Calculo_Vectorial-94

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Una forma es modelar las dos tuberías como rectas, utilizando las
técnicas de este capítulo, y luego calcular la distancia entre ellas. El
cálculo implica formar vectores a lo largo de las direcciones de las
rectas y usar tanto el producto cruz como el producto punto.
Las formas simétricas de dos rectas, y , son
Debes desarrollar una fórmula para la distancia entre estas dos
rectas, en términos de los valores ; y 
. La distancia entre dos rectas generalmente se toma
como la distancia mínima, por lo que esta es la longitud de un
segmento de recta o la longitud de un vector que es perpendicular a
ambas rectas e intersecta ambas rectas.
1. Primero, escribe dos vectores, y , que se encuentran a lo
largo de y , respectivamente.
2. Encuentra el producto cruz de estos dos vectores y llámalo .
Este vector es perpendicular a y , y por lo tanto es
perpendicular a ambas rectas.
3. Desde el vector , formar un vector unitario en la misma
dirección.
4. Usa ecuaciones simétricas para encontrar un vector
conveniente que se encuentra entre dos puntos, uno en
cada recta. Nuevamente, esto se puede hacer directamente
desde las ecuaciones simétricas.
L1 L2
L :1 =
a1
x− x1 =
b1
y − y1
c1
z − z1
L :2 =
a2
x− x2 =
b2
y − y2
c2
z − z2
d
a , b , c ; a , b , c ;x , y , z1 1 1 2 2 2 1 1 1
x , y , z −2 2 2
v1 v2
L1 L2
N
v1 v2
N n
v12
278
/
5. El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la
proyección de un vector sobre el otro, es decir, 
, donde es el ángulo entre los vectores. Usando
el producto punto, encuentra la proyección del vector 
encontrado en el paso 4 sobre el vector unitario encontrado
en el paso 3. Esta proyección es perpendicular a ambas rectas,
y por lo tanto su longitud debe ser la distancia perpendicular 
entre ellas. Ten en cuenta que el valor de puede ser negativo,
dependiendo de su elección del vector o el orden del
producto cruz, así que usa signos de valor absoluto alrededor
del numerador.
6. Verifica que tu fórmula proporciona la distancia correcta de 
 entre las siguientes dos rectas:
7. ¿Es válida tu expresión general cuando las rectas son
paralelas? ¿Si no, porque no? (Sugerencia: ¿Qué sabes sobre el
valor del producto cruz de dos vectores paralelos? ¿Dónde
aparecería ese resultado en tu expresión para ?)
8. Demuestra que tu expresión para la distancia es cero cuando
las rectas se cortan o intersectan. Recuerda que dos rectas se
intersectan si no son paralelas y están en el mismo plano. Por
lo tanto, considera la dirección de y . ¿Cuál es el
resultado de su producto punto?
9. Considera la siguiente aplicación. Los ingenieros de una
refinería han determinado que necesitan instalar puntales de
soporte entre muchas de las tuberías de gas para reducir las
vibraciones dañinas.
A ⋅B =
∥A∥∥b∥cosθ θ
v12
n
d
d
v12
∣−25∣/ ≈198 1.78
L :1 =2
x− 5
=
4
y − 3
3
z − 1
L :2 =3
x− 6
=
5
y − 1
7
z
d
n v12
279
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Para minimizar el costo, planean instalar estos puntales en los puntos
más cercanos entre tuberías inclinadas adyacentes. Debido a que
tienen esquemas detallados de la estructura, pueden determinar las
longitudes correctas de los puntales necesarios y, por lo tanto,
fabricarlos y distribuirlos a los equipos de instalación sin perder un
tiempo valioso haciendo mediciones.
La estructura del marco rectangular tiene las dimensiones 
 (altura, ancho y profundidad, medidas en metros). Un
sector tiene una tubería que ingresa en la esquina inferior de la
unidad de marco estándar y sale en la esquina diametralmente
opuesta (la más alejada en la parte superior); llama a esto . Un
segundo tubo entra y sale en las dos esquinas inferiores opuestas
diferentes; llama a esto (Figura 2.74).
Figura 2.72. Dos tubos cruzan a través de una unidad de marco estándar.
4.0 ×
15.0 × 10.0
L1
L2
280
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