Calculo_Vectorial-93

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Encontrar el ángulo entre dos planos
Determina si cada par de planos es paralelo, ortogonal o
ninguno. Si los planos se intersecan, pero no son ortogonales,
encuentra la medida del ángulo entre ellos. Da la respuesta en
radianes y redondea a dos decimales.
a. y 
b. y 
c. y 
Cuando descubrimos que dos planos son paralelos, es posible que
necesitemos encontrar la distancia entre ellos. Para encontrar esta
distancia, simplemente seleccionamos un punto en uno de los planos.
La distancia desde este punto al otro plano es la distancia entre los
planos.
Anteriormente, presentamos la fórmula para calcular esta distancia
en la ecuación 2.19:
donde es un punto en el plano, es un punto que no está en el
plano y es el vector normal que pasa por el punto . Considera la
distancia desde el punto al plano .
x+ 2y−z = 8 2x+ 4y−2z = 10
2x−3y + 2z = 3 6x+ 2y−3z = 1
x+ y + z = 4 x−3y + 5z = 1
d =
∥n∥
⋅ nQP
Q P
n Q
(x , y , z )0 0 0 ax+ by + cz + k = 0
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Sea cualquier punto del plano. Sustituyendo en la fórmula
se obtiene
Establecemos este resultado formalmente en el siguiente teorema.
TEOREMA 2.14
Distancia desde un punto a un plano
Sea un punto. La distancia de al plano 
 viene dada por
Encontrar la distancia entre planos
paralelos
Encuentra la distancia entre los dos planos paralelos dada por 
 y .
(x , y , z )1 1 1
d =
a + b + c2 2 2
∣a(x −x ) + b(y −y ) + c(z −z )∣0 1 0 1 0 1
=
a + b + c2 2 2
∣ax + by + cz + k∣0 0 0
P (x , y , z )0 0 0 P ax+
by + cz + k = 0
d =
a + b + c2 2 2
∣ax + by + cz + k∣0 0 0
2x+ y−z = 2 2x+ y−z = 8
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Proyecto estudiantil
Distancia entre dos rectas oblicuas
Figura 2.72. Las instalaciones de tuberías industriales a menudo cuentan
con tuberías que funcionan en diferentes direcciones. ¿Cómo podemos
encontrar la distancia entre dos tubos oblicuos?
Encontrar la distancia desde un punto a una recta o desde una recta a
un plano parece un procedimiento bastante abstracto. Pero, si las
rectas representan tuberías en una planta química o tubos en una
refinería de petróleo o carreteras en una intersección de autopistas,
confirmar que la distancia entre ellas cumple con las especificaciones
puede ser importante y difícil de medir.
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