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Nombre de la asignatura 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
 
3º semestre 
 
Clave: 
LIC. 01142315 
 
Unidad 3 
Estadística inferencial para dos poblaciones 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 2 
Índice 
 
Presentación .................................................................................................................................................................................................... 3 
Propósitos ........................................................................................................................................................................................................ 3 
Competencia a desarrollar ............................................................................................................................................................................... 4 
Dos muestras independientes .......................................................................................................................................................................... 4 
Intervalo de confianza para dos medias ....................................................................................................................................................... 5 
Varianzas conocidas ................................................................................................................................................................................. 7 
Varianzas desconocidas ........................................................................................................................................................................... 8 
Varianzas iguales ..................................................................................................................................................................................... 9 
Varianzas distintas .................................................................................................................................................................................. 14 
Prueba de hipótesis para dos proporciones ............................................................................................................................................... 17 
Cierre ............................................................................................................................................................................................................. 22 
Fuentes de consulta ...................................................................................................................................................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 3 
 
Presentación 
 
Bienvenido(a) a la última unidad de la asignatura “Estadística para la investigación en seguridad 
pública”. En esta unidad se determinarán los intervalos de confianza para la diferencia de dos 
medias poblacionales y la diferencia de dos proporciones poblacionales; asimismo, se realizarán 
pruebas de hipótesis para las dos situaciones descritas. 
 
En los intervalos de confianza para dos medias se analizan los casos en los que las varianzas son 
conocidas y cuando son desconocidas (iguales o diferentes). 
 
Propósitos 
 
Al término de esta unidad lograrás: 
 
 Comprender el procedimiento que permite determinar el intervalo de confianza en el caso de la diferencia de dos 
medias poblacionales independientes, para las distintas situaciones que se presentan según sea la varianzas de las 
dos poblaciones. 
 Aplicar la metodología que permite realizar una prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias. 
 Comprender el procedimiento sobre el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones 
poblacionales. 
 Aplicar la metodología sobre la prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones. 
 
Muestra poblacional 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 4 
Competencia a desarrollar 
 
 
 Compara dos muestras poblacionales independientes para interpretar información que oriente en la toma de 
decisiones a través de técnicas de estadística inferencial. 
 
 
Dos muestras independientes 
 
En las unidades anteriores se estudió la manera de realizar una prueba de hipótesis para una media poblacional y para una proporción 
poblacional. Ahora se mostrará la forma de realizar una estimación por intervalo y realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos 
poblaciones, y lo que interesa es la diferencia entre dos medias poblacionales o la diferencia entre dos proporciones poblacionales. 
 
Este tipo de problema es mucho más frecuente en la vida real, puesto que en muchas ocasiones lo que interesa es hacer un comparativo 
entre las medias. Por ejemplo, si se desea tomar la decisión sobre el tipo o marca de lámparas que un municipio debe comprar, se pueden 
comparar las vidas medias de cada tipo de lámpara para decidir. 
 
Si se hiciera una gran cantidad de muestreos para cada uno de los dos tipos de lámparas, se obtendrían las medias de cada una de las 
muestras y después se harían las diferencias de estas por pares. Por ejemplo, 
__
2
__
1 xx  . Puede observarse que la distribución así formada 
se comporta de manera normal, por tal razón es que resulta posible darle un tratamiento parecido a lo hecho anteriormente. 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 5 
Para hacer una inferencia acerca de la diferencia de las medias de dos poblaciones, se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 1n 
unidades de la población 1 y otra muestra aleatoria simple de tamaño 2n unidades de la población 2. A estas dos muestras que se toman 
separadas y sin que la elección de la primera afecte a la segunda, se les conoce como muestras aleatorias simples independientes. 
 
Para que los métodos descritos en las secciones siguientes sean válidos, resulta extremadamente importante asegurarse de que las 
muestras tomadas sean aleatorias simples independientes, ya que de otra manera los métodos descritos no sirven. 
 
Intervalo de confianza para dos medias 
 
Para estimar la diferencia entre dos medias poblaciones  21   se toma una muestra aleatoria simple de 1n elementos de la población 1 y 
una muestra aleatoria simple de 2n elementos de la población 2, y se calculan las dos medias muestrales: 
 Sea 
__
1x la media obtenida de la muestra aleatoria simple de tamaño 1n . 
 Sea 
__
2x la media obtenida de la muestra aleatoria simple de tamaño 2n . 
 
Si ambas poblaciones tienen distribución normal o si los tamaños de las muestras son suficientemente grandes, por el teorema del límite 
central se sabe que las distribuciones muestrales de 
__
1x y 
__
2x pueden ser aproximadas mediante una distribución normal, de manera que la 
distribución muestral de 
__
2
__
1 xx  tendrá una distribución normal, cuya media es 
__
2
__
1   y una varianza dada por 
2
2
2
1
2
12
nn

  . 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 6 
La estimación por intervalo de la diferencia entre las dos medias poblacionales es: 
 
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
121
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
1
nn
zxx
nn
zxx


 











 
 
En la fórmula puede apreciarse que será necesario conocer la varianzas de las poblaciones, es decir, 
2
1 y 
2
2 ; por esa razón se deben 
considerar dos casos: 
 
1. Cuando las varianzas son conocidas. 
2. Cuando las varianzas son desconocidas: 
 Desconocidas pero iguales. 
 Desconocidas y distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
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Varianzas conocidas 
 
A continuación se ejemplifica el método para determinar el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias cuando las varianzas 
son conocidas. 
 
Ejemplo (1) 
 
Cierto grupo de abogados tienen dos despachos representativos en casos de niños, uno en la periferia de la ciudad  1T y otro en un centro comercial 
 2T . El gerente regional ha observado que casos que se llevan a término excelente en uno, no lo son en el otro y él cree que esa situación se debe a 
ciertas diferencias entre los clientes de los dos despachos, por ejemplo, edad, educación, ingreso, etc. Para corroborar su idea, pide que se investigue 
la diferencia entre las medias de las edades de los clientes de los dos despachos. 
De acuerdo con datos de estudios anteriores sobre los clientes, se sabe que las desviaciones estándar poblacionales de cada una de las tiendas son 
años 91  y años 102  . 
 
Solución: Si se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 1n clientes de la población 1 y una muestra aleatoria simple de tamaño 2n clientes de 
la población 2, y se calculan las dos medias muestrales, los valores obtenidos son: 
 
 
1T 2T 
Tamaño de la muestra 361 n 492 n 
Media muestral años 40
__
1 x años 35
__
2 x 
 
 
Con esta información, la estimación por intervalo de 
21   con 95% de confianza se encuentra haciendo: 
 
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       
06.994.0
06.4506.45
49
100
36
81
96.13540
49
100
36
81
96.13540
21
21
21
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
121
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
1























nn
zxx
nn
zxx
 
 
El valor encontrado puede interpretarse de dos formas: 
 
1. La diferencia de las edades promedio de las poblaciones de los clientes que van a los despachos 1 y 2 oscila entre 1 y 9 años. 
2. La edad promedio de los clientes que van al despacho 1 es mayor entre 1 y 9 años que la edad promedio de los clientes que van al 
despacho 2. 
 
Varianzas desconocidas 
 
Cuando no se conocen las varianzas de las poblaciones, tanto en las estimaciones por intervalo como en las pruebas de hipótesis, se 
emplea la distribución t de Student en lugar de la distribución normal estándar; es decir, lo que debe hacerse es remplazar las z por t en la 
fórmula ya conocida: 
 
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
121
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
1
nn
zxx
nn
zxx



 











 
 
Con lo que se obtiene: 
2
2
2
1
2
1
2,
2
__
2
__
121
2
2
2
1
2
1
2,
2
__
2
__
1
2121 nn
txx
nn
txx
nnnn



 













 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
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Sin embargo, no es posible realizar las estimaciones con la fórmula anterior, pues aún se deben considerar dos situaciones que se 
resuelven de manera diferente: 
 
1. Cuando las varianzas son iguales. 
2. Cuando las varianzas son diferentes. 
 
Varianzas iguales 
 
Generalmente, cuando se estudia una población no se conocen sus parámetros y, por ello, se toman muestras para estimarlos. En algunos 
casos se llega a observar que las varianzas de dos poblaciones son muy parecidas, motivo por el que, aun siendo desconocidas, se infiere 
que son iguales y a partir de esa inferencia se estima el intervalo de confianza para la diferencia de las medias usando la siguiente 
expresión: 
 
21
2,
2
__
2
__
121
21
2,
2
__
2
__
1
1111
2121 nn
stxx
nn
stxx p
nn
p
nn














 
 
 
Por otra parte, la desviación estándar se estima haciendo: 
   
2
11
21
2
22
2
112



nn
snsn
sp 
Ejemplo (2) 
 
Un investigador privado de casos difíciles asegura que la vida media de sus asuntos excede en más de 1000 horas la vida media de los casos de uno de 
sus competidores. Para contrastar la afirmación, con un nivel de confianza del 95%, se probaron nueve casos del investigador y siete de su competidor. 
En la tabla se muestra la duración de los asuntos para ambos muestreos, en miles de horas: 
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Investigador 
privado 
66.4 61.6 60.5 59.1 63.6 61.4 62.5 64.4 60.7 
Competidor 58.2 60.4 55.2 62.0 57.3 58.7 56.1 
 
a) Calcular la media y la varianza de cada muestra. 
b) Explicar qué tipo de modelo de probabilidad sigue la diferencia de medias. 
c) Determinar el intervalo de confianza. 
 
Solución: A continuación se presentan los cálculos necesarios para dar respuesta a cada uno de los incisos. 
 
a) Para la muestra del investigador privado, se tiene: 
24.62
9
60.764.462.561.463.659.160.561.666.4__
1


x
 
 
     
     
     
03.5
19
62.24-60.762.24-64.462.24-62.5
62.24-61.462.24-63.662.24-59.1
62.24-60.562.24-61.662.24-66.4
222
222
222
2
1





s
 
 
Para la muestra del competidor: 
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27.58
7
56.158.757.362.055.260.458.2__
2


x
 
 
     
     
 
61.5
19
58.27-56.1
58.27-58.758.27-57.358.27-62.0
58.27-55.258.27-60.458.27-58.2
2
222
222
2
2




s
 
 
b) Como no se conocen las varianzas poblacionales, y al encontrar las varianzas muestrales se ve que sus valores son cercanos, se puede considerar 
que la diferencia de medias se distribuye como t de Student con 221 nn grados de libertad. 
 
Para los grados de libertad se hace: 
14221 nn 
 
c) Para determinar el intervalo de confianza, primero se debe estimar la varianza ponderada (
2
ps ). 
       
284.5
279
61.51703.5192



ps
 
 
Por tanto, la desviación estándar será: 298.2ps . 
 
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Para el intervalo de confianza se sustituyen los valores calculados en: 
21
2,
2
__
2
__
121
21
2,
2
__
2
__
1
1111
2121 nn
stxx
nn
stxx p
nn
p
nn














 
 
 
Con lo que se obtiene: 
      21
7
1
9
1
298.2145.227.5824.62   
 
Y al mismo tiempo: 
     
7
1
9
1
298.2145.227.5824.6221   
 
Por tanto: 
454.6486.1
484.297.3484.297.3
21
21




 
 
Como la diferencia de las medias poblacionales está entre 1486 horas y 6454 horas, se puede concluir que la afirmación del investigador es cierta. 
 
En la unidad 2 se vio la relación entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. En esa misma línea de ideas, puede mostrarse que la 
metodología descrita también es aplicable para el caso de dos poblaciones y la diferencia de sus medias.Ejemplo (3) 
 
Para la situación descrita en el ejemplo 2, ahora se probará la hipótesis de que la vida de los casos del investigador privado excede en más 1000 horas la 
vida media de los casos de uno de sus competidores. 
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Solución: Siguiendo los pasos descritos con anterioridad para la prueba de hipótesis: 
 
1) Parámetro medias poblacionales 
1 y 2 
2) Hipótesis nula horas 1000: 210 H 
3) Hipótesis alternativa horas 1000: 211 H 
4) Nivel de significancia 05.0 
Probabilidad del 0.95 
95% de confianza 
 
5) Estadística 2, 21 nn
t 
6) Datos horas 200,62
__
1 x , horas 240,21 s 
horas 270,58
__
2 x , horas 370,22 s 
 
7) Estandarización 
 
 
529.2
7
1
9
1
2987.2
127.582.62
0 


t 
Valor crítico 76.1t 
 
8) Decisión Rechazar 𝐻0 y aceptar 𝐻1 
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dado que 14,05.00 tt  
 
Conclusión: La vida media de los casos del investigador privado sí excede en más de 1,000 horas a la vida media de los casos del competidor. 
 
76.114,05.0 t
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho

529.20 t
 
 
 
Tal y como se esperaba, las conclusiones obtenidas con ambas metodologías son las mismas. 
 
Varianzas distintas 
 
Cuando se desconocen las varianzas y se ha monitoreado el comportamiento de las poblaciones, hay casos en los que se observa que las 
varianzas de dos poblaciones son muy diferentes, de manera que se estiman con las varianzas muestrales. A partir de esa inferencia, el 
intervalo de confianza para la diferencia de las medias se determina con: 
 
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
121
2
2
2
1
2
1
2
__
2
__
1
n
s
n
s
txx
n
s
n
s
txx 











   
 
 
 
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Los grados de libertad de t de Student se calculan haciendo: 
   
11 2
2
22
2
1
1
22
1
2
1
2
1
1
2
1











n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

 
 
Otra forma de escribir la fórmula anterior es: 
   
2
22
2
21
22
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
n
s
nn
s
n
n
s
n
s





















 
 
Ejemplo (4) 
 
Se realiza un estudio para identificar diferencias entre los ingresos de los empleados de dos juzgados; se toma una muestra aleatoria simple de 28 
empleados en el primero y otra muestra aleatoria simple e independiente de 22 empleados en el segundo. 
 
Se determina la media y la desviación estándar y se muestran los datos resumidos: 
 
 Juzgado 1 Juzgado 2 
Tamaño de la muestra 281 n 222 n 
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Media muestral 025,1$
__
1 x 910$
__
2 x 
Desviación estándar muestral 150$1 s 125$2 s 
 
Se desea estimar la diferencia entre el sueldo medio de los trabajadores del juzgado 1 y el sueldo medio de los trabajadores del juzgado 2. 
 
Solución: Primero se determinan los grados de libertad para obtener tα/2: 
 
8.47
22
125
122
1
28
150
128
1
22
125
28
150
2
2
2
2
2
22






















v 
 
Como el resultado no es un número entero, se redondea hacia el número entero inferior 47 para tener un valor t mayor y dar una estimación por 
intervalo más prudente. En la tabla de la distribución t para 47 grados de libertad, se encuentra 012.247,025.0 t . 
 
El intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre dos medias poblacionales se calcula como sigue: 
 
   
28.19371.36
7811578115
22
125
28
150
012.2115
22
125
28
150
012.2115
21
21
22
21
22






 
 
Por tanto, el sueldo medio de los empleados del juzgado 1 excede en, al menos, $36.00 el sueldo medio de los empleados del juzgado 2 y, cuando 
mucho, en $194.00. 
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Prueba de hipótesis para dos proporciones 
 
En la unidad anterior se realizaron pruebas de hipótesis cuando se deseaba tomar una decisión sobre una hipótesis en particular, ahora se 
realizará una prueba de hipótesis sobre la diferencia entre las proporciones de dos poblaciones, de manera que las tres formas de las 
pruebas de hipótesis son: 
 
 





0:
0:
211
210
ppH
ppH
 
 





0:
0:
211
210
ppH
ppH
 
 





0:
0:
211
210
ppH
ppH
 
 
Puede apreciarse que en todas las hipótesis consideradas se usa el cero como la diferencia de interés; por ejemplo, si se supone que 0H , 
considerada como igualdad, es verdadera, se tiene 021  pp , lo que equivale a decir que las proporciones poblacionales son iguales, es 
decir, 
21 pp  . 
 
La distribución muestral de la diferencia de proporciones se puede aproximar mediante una distribución binomial, que tiene una proporción 
___
p , obtenida de combinar los estimadores puntuales de las dos muestras, 
___
1p y 
___
2p . El estimador puntual de p es denominado estimador 
combinado de p , y es un promedio ponderado de 
___
1p y 
___
2p , es decir: 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 18 
21
____
22
____
11
___
nn
pnpn
p


 . 
Por otra parte, con muestras grandes, es decir, cuando 
____
11 pn , 






____
11 1 pn , 
____
22 pn y 






____
22 1 pn
 sean todos mayores o iguales a 5, el 
estadístico de prueba para pruebas de hipótesis acerca de 
___
2
___
1 pp  está dado por: 















21
____
___
2
___
1
0
11
1
nn
pp
pp
z
. 
 
Ejemplo (5) 
 
Una compañía de seguridad privada desea comercializar un nuevo servicio de protección, por lo que su departamento de mercadotecnia debe saber 
si hay diferencia en las proporciones de mujeres jóvenes y mayores que comprarían el servicio. Se muestrean dos poblaciones independientes: 
mujeres jóvenes y mujeres mayores y se consideran un nivel de confianza del 95%. 
 
 Mujeres jóvenes Mujeres mayores 
Tamaño de la muestra 100 200 
Sí les gustó 19 62 
 
Solución: Siguiendo los pasos descritos con anterioridad para la prueba de hipótesis: 
 
1) Parámetro proporciones poblacionales 
1p y 2p 
2) Hipótesis nula 0: 210  ppH 
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3) Hipótesis alternativa 0: 211  ppH 
4) Nivel de significancia 05.0 
Probabilidad del 0.95 
95% de confianza 
5) Estadística 
2
z 
6) Datos 19.0
100
19____
1 p 
31.0
200
62____
2 p 
     
27.0
200100
31.020019.0100___



p
 
7) Estandarización 
    








200
1
100
1
27.0127.0
31.019.0
0z
 
 
2069.20 z 
Valor crítico 96.1
2
z
 
 
8) Decisión Rechazar 0H y aceptar 1H 
dado que 25.00 zz  
 
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Conclusión: Se rechaza la hipótesis de que la proporción de mujeres jóvenes que compraría el servicio de protección es igual a la proporción de 
mujeres mayores. 
96.125.0 z
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
2069.20 z
Región de rechazo
 
 
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Ejemplo (6) 
 
Para el problema descrito en el ejemplo 5 se determinará el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones. 
 
Solución: Ahora se calculará el intervalo de confianza usando: 
 






































21
____
0
____
2
____
1
21
21
____
0
____
2
____
1
11
1
11
1
nn
ppzpp
pp
nn
ppzpp
 
Sustituyendo los valores calculados se tiene: 
 
    21
200
1
100
1
27.0127.096.131.019.0 pp 





 
 
Y al mismo tiempo: 
    






200
1
100
1
27.0127.096.131.019.021 pp 
 
Por tanto: 
013.0226.0
1065.012.01065.012.0
21
21


pp
pp
 
 
De aquí puede verse que la proporción de la primera población (mujeres jóvenes) siempre será menor que la proporción de mujeres 
mayores; este resultado es consistente con lo que se concluyó en el ejemplo 5. 
 
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Cierre 
 
En esta última unidad se establecieron intervalos de confianza tanto para la diferencia de dos medias poblacionales como para la 
diferencia de dos proporciones poblacionales. Se revisó que para determinar los intervalos de confianza para dos medias debían 
analizarse los casos en los que las varianzas son conocidas, o aquellos cuando son desconocidas pero se pueden considerar 
iguales, y finalmente, cuando son desconocidas pero se sabe que son diferentes. 
 
Adicionalmente, y puesto que se sabía de una relación entre los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis, se realizaron 
pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias con la intención de comparar los resultados obtenidos con ambos 
procedimientos. 
 
Se revisaron y aplicaron los procedimientos para la determinación del intervalo de confianza y para la realización de una prueba de 
hipótesis en el caso de la diferencia de dos proporciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fuentes de consulta 
 
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 Berenson, M. L. (2001). Estadística para administración (2ª ed.). México: Pearson Education. 
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 Hoel, P. G. (1991). Estadística elemental (4ª ed.). México: CECSA. 
 Kazmier, L. y Díaz, A. (2006). Estadística aplicada a administración y a la economía (4ª ed.). España: McGraw-Hill. 
 Lind, D. A., Marchal, W. G. y Whaten, S. A. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía (13ª ed.). México: McGraw-Hill. 
 Lind, D. A., Mason, R. D. y Marchal, W. G. (2001). Estadística para administración y economía (3ª ed.). México: McGraw-Hill. 
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