parcial 1 a solución

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
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Instituto de Matemáticas
Solución Parcial 1 de Geometría Vectorial
Marzo 10 de 2016
Profesor: Juan Carlos Arango Parra
1. (20%) Dadas las afirmaciones siguientes, indique si son verdaderas o falsas. Justifique dos de las
respuestas falsas y dos de las verdaderas.
a) (F) Si A es de orden m × n con m 6= n entonces A2 es de orden n × m.
Solución: El enunciado es falso, ya que la única opción para que la potencia de una matriz exista
es que ésta sea cuadrada pero se indica que m 6= n.
b) (F) Si A es una matriz tal que aij = 0 para i > j entonces la matriz es triangular superior.
Solución: No se indica que la matriz A sea cuadrada y las matrices triangulares solo están
definidas para este tipo de matrices pese a que son ceros por debajo de la diagonal con la condición
aij = 0 para i > j como la siguiente matriz
A =


8 1 2 9 −7
0 −4 −3 10 6
0 0 −2 12 0


c) (F) La cantidad de elementos de una matriz producto siempre es mayor que la cantidad de ele-
mentos de cada matriz.
Solución: Consideremos las matrices A y B de orden 2×5 y 5×1 respectivamente; éstas matrices
tienen 10 y 5 elementos, la matriz producto AB (nótese que ésta bien definidos los órdenes) tiene
orden 2 × 1 que posee solo dos elementos, así que la matriz producto tiene menos elementos que
cada una de las matrices.
d) (V) Un sistema homogéneo tiene la solución trivial infinitas soluciones
Solución: El enunciado es verdadero, ya que si es un sistema homogéneo entonces en el lado dere-
cho siempre habrá ceros, es por ello que al final del escalonamiento puede terminar como 0 = 0
(infinitas soluciones) o terminar con cada pivote (única solución) por ejemplo 1x=0 donde xn es
la n-ésima variable, de allí que xn = 0 y cada variable es cero por ello la solución única es la trivial.
e) (V) Si A es antisimétrica entonces A2 es simétrica.
Solución: Si A es antisimétrica entonces AT = −A, sea E = A2, veamos que la matriz E es
simétrica, es decir, que ET = E.
1. A es antisimétrica . . . Hipótesis.
2. AT = −A . . . Definición de matriz antisimétrica en 1.
3. ET = (A2)T . . . Transponiendo la matriz E.
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Solución Parcial 1 Página 2/5
4. ET = (AA)T . . . Definición de potencia de una matriz en 3.
5. ET = AT AT . . . Propiedades de la transpuesta en 4 (producto).
6. ET = (−A)(−A) . . . Sustitución de 2 en 5.
7. ET = AA . . . Propiedades de escalares en 6 (ley de signos).
8. ET = A2 . . . Definición de potencia de una matriz en 7.
9. ET = E . . . Sustituyendo la matriz E en 8.
10. E = A2 es simétrica . . . Definición de matriz simétrica e 9.
f ) (V) Si A y B son matrices de igual orden tales que A + X = A + B entonces X = B.
Solución: Para toda matriz A existe la matriz −A, en la igualdad A + X = A + B se suma la
matriz −A a ambos lados para tener −A + A + X = −A + A + B como toda matriz sumada
con su opuesta es la matriz nula entones O + X = O + B y la matriz nula cumple la propiedad
modulativa para concluir X = B.
g) (V) (AB)3 = A3B3 siempre que A y B sean matrices cuadradas y que AB = BA.
Solución: La última condición implica que las matrices son conmutativas respecto del producto
1. AB = BA . . . Hipótesis.
2. (AB)3 = (AB)(AB)(AB) . . . Definición de potenciación.
3. (AB)3 = A(BA)(BA)B . . . Asociativa del producto en 2.
4. (AB)3 = A(AB)(AB)B . . . Hipótesis aplicada en 3 (conmutativa).
5. (AB)3 = (AA)(BA)(BB) . . . Asociativa del producto en 4.
6. (AB)3 = (AA)(AB)(BB) . . . Hipótesis aplicada en 5 (conmutativa).
7. (AB)3 = (AAA)(BBB) . . . Asociativa del producto en 6.
8. (AB)3 = A3B3 . . . Definición de potenciación en 7.
2. (20%) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror.
Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del
total. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más el 60% de las de terror son la mitad
del total de películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas
de cada tipo. Solucionar utilizando la eliminación Gaussiana.
Solución: Sea x: “la cantidad de películas infantiles”, y: “la cantidad de películas del oeste” y z: “la
cantidad de películas del oeste”. El porcentaje se puede escribir como una fracción, así el 60% es
60
100 =
6
10 , de acuerdo con esto y con base en el enunciado se pueden tener las siguientes ecuaciones,
donde es necesario considerar que el total es x + y + z y la mitad del total también equivale al 50%.
6
10
x +
5
10
y =
3
10
(x + y + z) =⇒ 6x + 5y = 3(x + y + z) =⇒ 3x + 2y − 3z = 0
2
10
x +
6
10
y +
6
10
z =
5
10
(x + y + z) =⇒ 2x + 6y + 6z = 5(x + y + z) =⇒ −3x + y + z = 0
y = 100 + x =⇒ −x + y = 100
El sistema de 3 × 3 se resuelve por medio de la eliminación gaussiana, como sigue


3 2 −3 0
−3 1 1 0
−1 1 0 100


E13
−→


−1 1 0 100
−3 1 1 0
3 2 −3 0


−1E1
−→


1 −1 0 −100
−3 1 1 0
3 2 −3 0


3E1+E2
−→
−3E1+E3
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

1 −1 0 −100
0 −2 1 −300
0 5 −3 300


−
1
2
E2
−→


1 −1 0 −100
0 1 −12 150
0 5 −3 300


−5E2+E3
−→


1 −1 0 −100
0 1 −12 150
0 0 −12 −450


−2E3
−→


1 −1 0 −100
0 1 −12 150
0 0 1 900


El sistema de ecuaciones equivalente es
x − y = −100
y −
1
2
x = 150
z = 900
Por sustitución regresiva, se reemplaza el valor de z en la segunda ecuación y se despeja la variable y
para tener
y −
1
2
(900) = 150 =⇒ y − 450 = 150 =⇒ y = 150 + 450 =⇒ y = 600 ,
en la primera ecuación se sustituye el valor de las variables y y z para encontrar el valor de x
x − 600 = −100 =⇒ x = −100 + 600 =⇒ x = 500 .
Se concluye que hay 500 películas infantiles, 600 películas del oeste y 900 películas de terror. Hay un
total de 2000 películas.
3. (20%) Si A y B son matrices antisimétricas entonces
a) AB + BA es simétrica.
b) ABA es antisimétrica.
Solución:
a) Por hipótesis las matrices A y B son antisimétricas, por facilidad en la demostración se dirá que
C = AB + BA matriz que debe demostrarse que es simétrica (CT = C) como se presenta a
continuación.
1. A es antisimétrica . . . Hipótesis.
2. B es antisimétrica . . . Hipótesis.
3. AT = −A . . . Definición de matriz antisimétrica en 1.
4. BT = −B . . . Definición de matriz antisimétrica en 2.
5. CT = (AB + BA)T . . . Transponiendo la matriz C.
6. CT = (AB)T + (BA)T . . . Propiedades de la transpuesta en 5 (suma).
7. CT = BT AT + AT BT . . . Propiedades de la transpuesta en 6 (producto).
8. CT = (−B)(−A) + (−A)(−B) . . . Sustituyendo 3 y 4 en 7.
9. CT = BA + AB . . . Propiedades de los escalares en 8 (ley de signos).
10. CT = AB + BA . . . Conmutativa de la suma de matrices en 9.
11. CT = C . . . Sustitución de la matriz C en 10.
12. C = AB + BA es simétrica . . . Definición de matriz simétrica en 11.
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b) En este caso se dirá que D es la matriz ABA, D = ABA y se demostrará que es antisimétrica, es
decir, que DT = −D. Veamos
1. A es antisimétrica . . . Hipótesis.
2. B es antisimétrica . . . Hipótesis.
3. AT = −A . . . Definición de matriz antisimétrica en 1.
4. BT = −B . . . Definición de matriz antisimétrica en 2.
5. DT = (ABA)T . . . Transponiendo la matriz D.
6. DT = AT BTAT . . . Propiedades de la transpuesta en 5 (producto).
7. DT = (−A)(−B)(−A) . . . Sustitución de 3 y 4 en 6.
8. DT = −ABA . . . Propiedades de escalares en 7 (ley de signos).
9. DT = −D . . . Sustitución de la matriz D en 8.
10. D = ABA es antisimétrica . . . Definición de matriz antisimétrica en 9.
4. (20%) Para la matriz A =


1 0 1
0 1 0
1 0 1

 calcular A2, A3, A4 y establecer una regla general para An.
Solución: A continuación se hacen las multiplicaciones, las cuales están definidas ya que la matriz es
cuadrada
A2 =


1 0 1
0 1 0
1 0 1




1 0 1
0 1 0
1 0 1

 =


2 0 2
0 1 0
2 0 2

 , A3 =


1 0 1
0 1 0
1 0 1




2 0 2
0 1 0
2 0 2

 =


4 0 4
01 0
4 0 4

 ,
A4 =


1 0 1
0 1 0
1 0 1




4 0 4
0 1 0
4 0 4

 =


8 0 8
0 1 0
8 0 8


Para establecer una regla general, nótese que el elemento de la posición (2, 2) es 1 siempre, los valores
que eran cero en la matriz original lo siguen siendo en cada potencia, las demás posiciones son iguales
y son potencias de 2, es decir, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, sin embargo el exponente es un natural anterior
a la potencia de la matriz, así en la matriz A4, los términos son 8 = 23. En forma general se escribe
An =


2n−1 0 2n−1
0 1 0
2n−1 0 2n−1


5. (20%) Determine para qué valores de K el sistema
Kx1 + x2 − x3 = 0
x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + 10x2 + 4x3 = 0
a) Tiene infinitas soluciones.
b) Tiene solución única.
c) Es inconsistente.
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Solución: El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial para luego escalonar, a con-
tinuación se presenta el proceso


K 1 −1 0
1 3 1 0
3 10 4 0


E12
−→


1 3 1 0
K 1 −1 0
3 10 4 0


E23
−→


1 3 1 0
3 10 4 0
K 1 −1 0


−3E1+E2
−→
−KE1+E3


1 3 1 0
0 1 1 0
0 1 − 3K −1 − K 0


−(1−3K)E2+E3
−→


1 3 1 0
0 1 1 0
0 0 −2 + 2K 0


Ahora bien, como es un sistema homogéneo solo tiene dos opciones, o infinitas soluciones o única
solución, no se contempla la opción que el sistema no tenga solución. Para que tenga infinitas soluciones
se necesita que −2 + 2K = 0 cuyo solución es K = 1 y tiene única solución siempre que K 6= 1.