Calculo_Vectorial-79

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Sean y dos vectores en posición estándar. Si y no son
múltiplos escalares entre sí, entonces estos vectores forman lados
adyacentes de un paralelogramo. Vimos que el área de este
paralelogramo es . Ahora supongamos que agregamos un
tercer vector que no se encuentra en el mismo plano que y 
pero que aún comparte el mismo punto inicial. Luego, estos vectores
forman tres bordes de un paralelepípedo, un prisma tridimensional
con seis caras que son cada uno paralelogramos, como se muestra en
la figura 2.59. El volumen de este prisma es el producto de la altura de
la figura y el área de su base. El producto triple escalar de , y 
proporciona un método simple para calcular el volumen del
paralelepípedo definido por estos vectores.
TEOREMA 2.10
Volumen de un paralelepípedo
El volumen de un paralelepípedo con bordes adyacentes dados
por los vectores , y es el valor absoluto del producto
escalar triple:
Ver figura 2.59
Observa que, como su nombre lo indica, el producto triple escalar
produce un escalar. La fórmula de volumen que se acaba de presentar
utiliza el valor absoluto de una cantidad escalar.
u v u v
∥u× v∥
w u v
u v w
u v w
V = ∣u ⋅ (v ×w)∣
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/259.png
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/259.png
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Figura 2.59. La altura del paralelepípedo viene dada por .
Prueba
El área de la base del paralelepípedo viene dada por . La
altura de la figura viene dada por . El volumen del
paralelepípedo es el producto de la altura y el área de la base, por lo
que tenemos
Cálculo del volumen de un paralelepípedo
Sean y .
Encuentra el volumen del paralelepípedo con bordes
adyacentes y (Figura 2.60).
∥proy u∥v×w
∥v ×w∥
∥proy u∥v×w
V = ∥proy u∥∥v ×wu∥v×w
= ∥v ×w∥
∣
∣
∣
∣
∥v ×w∥
u ⋅ (v ×w)
∣
∣
∣
∣
= ∣u ⋅ (v ×w)∣
u = ⟨−1,−2, 1⟩,v = ⟨4, 3, 2⟩ w = ⟨0,−5,−2⟩
u,v w
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/260.png
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Figura 2.60. Paralelepípedo con bordes adyacentes y 
En la página siguiente, puedes interactuar con una escena de
GeoGebra, diseñada por Juan Carlos Ponce Campuzano, en la que
puedes cambiar los valores del los vectores y moviendo sus
puntos finales en la ventana tridimensional.
Interactúa con la escena en una pantalla ampliada (clic en la esquina
superior derecha).
u,v w
u,v w
235
https://www.geogebra.org/m/kb2admvw