Calculo_Vectorial-64

Vista previa del material en texto

/
Aplicando la ley de cosenos
Podemos usar esta expresión para encontrar la medida del ángulo
entre dos vectores distintos de cero. La siguiente ecuación
reorganiza la ecuación 2.3 para resolver el coseno del ángulo:
Usando esta ecuación, podemos encontrar el coseno del ángulo entre
dos vectores distintos de cero. Como estamos considerando el
ángulo más pequeño entre los vectores, suponemos 
(o si estamos trabajando en radianes). El coseno inverso es
único en este rango, por lo que podemos determinar el ángulo .
Encontrar el ángulo entre dos vectores
Encuentra la medida del ángulo entre cada par de vectores.
1. y 
2. y 
∥v−u∥2
∥v∥ −2u ⋅ v + ∥u∥2 2
−2u ⋅ v
u ⋅ v
= ∥u∥ + ∥v∥ −2∥u∥∥v∥cosθ2 2
= ∥u∥ + ∥v∥ −2∥u∥∥v∥cosθ2 2
= −2∥u∥∥v∥cosθ
= ∥u∥∥v∥cosθ
cosθ =
∥u∥∥v∥
u ⋅ v
(2.5)
0 ≤o θ ≤ 180o
0 ≤ θ ≤ π
θ
i+ j+ k 2i− j− 3k
⟨2, 5, 6⟩ ⟨−2,−4, 4⟩
188
/
El ángulo entre dos vectores puede ser agudo ( ), obtuso
( ) o llano ( ). Si , ambos vectores
tienen la misma dirección. Si , entonces los vectores, cuando
se colocan en posición estándar, forman un ángulo recto (Figura
2.46). Podemos formalizar este resultado en un teorema con
respecto a los vectores ortogonales (perpendiculares).
Figura 2.46. (a) Un ángulo agudo tiene . (b) Un ángulo obtuso
tiene . (c) Una línea recta tiene . (d) Si los
vectores tienen la misma dirección, . (e) Si los vectores son
ortogonales (perpendiculares), .
0 < cosθ < 1
−1 < cosθ < 0 cosθ = −1 cosθ = 1
cosθ = 0
0 < cosθ < 1
−1 < cosθ < 0 cosθ = −1
cosθ = 1
cosθ = 0
189
/
TEOREMA 2.5
Vectores ortogonales
Los vectores distintos de cero y son vectores ortogonales si
y solo si .
Prueba
Supongamos que y son vectores distintos de cero y que denota
el ángulo entre ellos. Primero, supón que . Luego
Sin embargo, y , por lo que debemos tener .
Por lo tanto, , y los vectores son ortogonales.
Ahora supón que y son ortogonales. Entonces y tenemos
Los términos ortogonal, perpendicular y normal indican que los
objetos matemáticos se cortan en ángulo recto. El uso de cada
término está determinado principalmente por su contexto. Decimos
que los vectores son ortogonales y las rectas son perpendiculares. El
término normal se usa con mayor frecuencia cuando se mide el
ángulo hecho con un plano u otra superficie.
En la siguiente escena interactiva (adaptación de una escena del libro
Geometría analítica del espacio), modifica los vectores y observa qué
ocurre.
u v
u ⋅ v = 0
u v θ
u ⋅ v = 0
∥u∥∥v∥cosθ = 0
∥u∥ 0= ∥v∥ 0= cosθ = 0
θ = 90o
u v θ = 90o
u ⋅ v = ∥u∥∥v∥cosθ = ∥u∥∥v∥cos90 =o ∥u∥∥v∥ ⋅ 0 = 0
190
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/GeometriaAnaliticaEspacio-JS/index.html