Calculo_Vectorial-85

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242. Un panel solar está montado en el techo de una casa. El panel
puede considerarse posicionado en los puntos de coordenadas (en
metros) y (ver la
siguiente figura).
a. Encuentra el vector perpendicular a la
superficie de los paneles solares. Expresa la respuesta usando
vectores unitarios estándar.
b. Supón que el vector unitario apunta
hacia el Sol en un momento particular del día y el flujo de
energía solar es (en vatios por metro cuadrado 
). Encuentra la cantidad predicha de energía eléctrica
que puede producir el panel, que viene dada por el producto
escalar de los vectores y (expresado en vatios).
c. Determina el ángulo de elevación del Sol sobre el panel solar.
Expresa la respuesta en grados redondeados al número
entero más cercano (Sugerencia: el ángulo entre los vectores 
 y y el ángulo de elevación son complementarios).
A(8, 0, 0),B(8, 18, 0),C(0, 18, 8) D(0, 0, 8)
n = ×AB AD
s = i+
3
1 j+
3
1 k
3
1
F = 900s
[W/m ]2
F n
n s
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2.6 Ecuaciones de rectas y planos en el espacio
Por ahora, estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que
describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación
para una recta, debemos conocer dos puntos en la recta, o debemos
conocer la dirección de la recta y al menos un punto a través del cual
pasa la recta. En dos dimensiones, usamos el concepto de pendiente
para describir la orientación o dirección de una recta. En tres
dimensiones, describimos la dirección de una recta usando un vector
paralelo a la recta. En esta sección, examinamos cómo usar
ecuaciones para describir rectas y planos en el espacio.
2.6.1 Ecuaciones para una recta en el espacio
Primero exploremos lo que significa que dos vectores sean paralelos.
Recuerda que los vectores paralelos deben tener la misma dirección
o direcciones opuestas. Si dos vectores distintos de cero, y , son
paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, , tal que . Si 
 y tienen la misma dirección, simplemente elige . Si y 
tienen direcciones opuestas, elige . Tenga en cuenta que lo
contrario se mantiene también. Si para algún escalar ,
entonces y tienen la misma dirección o direcciones
opuestas , entonces y son paralelas. Por lo tanto, dos
vectores distintos de cero y son paralelos si y solo si para
algún escalar. Por convención, el vector cero se considera
paralelo a todos los vectores.
Como en dos dimensiones, podemos describir una recta en el espacio
usando un punto en la recta y la dirección de la recta, o un vector
paralelo, que llamamos el vector de dirección (Figura 2.63). Sea una
recta en el espacio que pasa por el punto .
u v
k u = kv
u v k = ∥v∥
∥u∥ u v
k = − ∥v∥
∥u∥
u = kv k
u v (k > 0)
(k < 0) u v
u v u = kv
k 0
L
P (x , y , z )0 0 0
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Sea un vector paralelo a . Luego, para cualquier punto
en la recta , es paralela a . Por lo tanto, como
acabamos de discutir, hay un escalar, , tal que , que da
Figura 2.63. El vector es el vector de dirección para .
Usando operaciones vectoriales, podemos reescribir la ecuación 2.11
como
v = ⟨a, b, c⟩ L
Q(x, y, z) PQ v
t =PQ tv
PQ
⟨x−x , y−y , z−z ⟩0 0 0
⟨x−x , y−y , z−z00 0 ⟩
= tv
= t⟨a, b, c⟩
= ⟨ta, tb, tc⟩
(2.11)
v PQ
⟨x−x , y−y , z−z ⟩0 0 0
⟨x, y, z⟩ − ⟨x , y , z ⟩0 0 0
⟨x, y, z⟩
= ⟨ta, tb, tc⟩
= t⟨a, b, c⟩
= ⟨x , y , z ⟩ + t⟨a, b, c⟩0 0 0
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