es el 1
Página 6/6 Solución Parcial 1
El sistema de ecuaciones equivalentes es
x + 2y + 2z =960
y + 3z =560
z =70 .
Por sustitución regresiva es posible encontrar el valor de y, donde y + 210 = 560 así y = 350, para x se
tiene x + 700 + 140 = 960, es decir, x = 120. Se concluye que se pueden fabricar 120 mesas, 350 sillas
y 70 armarios.