Calculo_Vectorial-67

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DEFINICIÓN
La proyección vectorial de sobre es el vector etiquetado
como en la figura 2.50. Tiene el mismo punto inicial que 
 y y la misma dirección que , y representa la componente de
 que actúa en la dirección de . Si representa el ángulo entre 
 y , entonces, por las propiedades de los triángulos, sabemos
que la longitud de es = . Al expresar 
 en términos del producto escalar, esto se convierte en
Ahora multiplicamos por un vector unitario en la dirección de 
para obtener :
La longitud de este vector también se conoce como la
proyección escalar de sobre y se denota por 
v u
proy vu
u v u
v u θ
u v
proy vu ∥proy v∥u ∥v∥cosθ
cosθ
∥proy v∥u = ∥v∥cosθ
= ∥v∥( )
∥u∥∥v∥
∣u ⋅ v∣
=
∥u∥
∣u ⋅ v∣
u
proy vu
proy v =u ( u) =∥u∥
u ⋅ v
∥u∥
1
u
∥u∥2
u ⋅ v
(2.6)
v u
∥proy v∥ =u comp v =u ∥u∥
u ⋅ v
(2.7)
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/250.png
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Si comparaste la definición con la escena interactiva, habrás notado
que en la primera se define , mientras que en la
escena interactiva se tiene ; es decir, en una se
obtiene la proyección de sobre y, en la escena, la proyección de 
sobre . Veamos un ejemplo:
Figura 2.50. La proyección de sobre muestra el componente del vector
 en la dirección de .
Encontrar proyecciones
Encuentra la proyección de sobre .
a. y 
b. y 
∥proy v∥ =u ∥u∥
u⋅v
∥proy u∥ =v ∥v∥
u⋅v
v u u
v
v u
v u
v u
v = ⟨3, 5, 1⟩ u = ⟨−1, 4, 3⟩
v = 3i−2j u = i+ 6j
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A veces es útil descomponer vectores, es decir, separar un vector en
una suma. Este proceso se llama resolución de un vector en
componentes. Las proyecciones nos permiten identificar dos
vectores ortogonales que tienen una suma deseada. Por ejemplo, sea 
 y sea . Queremos descomponer el vector en
componentes ortogonales de modo que uno de los vectores
componentes tenga la misma dirección que .
Primero encontramos el componente que tiene la misma dirección
que proyectando sobre . Sea . Entonces tenemos
Ahora considera el vector . Tenemos
Claramente, por la forma en que definimos , tenemos , y
Por lo tanto, y son ortogonales.
v = ⟨6,−4⟩ u = ⟨3, 1⟩ v
u
u v u p = proy vu
p = ( u) = u = u
∥u∥
u ⋅ v
∥u∥
1
∥u∥2
u ⋅ v
9 + 1
18 − 4
= u  = ⟨3, 1⟩ = ⟨ , ⟩
5
7
5
7
5
21
5
7
q = v−p
q = v−p
= ⟨6,−4⟩−⟨ , ⟩ = ⟨ , − ⟩
5
21
5
7
5
9
5
27
q v = q+ p
q ⋅ p = ⟨ , − ⟩ ⋅⟨ , ⟩
5
9
5
27
5
21
5
7
= + = − = 0
25
9(21)
25
−27(7)
25
189
25
189
q p
199