Calculo_Vectorial-75

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A diferencia de la mayoría de las operaciones que hemos visto, el
producto cruz no es conmutativo. Esto tiene sentido si pensamos en
la regla de la mano derecha.
La propiedad iv. se deduce directamente de la definición del producto
cruz. Tenemos
Entonces, por propiedad i., . Recuerda que el producto
escalar de un vector y el vector cero es el escalar 0, mientras que el
producto cruz de un vector con el vector cero es el vector .
Propiedad vi. se parece a la propiedad asociativa, pero ten en cuenta
el cambio en las operaciones:
u× v = ⟨u ,u ,u ⟩ × ⟨v , v , v ⟩1 2 3 1 2 3
= ⟨u v −u v , −u v + u v ,u v −u v ⟩2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
= −⟨u v −u v , −u v + u v ,u v −u v ⟩3 2 2 3 3 1 1 3 2 1 1 2
= −⟨v , v , v ⟩ × ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 1 2 3
= −(v × u)
u× 0 = ⟨u ⋅ 0−u ⋅ 0,−(u ⋅ 0−u ⋅ 0),u ⋅ 0−u ⋅ 0⟩2 3 2 3 1 2
= ⟨0, 0, 0⟩ = 0
0× u = 0
0
u ⋅ (v ×w) = u ⋅ ⟨v w −v w , −v w + v w , v w −v w ⟩2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
= u (v w −v w ) + u (−v w + v w ) + u (v w −v w )1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1
= u v w −u v w −u v w + u v w + u v w −u v w1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
= (u v −u v )w + (u v −u v )w + (u v −u v )w2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
= ⟨u v −u v ,u v −u v ,u v −u v ⟩ ⋅ ⟨w ,w ,w ⟩2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3
= (u× v) ⋅w
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Uso de las propiedades del producto cruz
Usa las propiedades del producto cruz para calcular 
Hasta ahora en esta sección, nos hemos preocupado por la dirección
del vector , pero no hemos discutido su magnitud. Resulta que
hay una expresión simple para la magnitud de que involucra las
magnitudes de y , y el seno del ángulo entre ambos vectores.
TEOREMA 2.7
Magnitud del producto cruz
Sena los vectores y , y sea el ángulo entre ellos. Entonces,
Prueba
Sean y los vectores, y el ángulo
entre ellos.
Luego
(2i×
3j) × j
u× v
u× v
u v
u v θ
∥u× v∥ = ∥u∥ ⋅ ∥v∥senθ
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v = ⟨v , v , v ⟩1 2 3 θ
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Tomando raíces cuadradas y observando que para 
, tenemos el resultado deseado:
Esta definición del producto cruz nos permite visualizar o interpretar
el producto geométricamente. Está claro, por ejemplo, que el
producto cruz se define solo para vectores en tres dimensiones, no
para vectores en dos dimensiones. En dos dimensiones, es imposible
generar un vector simultáneamente ortogonal a dos vectores no
paralelos.
∥u× v∥2 = (u v −u v ) + (u v −u v ) + (u v −u v )2 3 3 2 2 3 1 1 3 2 1 2 2 1 2
= u v −2u u v v + u v + u v −2u u v v + u v2
2
3
2
2 3 2 3 3
2
2
2
3
2
1
2
1 3 1 3 1
2
3
2
+ u v −2u u v v + u v1
2
2
2
1 2 1 2 2
2
1
2
= u v + u v + u v + u v + u v + u v + u v1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1
2
+ u v + u v −(u v + u v + u v + 2u u v v3
2
2
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1 2 1 2
+ 2u u v v + 2u u v v )1 3 1 3 2 3 2 3
= (u + u + u )(v + v + v )−(u v + u v + u v )1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1 1 2 2 3 3
2
= ∥u∥ ∥v∥ −(u ⋅ v)2 2 2
= ∥u∥ ∥v∥ −∥u∥ ∥v∥ −cos θ2 2 2 2 2
= ∥u∥ ∥v∥ (1 − cos θ)2 2 2
= ∥u∥ ∥v∥ (sen θ)2 2 2
=sen θ2 senθ
0 ≤ θ ≤ 180o
∥u× v∥ = ∥u∥ ⋅ ∥v∥senθ
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