Calculo_Vectorial-9

Vista previa del material en texto

/
Dado su gran interés para estos ilustres matemáticos, vamos a
describir su construcción geométrica y, posteriormente, las
ecuaciones paramétricas que la definen.
De la miscelánea (Ruleta cicloidal), diseñada por Rita Jiménez Igea,
Ildefonso Fernández Trujillo y Ángel Cabezudo Bueno, encontramos
que,
Una ruleta cicloidal es una curva plana que describe la trayectoria de un
punto vinculado a una circunferencia, llamada generatriz, que rueda
tangencialmente sin deslizarse sobre otra curva plana llamada directriz.
Según sea la curva directriz sobre la que rueda la circunferencia, la
ruleta cicloidal recibe nombres diferentes. Se llama cicloide a la ruleta
cicloidal que rueda sobre una recta. El punto vinculado a la
circunferencia puede ser interior, exterior o estar en la circunferencia;
en este último caso se dice que la cicloide es normal.
En la escena interactiva de la página siguiente, al pulsar el botón
animar/parar, vemos cómo se genera la cicloide normal. El punto
vinculado a la circunferencia es el punto que inicialmente hace
contacto con la recta.
Supongamos ahora que la rueda de la bicicleta no viaja por una
carretera recta, sino que se mueve por el interior de una rueda más
grande, como se muestra en la figura 1.4. En este gráfico, el círculo
verde se desplaza alrededor del círculo azul en sentido contrario a las
agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico
rojo, que se llama hipocicloide.
P
23
http://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/ruletas_cicloidales-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/14.png
/
Figura 1.4. Gráfico del hipocicloide descrito por las ecuaciones
paramétricas mostradas.
24
Juan Rivera
Sello
/
Otra curva de gran interés es la hipocicloide. Las ecuaciones
paramétricas generales para una hipocicloide son:
Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero la deducción es
algo similar a las ecuaciones para la cicloide. En este caso, asumimos
que el radio del círculo más grande es y el radio del círculo más
pequeño es . Luego, el centro de la rueda se desplaza a lo largo de un
círculo de radio . Este hecho explica el primer término en cada
ecuación anterior. El período de la segunda función trigonométrica
tanto en como en es igual a 
En la siguiente escena interactiva, observa cómo se generan las
hipocicloides, a partir de punto P de una circunferencia de radio que
rota interiormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de
radio .
La relación está relacionada con el número de cúspides en el gráfico
(las cúspides son las esquinas o los extremos puntiagudos del gráfico),
como se ilustra en la figura 1.4. Esta relación puede llevar a algunos
gráficos muy interesantes, dependiendo de si la relación es racional o
no. La figura corresponde a y . El resultado es un
hipocicloide con cuatro cúspides, llamada astroide.
Inicialmente, la escena presenta la relación , que corresponde a
una hipocicloide llamada deltoide, cambia el valor de por 4 y
observarás la astroide.En la escena interactiva puedes obtener otras
posibilidades.
x(t) = (a−b)cost+ bcos t(
b
a− b
)
y(t) = (a−b)sent−bsen t(
b
a− b)
a
b
a−b
x(t) y(t)
a−b
2πb
b
a
b
a
a = 4 b = 1
=
b
a 3
a
25
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/14.png