Calculo_Vectorial-8

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Elimina el parámetro para la curva plana definida por las
siguientes ecuaciones paramétricas y describe el gráfico
resultante.
Sugerencia: Resuelve una de las ecuaciones para t y sustitúyela
en la otra ecuación.
Hasta ahora hemos visto el método de eliminar el parámetro,
asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas
que describen una curva plana. ¿Qué pasa si nos gustaría comenzar
con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones
paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente posible, y de hecho
es posible hacerlo de muchas maneras diferentes para una curva
dada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.
Parametrizando una curva
Encuentra dos pares de ecuaciones paramétricas diferentes
para representar la gráfica de .
Haz clic en el botón para observar la solución:
x(t) = 2 + , y(t) =
t
3
t−1, 2 ≤ t ≤ 6
y = 2x −32
20
/
Encuentra dos conjuntos diferentes de ecuaciones
paramétricas para representar la gráfica de .
Sugerencia: Sigue los pasos del ejercicio anterior. Recuerda que
tenemos libertad para elegir la parametrización de .
1.2.3 Cicloides y otras curvas paramétricas
Imagínate paseando en bicicleta por el país. Los neumáticos
permanecen en contacto con la carretera y giran en un patrón
predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está
cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se
cuelga del lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino
que esta hormiga recorre por un camino recto se llama cicloide
(Figura 1.3). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de
bicicleta) de radio a, está dada por las ecuaciones paramétricas:
Para ver por qué esto es cierto, considera el camino que toma el
centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje a una altura
constante igual al radio de la rueda. Si el radio es , entonces las
coordenadas del centro pueden ser dadas por las ecuaciones
y = x +2 2x
x(t)
x(t) = a(t−sent), y(t) = a(1−cost).
x
a
x(t) = at, y(t) = a
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/13.png
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para cualquier valor de . A continuación, considera la hormiga, que
gira alrededor del centro a lo largo de un camino circular. Si la
bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el
sentido de las agujas del reloj.
Figura 1.3. Una rueda que recorre una carretera sin resbalarse; el punto en
el borde de la rueda traza un cicloide.
Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga
(en relación con el centro de la rueda) está dada por
(El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la
curva. Si el signo negativo no estuviera allí, tendríamos que imaginar
la rueda girando en sentido contrario a las agujas del reloj). Sumar
estas ecuaciones juntas da las ecuaciones para la cicloide.
Este tipo de curva recibió el nombre de "Helena de los geométras" 1.
Pese a que fue Mersenne, en 1615, quien la define como cicloide, su
estudio fue de mucho interés para Galileo, Torricelli, Fermat,
Descartes, Huygens y Pascal (Ibid).
t
x(t) = −asent, y(t) = −acost.
x(t) = a(t−sent), y(t) = a(1−cost).
Véase en Carrillo & Llamas, el trazado de algunas curvas (Revista Suma, 1999).1
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http://revistasuma.es/IMG/pdf/30/103-111.pdf