Calculo_Vectorial-78

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DEFINICIÓN
El producto triple escalar de los vectores y es
TEOREMA 2.9
Cálculo del producto triple escalar
El producto triple escalar de los vectores 
, y es el
determinante de la matriz 3 3 formada por los componentes
de los vectores:
Prueba
u,v w
u ⋅ (v ×w)
u = u i+1 u j+2
u k,v =3 v i+1 v j+2 v k3 w = w i+1 w j+2 w k3
×
u ⋅ (v ×w) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3∣
∣
∣
∣
∣
∣
u ⋅ (v ×w) = ⟨u ,u ,u ⟩ ⋅ ⟨v w −v w , −v w + v w , v w −v w ⟩1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
= u (v w −v w ) + u (−v w + v w ) + u (v w −v w )1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1
= u (v w −v w )−u (v w −v w ) + u (v w −v w )1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3∣
∣
∣
∣
∣
∣
230
/
Cálculo del producto triple escalar
Sean y . Calcula
el producto triple escalar 
Cuando creamos una matriz a partir de tres vectores, debemos tener
cuidado con el orden en que los enumeramos. Si los enumeramos en
una matriz en un orden y luego reorganizamos las filas, el valor
absoluto del determinante permanece sin cambios. Sin embargo,
cada vez que dos filas cambian de lugar, el determinante cambia de
signo:
Verificar este hecho es sencillo, pero bastante desordenado.
Echemos un vistazo a esto con un ejemplo:
u = ⟨1, 3, 5⟩,v = ⟨2,−1, 0⟩ w = ⟨−3, 0,−1⟩
u ⋅ (v ×w)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3 ∣
∣
∣
∣
∣
∣
d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣b1
a1
c1
b2
a2
c2
b3
a3
c3 ∣
∣
∣
∣
∣
∣
−d
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣b1
c1
a1
b2
c2
a2
b3
c3
a3∣
∣
∣
∣
∣
∣
d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣c1
b1
a1
c2
b2
a2
c3
b3
a3∣
∣
∣
∣
∣
∣
−d
∣
∣
∣
∣
∣
∣ 1
−2
4
2
0
1
1
3
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
= − 2 +
∣
∣
∣
∣0
1
3
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣−2
4
3
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣−2
4
0
1∣
∣
∣
∣
= (0−3)−2(2−12) + (−2−0) = −3 + 20−2 = 15
231
/
Cambiando las dos filas superiores tenemos
Reorganizar los vectores en los productos triples es equivalente a
reordenar las filas en la matriz del determinante. Sean 
, y .
Aplicando el cálculo de un producto triple escalar, tenemos
Podemos obtener el determinante para calcular 
cambiando las dos filas inferiores de . Por lo tanto,
Siguiendo este razonamiento y explorando las diferentes formas en
que podemos intercambiar variables en el producto triple escalar, se
obtienen las siguientes identidades:
∣
∣
∣
∣
∣
∣−2
1
4
0
2
1
3
1
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2 + 3 + 3
∣
∣
∣
∣2
1
1
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣1
4
2
−1∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣1
4
2
1∣
∣
∣
∣
= −2(−2−1) + 3(1−8) = 6−21 = −15
u = u i+1
u j+2 u k,v =3 v i+1 v j+2 v k3 w = w i+1 w j+2 w k3
u ⋅ (v ×w) =  y 
∣
∣
∣
∣
∣
∣u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3∣
∣
∣
∣
∣
∣
u ⋅ (w × v) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣u1
w1
v1
u2
w2
v2
u3
w3
v3 ∣
∣
∣
∣
∣
∣
u ⋅ (w × v)
u ⋅ (v ×w)
u ⋅ (v ×w) = −u ⋅ (w × v)
u ⋅ (v ×w) = −u ⋅ (w × v)
u ⋅ (v ×w) = v ⋅ (w × u) = w ⋅ (u× v)
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