Calculo_Vectorial-86

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Configurando y , ahora tenemos la
ecuación vectorial de una recta:
La ecuación 2.11 muestra que las siguientes ecuaciones son
simultáneamente verdaderas: y .
Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para las variables , y 
, obtenemos un conjunto de ecuaciones en las que cada variable se
define en términos del parámetro y que, juntas, describen la recta.
Este conjunto de tres ecuaciones forma un conjunto de ecuaciones
paramétricas de una recta:
Si resolvemos cada una de las ecuaciones para asumiendo que y 
 no son cero, obtenemos una descripción diferente de la misma
recta:
Como cada expresión es igual a , todas tienen el mismo valor.
Podemos establecerlos iguales entre sí para crear ecuaciones
simétricas de una recta:
Resumimos los resultados en el siguiente teorema.
r = ⟨x, y, z⟩ r =0 ⟨x , y, z ⟩0 0
r = r +0 tv (2.12)
x−x =0 ta, y−y =0 tb z−z =0 tc
x, y
z
t
x = x +0 ta y = y +0 tb z = z +0 tc
t a, b
c
=
a
x− x0
t =
b
y − y0
t =
c
z − z0
t
t
=
a
x− x0 =
b
y − y0
c
z − z0
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TEOREMA 2.11
Ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta
Las siguientes ecuaciones paramétricas pueden describir una
recta paralela al vector y que pasa por el punto 
:
Si las constantes y no son todas cero, entonces puede
describirse mediante la ecuación simétrica de la recta:
Las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas. El uso de un
vector paralelo diferente o un punto diferente en la recta conduce a
una representación equivalente diferente. Cada conjunto de
ecuaciones paramétricas conduce a un conjunto relacionado de
ecuaciones simétricas, por lo que se deduce que una ecuación
simétrica de una recta tampoco es única.
Ecuaciones de una recta en el espacio
Encuentra las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta
que pasa por los puntos y 
L v = ⟨a, b, c⟩
P (x , y , z )0 0 0
x = x +0 ta, y = y +0 tb, y z = z +0 tc (2.13)
a, b c L
=
a
x− x0 =
b
y − y0
c
z − z0 (2.14)
(1, 4,−2) (−3, 5, 0)
255
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En la siguiente escena interactiva, puedes observar la recta que pasa
por los puntos del ejercicio anterior. Puedes, además, modificar las
coordenadas de los puntos y observar cómo el interactivo calcula las
ecuaciones de la recta. Te puede servir, también, para verificar los
resultados de algunos ejercicios propuestos al final de este apartado.
A veces no queremos la ecuación de una recta completa, solo un
segmento de recta. En este caso, limitamos los valores de nuestro
parámetro .t
256
Juan Rivera
Sello