Calculo_Vectorial-76

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Cálculo del producto cruz
Usa las propiedades del producto cruz para encontrar la
magnitud del producto cruz de y .
2.5.2 Determinantes y el producto cruz
Usar la ecuación 2.9 para encontrar el producto cruz de dos vectores
es sencillo y presenta el producto cruz en la forma de componente. La
fórmula, sin embargo, es complicada y difícil de recordar.
Afortunadamente, tenemos una alternativa. Podemos calcular el
producto cruz de dos vectores usando la notación determinante.
Un determinante 2 2 se define por
Por ejemplo
Un determinante 3 3 se define en términos de determinantes 2 2
de la siguiente manera:
u = ⟨0, 4, 0⟩ v = ⟨0, 0,−3⟩
×
=
∣
∣
∣
∣a1
b1
a2
b2 ∣
∣
∣
∣
a b −b a1 2 1 2
=
∣
∣
∣
∣3
5
−2
1 ∣
∣
∣
∣
3(1)−5(−2) = 3 + 10 = 13
× ×
224
/
La ecuación 2.10 se conoce como la expansión del determinante a lo
largo de la primera fila. Observa que los multiplicadores de cada uno
de los determinantes 2 2 en el lado derecho de esta expresión son
las entradas en la primera fila del determinante 3 3. Además, cada
uno de los determinantes 2 2 contiene las entradas del
determinante 3 3 que quedarían si se tacharan la fila y la columna
que contiene el multiplicador. Por lo tanto, para el primer término a la
derecha, es el multiplicador, y el determinante 2 2 contiene las
entradas que quedan si se tachan la primera fila y la primera columna
del determinante 3 3. Del mismo modo, para el segundo término, el
multiplicador es , y el determinante 2 2 contiene las entradas
que quedan si se tachan la primera fila y la segunda columna del
determinante 3 3. Observa, sin embargo, que el coeficiente del
segundo término es negativo. El tercer término se puede calcular de
manera similar.
Uso de la expansión a lo largo de la primerra
fila para calcular un determinante 3 3
Evaluar el determinante 
=
∣∣
∣∣
∣
∣a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3 ∣∣
∣∣
∣
∣
a −1
∣
∣∣
∣b2
c2
b3
c3 ∣
∣∣
∣
a +2
∣
∣∣
∣b1
c1
b3
c3 ∣
∣∣
∣
a3
∣
∣∣
∣b1
c1
b2
c2 ∣
∣∣
∣
(2.10)
×
×
×
×
a1 ×
×
a2 ×
×
×
∣
∣
∣
∣
∣
∣ 2
−1
−2
5
1
3
−1
3
4 ∣
∣
∣
∣
∣
∣
225
/
Técnicamente, los determinantes se definen solo en términos de
matrices de números reales. Sin embargo, la notación determinante
proporciona un dispositivo mnemónico útil para la fórmula del
producto cruz.
Regla: Producto cruz calculado por un determinante
Sean y vectores. Entonces el
producto cruz viene dado por
Usando la notación determinante para
encontrar el producto cruz
Sean y . Encuentra .
2.5.3 Usando el producto cruz
El producto cruz es muy útil para varios tipos de cálculos, que
incluyen encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados,
calcular áreas de triángulos y paralelogramos, e incluso determinar el
volumen de la forma geométrica tridimensional hecha de
paralelogramos conocidos como paralelepípedos.
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v = ⟨v , v , v ⟩1 2 3
u× v
u× v = =
∣
∣
∣
∣
∣
∣ i
u1
v1
j
u2
v2
k
u3
v3 ∣
∣
∣
∣
∣
∣
i−
∣
∣
∣
∣u2
v2
u3
v3 ∣
∣
∣
∣
j+
∣
∣
∣
∣u1
v1
u3
v3 ∣
∣
∣
∣
k
∣
∣
∣
∣u1
v1
u2
v2 ∣
∣
∣
∣
p = ⟨−1, 2, 5⟩ q = ⟨4, 0,−3⟩ p× q
226