Calculo_Vectorial-88

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Al construir una casa, por ejemplo, los constructores deben
considerar los requisitos de "retroceso", cuando las estructuras o los
accesorios deben estar a una cierta distancia de la recta de la
propiedad. Los viajes aéreos ofrecen otro ejemplo. Las aerolíneas
están preocupadas por las distancias entre las áreas pobladas y las
rutas de vuelo propuestas.
Sea una recta en el plano y sea cualquier punto que no esté en la
recta. Luego, definimos la distancia de a como la longitud del
segmento de recta , donde es un punto en tal que es
perpendicular a (Figura 2.64).
Figura 2.64. La distancia desde el punto hasta la recta es la longitud
de .
Cuando buscamos la distancia entre una recta y un punto en el
espacio, todavía se aplica la figura 2.64. Definimos la distancia como
la longitud del segmento de recta perpendicular que conecta el punto
con la recta. En el espacio, sin embargo, no hay una manera clara de
saber qué punto de la recta crea un segmento de recta tan
perpendicular, por lo que seleccionamos un punto arbitrario en la
recta y utilizamos las propiedades de los vectores para calcular la
distancia.
L M
d M L
MP P L MP
L
M L
MP
260
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Por lo tanto, sea un punto arbitrario en la recta y sea un vector
de dirección para (Figura 2.65).
Figura 2.65. Los vectores y forman dos lados de un paralelogramo
con base y altura , que es la distancia entre una recta y un punto en
el espacio.
Los vectores y forman dos lados de un paralelogramo con área
. Usando una fórmula de geometría, el área de este
paralelogramo también se puede calcular como el producto de su
base y altura:
Podemos usar esta fórmula para encontrar una fórmula general para
la distancia entre una recta en el espacio y cualquier punto que no
esté en la recta.
P L v
L
PM v
∥v∥ d
PM v
×
∥
∥
∥
∥
PM v
∥
∥
∥
∥
×
∥
∥
∥
∥
PM v =
∥
∥
∥
∥
∥v∥ ⋅ d
261
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TEOREMA 2.12
Distancia de un punto a una recta
Sea una recta en el espacio que pase por el punto con el
vector de dirección . Si es cualquier punto que no esté en ,
entonces la distancia de a es
Cálculo de la distancia de un punto a una
recta
Encuentra la distancia entre el punto y la recta 
.
2.6.3 Relaciones entre rectas
Dadas dos rectas en el plano bidimensional, las rectas son iguales, son
paralelas pero no iguales, o se cortan en un solo punto. En tres
dimensiones, es posible un cuarto caso. Si dos rectas en el espacio no
son paralelas, pero no se intersectan, entonces se dice que las rectas
son rectas oblicuas (Figura 2.67).
L P
v M L
M L
d =
∥v∥
× v
∥
∥
∥
∥
PM
∥
∥
∥
∥
M = (1, 1, 3)
=4
x−3 =2
y+1 z−3
262
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