Sistema de ecuaciones lineales

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ISFD	Nro	29 - Merlo. Química Industrial, Procesos y Operaciones	
Sistemas de ecuaciones lineales 
 
Llamamos combinación lineal de un conjunto de elementos A,B,C,... etc al que se obtiene haciendo: a.A+b.B+g.C siendo 
aÎR, bÎR, gÎR , es decir, a, b y g toman cualquier valor. 
 
Podemos combinar linealmente ecuaciones, por ejemplo: 
Sean: A: x-y+z=2 B: x+y=1 C: x+y-z=0 
Una combinación cualquiera sería a(x-y+z)+b(x+y)+g(x+y-z)=2a+1b+0g 
supongamos que a=1 b=2 y g=-2 resulta: 
(x-y+z)+2(x+y)-2(x+y-z)=2+2-0=4 o sea x-y+z+2x+2y-2x+2y-2z=4 Þ x+3y-z=4 esta ecuación es combinación de las otras 3. 
 
El caso más simple de una combinación lineal es si una ecuación se obtiene a partir de otra simplemente multiplicándola 
m.a.m por un factor cualquiera k, resultando: ax+by=c pasa a ser akx+bky=ck. 
También es un caso sencillo de combinación lineal de ecuaciones cuando dos de ellas se suman o se restan m.a.m. 
Decimos que dos o más ecuaciones son independientes, cuando ninguna de ellas puede obtenerse como combinación lineal 
de las restantes. 
 
Un sistema de n ecuaciones con m incógnitas tiene una solución única si el número de ecuaciones independientes j ³ m lo 
que comúnmente se dice, “deben tenerse tantas ecuaciones como incógnitas”, pero ojo! dichas ecuaciones deben ser 
independientes, esto es, ninguna podrá obtenerse de las restantes por ninguna combinación lineal. 
Aclaremos esto con ejemplos: 
Ejemplos: 
Si tenemos x+y=2 acá m=2(número de incógnitas) y j=1 (número de ecuaciones independientes), luego no se cumple la 
condición para que tenga solución única. En efecto las soluciones de este sistema son infinitas, por ejemplo: x=1 y=1 o bien 
x=0 y=2 o bien x=-1 y=3 o bien x=0,5 y=1,5, etc, etc, en general ponemos x=k y=2-k siendo k cualquier número real. 
 
Veamos el caso x+y=2 y además x=y acá m=2 pero ahora n=2 (hay 2 ecuaciones), żson independientes? es decir, żvale j=2? 
Si, porque por ni la segunda ecuación puede obtenerse de la primera por ningún número ni viceversa, luego la solución es 
única x=1 y=1. 
 
Por último si fueran las ecuaciones x+y=2 y la otra -2x-2y=-4 vemos que m=2 n=2 pero żson independientes? No, porque es 
claro que la segunda se obtiene multiplicando la primera por -2, o la primera de la segunda dividiendo por -2. Quiere decir 
que solo hay una ecuación independiente, por caso tomemos la primera, x+y=2 luego j < 2 y estamos en el mismo caso del 
principio, el sistema tiene infinitas soluciones. 
 
Todo lo explicado vale para cualquier sistema de ecuaciones lineales, y veremos un método general para encontrar las 
soluciones y para eliminar automáticamente las ecuaciones “que sobran”, o sea, las ecuaciones dependientes. 
 
Atención: si una ecuación de un conjunto se puede obtener como combinación lineal de las restantes, entonces, cualquiera 
de ellas puede escribirse como combinación de las otras. O sea, si A,B,C son dependientes, es porque A puede obtenerse 
combinando B y C, o bien B combinando A y C o bien C combinando A y B. 
Existen sistemas incompatibles, por ejemplo x+y=2 y x+y=0 este sistema no tiene solución alguna, porque no hay valores 
para x e y que satisfagan ambas a la vez. 
Dado un sistema simple de 2x2 (2 ecuaciones con 2 incógnitas) se puede averiguar si tiene solución única o no. 
ax+by=c 
a'x+b'y=c' 
se forma la matriz de los coeficientes de las incógnitas {aij} y se calcula su determinante que se llama en casi toda la bibliografía 
D como se muestra a continuación: 
 
= = =det
a b
a b
a b
a b
ab a b 
 
Luego resulta: 
I. El sistema tiene solución única si D¹0 
II. El sistema no tiene solución única si D=0 
Lo cual puede ser porque es incompatible (sin solución) con infinitas soluciones. 
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 Un sistema de ecuaciones se llama homogéneo si todos los coeficientes independientes son nulos, o sea, si todas sus 
ecuaciones son de la forma 
ax+by=0. 
 Los sistemas homogéneos, siempre tienen como solución x=0 y=0, esta se llama solución trivial, pero a veces tienen otras 
soluciones además de esta, por ejemplo si el sistema es la única ecuación x+y=0 además de la solución trivial tiene otras 
infinitas, por ejemplo x=1 y=-1 o bien x=2 y=-2, etc. etc. o sea un sistema homogéneo tiene solamente una solución esta es la 
trivial. 
 
Métodos clásicos 
 
 Los sistemas de ecuaciones lineales se presentan en muchos problemas de ingeniería y de ciencia. Consideraremos las 
técnicas para resolver el sistema lineal siguiente: 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
!
!
" " " "
!
 
 
donde para las n ecuaciones se conocen las aij para cada i, j=1,2,...n, y las bi, para cada i=1,2...,n y con n incógnitas x1, x2,...,xn. 
 
• Método de Gauss. 
 
 El problema es encontrar el valor de las incógnitas x1, x2,...,xn y para ello aplicaremos la eliminación gaussiana1. 
 Para resolver un sistema de ecuaciones lineales como el anterior están permitidas tres operaciones en las ecuaciones: 
1. Las ecuaciones pueden multiplicarse por cualquier número real (no nulo) y se puede usar la ecuación resultante en lugar 
de la original. 
2. Se puede sumar a una ecuación un múltiplo de otra. 
3. Las ecuaciones pueden intercambiarse (permutarse). 
 
Por medio de una secuencia de las operaciones anteriores, un sistema de ecuaciones lineales puede transformarse en otro más fácil de resolver 
y que tiene el mismo conjunto de soluciones. 
 
Veamos un ejemplo para ver como se resuelve un sistema de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana o método de 
Gauss, sea el siguiente sistema: 
2 + 6x3x x
x x x
x x x
1 2
1 2 3
1 2 3
4 2
2 3 1
3 3
+ =
+ =
+ =
 
 
El primer paso es usar la primera ecuación para eliminar la incógnita x1 de las restantes ecuaciones. Haremos: 
 
• dividir la primer ecuación por 2 (multiplicarla por ½). 
 
 + 3x3x x
x x x
x x x
1 2
1 2 3
1 2 3
2 1
2 3 1
3 3
+ =
+ =
+ =
 
 
El segundo paso consiste en: 
• sustraer de la segunda ecuación la primera ([2] - [1]). (i) 
• sustraer de la tercera ecuación la primera multiplicada por 3 ([3] - [1].3) 
 
 
1se	reconoce	en	Gauss	al	más	grande	de	todos	los	matemáticos,	claro	que	no	por	esta	invención	,	que	probablemente	le	tomó	diez	
minutos.	Irónicamente	,	de	todas	las	ideas	que	llevan	su	nombre,	esta	es	la	que	se	usa	con	más	frecuencia.	
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 + 3x
 
 
3x x
x
x x
1 2
2
2 3
2 1
4 0
5 10 1
+ =
=
=
 
 
El tercer paso es ignorar la primer ecuación y aplicamos el mismo procedimiento a las ecuaciones restantes. Eliminaremos la 
incógnita x2 de las restantes. Para ello: 
 
• dividiremos la segunda ecuación por -4. 
 
 + 3x
 
 
3x x
x
x x
1 2
2
2 3
2 1
0
5 10 1
+ =
=
=
 
El cuarto paso consiste en 
 
• sustraer de la tercera ecuación, la segunda multiplicada por -5 ([3]- [2].(-5)) 
 
 + 3x
 
 
3x x
x
x
1 2
2
3
2 1
0
10 1
+ =
=
=
 
Finalmente 
• dividimos la tercer ecuación por 3. 
 
 + 3x
 
 
3x x
x
x
1 2
2
3
2 1
0
1 10
+ =
=
=
 
 
El 2 que multiplica la primera incógnita x1 en la primera ecuación se llama pivote en este primer paso de eliminación. En el 
paso tercero el -4 es el pivote 
 
Hay un orden evidente para resolver el sistema. La última ecuación da x3=1/10; sustituyendo este valor en las anteriores 
resulta que x2=0 y x1=7/10. Este proceso para encontrar las incógnitas se llama sustitución regresiva. 
 
Todo lo anterior se puede trabajar matricialmente (que es como conviene hacerlo). Primero vamos a escribir el siguiente 
sistema de ecuaciones lineales 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a xa x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
!
!
" " " "
!
 
 
 
en forma matricial. Usaremos una matriz de n por (n+1). Primero construimos las matrices: 
 
A
a a a
a a a
a a a
b
b
n
n
n n nn n
=
11 12 1
21 22 2
1 2
2
!
!
" " "
!
" 
 y b =
b1
 
 
y luego las combinamos para formar la siguiente matriz ampliada. 
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[ ]A
a a
a a
a an n
, b
a b
a b
 
a b
1n 1
2n 2
nn n
=
11 12
21 22
1 2
!
!
" " " "
!
 
donde se usa la línea punteada para separar los coeficientes de las incógnitas de los valores del lado derecho de las ecuaciones. 
Repetiremos la eliminación gaussiana para el mismo ejemplo citado pero esta vez en forma matricial. 
 
2 4 6 2
1 2 3 1
3 1 12 2
 
 
1 2 3 1
1 2 3 1
3 1 1 2
 
 
1 2 3 1
0 4 0 0
0 5 10 1
 
 
1 2 3 1
0 1 0 0
0 5 10 1
 
 
1 2 3 1
0 1 0 0
0 0 10 1
 
 
1 2 3 1
0 1 0 0
0 0 1 1 10
 
 
 
üEsta es la forma matricial del ejemplo. 
 
El 2 es el pivote. 
 
 
 
� üfila 1 dividida por 2. 
 
 
 
 
� üRestamos a la fila 2, la fila 1.- 
üRestamos a la fila 3, la fila 1 multiplicada por 3 
 
El -4 es el pivote. 
 
 
� üDividimos la fila 2 por -4 
 
 
 
 
 
� üRestamos a la fila 3, la fila 2 multiplicada por -5 
 
 
 
 
� üDividimos la fila 3 por -10. 
Ahora aplicamos la sustitución regresiva para hallar las 
incógnitas. 
 
• Método de Cramer. 
 Antes de describir este método repasaremos brevemente algunos conceptos de los determinantes. 
 Si en el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales 
 
a x a x b
a x a x b
11 1 12 2 1
12 1 22 2 2
+ =
+ =
 
multiplicamos la primera ecuación por a22 y la segunda por -a12 y se suman los resultados, se obtiene 
( )a a a a x b a b a11 22 21 12 1 1 22 2 12= 
La expresión ( )a a a a11 22 21 12 puede representarse mediante el siguiente símbolo 
a a
a a
a a a a
11 12
21 22
11 22 21 12= 
Este símbolo se llama determinante de segundo orden. El valor de la disposición en cuadro de n2 cantidades aij en donde i=1,...,n 
es el índice de la fila y j=1,...,n el de la columna, se escribe de la siguiente forma y se denomina determinante. Las n2 cantidades 
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aij reciben el nombre de elementos del determinante 
det( )
 
A A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
= =
11 12 1
21 22 2
1 2
!
!
" " "
!
 
Se llama menor de aij y se indica Mij al determinante de (n-1) filas y columnas que resulta de eliminar la fila i y la columna j. 
Ejemplo: 
para , el menor de es, =
a a a
a a a
a a a
a M
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
23 23
11 12
31 32
 
El cofactor Aij del elemento aij es el menor de aij con el sigo determinado por la regla ( )A Mij
i j
ij=
+1 
Ejemplo: 
( ) ( )A M M M23
2 3
23
5
23 231 1= = =
+ 
El valor de ½A½ se obtiene de las expresiones a A a Aij ij ij ij
n
j
n
=
== 1 11
 donde los elementos aij se toman de una fila o de una columna 
simple de A. 
Ejemplo: 
a a a
a a a
a a a
a A a A a A a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
31 31 32 32 33 33 31
12 13
22 23
32
11 13
21 23
33
11 12
21 22
= + + = + 
Ahora sí, estamos en condiciones de decir que el sistema de n ecuaciones lineales (con todos los bi no nulos) 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
!
!
" " " "
!
 
 
donde 
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
0
!
!
" " "
!
 
 tiene una solución dada por el método de Cramer. 
 
y donde las incógnitas se calculan así: x
B
A
x
B
A
x
B
An
n
1
1
2
2
= = =, , , ! 
donde Bk es el determinante obtenido de A, reemplazando su columna k con b1, b2,...,bn. Por lo general, esta técnica requiere 
más trabajo que el método de eliminación gaussiana. 
Ejemplo: 
5 3 3 48
2 6 3 18
8 3 2 21
5 3 3
2 6 3
8 3 2
231
48 3 3
18 6 3
21 3 2 693
231
3
5 48 3
2 18 3
8 21 2 1155
231
5 3 48
2 6 18
8 3 21 1386
231
6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3
x x x
x x x
x x x
x
x x
+ + =
+ =
+ =
= = =
= = = = =
Llamando = = , las soluciones son 
 
= 5 
,