Ejercicios de distribución Fermi-Dirac

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Ejercicios de distribución Fermi-Dirac 
 
1) Calcule la energía de Fermi Para el Oro a 0°K, Si la densidad 
volumétrica del Oro es de 19,32 gr/ cm3 
 
PRIMERO TENEMOS QUE CALCULAR 
𝑁
𝑉
 
Sabemos que la masa atómica del oro es de 196,96657 u 
Ademas debemos considerar además que posee un electrón libre por átomo 
 
𝑁
𝑉
= 19,32
𝑔𝑟
𝑐𝑚3
1
197𝑔𝑟/𝑚𝑜𝑙
. 6,02. 1023𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑚𝑜𝑙 
 
𝑁
𝑉
= 5,90. 1022
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑐𝑚3
 
𝑁
𝑉
= 5,90. 1028
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑚3
 
 
𝐸𝐹(0) =
ℎ2
2𝑚𝑒
(
3𝑁
8𝜋𝑉
)
2/3
 
 
 
𝐸𝐹(0) =
(6,625 10−34𝐽. 𝑠)2
2(9,11. 10−31𝑘𝑔)
(
3 5,90. 1028𝑚−1
8𝜋
)
2/3
 
 
 
𝐸𝐹(0) = 5,85 10
−19𝐽 
 
𝐸𝐹(0) = 5,53 𝑒𝑉 
 
Calcule la Velocidad de Fermi 
 
𝐸𝑓 =
1
2
𝑚𝑒𝑉𝑓
2 
 
𝑉𝑓 = √
2𝐸𝑓
𝑚𝑒
= √
2. 5,85 10−19𝐽 
9,11. 10−31𝑘𝑔
= 1,39. 106𝑚/𝑠 
 
𝑉𝑓 = 1,39. 10
6𝑚/𝑠 
Calcule la Temperatura de Fermi 
 
𝐸𝐹 = 𝑘𝑇𝑓 → 𝑇𝑓 =
𝐸𝐹
𝑘
 
𝑘 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛 𝑘 = 8,62. 10−5
𝑒𝑉
°𝐾
 
 
𝑇𝑓 =
𝐸𝐹
𝑘
=
5,53 𝑒𝑉 
8,62. 10−5
𝑒𝑉
°𝐾
 
 
𝑇𝑓 = 64000°𝐾 
 
2) Demuestre que la formula Ef=
ℎ2
2𝑚𝑒
⌊
3𝑁
8𝜋𝑉
⌋
2/3
puede escribirse como 
3,65x10-19⌊𝑁
𝑉
⌋
2/3
eV m3 
 
DONDE 
 
𝑛𝑒 =
𝑁
𝑉
 
3) Si la energía de Fermi para la plata es de 5,48eV, con un electron libre 
de conducción por átomo, sabiendo que la plata tiene una densidad 
de 10,6 .103 Kg/m3, y también que su masa por mol es de 108, 
calcular el n° de electrones libres por átomo de plata Rta 5,80x1028 
m-3 
 
Sabemos que la Energía de Fermi esta dada por 
 
 
DESPEJANDO 
 
 
RESOLVIENDO 
 
 
 
4) El magnesio es un metal divalente con un peso atómico de 
24,32gr/mol y de una densidad de 1,74 g/ cm3, Hallar a) La 
concentración de electrones libres b)la energía de Fermi c) ¿Cuál es 
la longitud de onda de deBroglie de los electrones en el nivel de 
energía de Fermi? Rta a)4,38x1028 m-3 b) Ef=7,09eV c)4,6 A 
 
PRIMERO CALCULAMOS EL NUMERO DE ELECTRONES LIBRES 
𝑁
𝑉
=
𝜌𝑁𝐴𝑣
𝐴
 
 
𝑁
𝑉
= 1,74
𝑔𝑟
𝑐𝑚3
1
24,32𝑔𝑟/𝑚𝑜𝑙
. 6,02. 1023𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑚𝑜𝑙 
 
 
𝑁
𝑉
= 4,30. 1028
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑚3
 
 
 
Pero el magnesio tiene 2 electrones libres en el último nivel 
𝑁
𝑉
= 8,60. 1028
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑚3
 
 
 
𝐸𝐹 =
ℎ2
2𝑚𝑒
(
3𝑁
8𝜋𝑉
)
2/3
 
 
𝐸𝐹 =
(6,625 10−34𝐽. 𝑠)2
2(9,11. 10−31𝑘𝑔)
(
3 8,60. 1028𝑚−1
8𝜋
)
2/3
 
 
𝐸𝐹 = 1,136 10
−18𝐽 = 7𝑒𝑉 
 
𝐸𝑓 =
1
2
𝑚𝑒𝑉𝑓
2 =
𝑝𝑓
2
2𝑚𝑒
 
 
𝐸𝑓 =
𝑝𝑓
2
2𝑚𝑒
=
(
ℎ
𝜆𝑓
)
2
2𝑚𝑒
 
 
𝜆𝑓 =
ℎ
√2𝑚𝑒𝐸𝐹
 
𝜆𝑓 =
6,625 10−34𝐽. 𝑠
√29,11. 10−31𝑘𝑔1,136 10−18𝐽
 
 
𝜆𝑓 = 4,6 𝐴𝑚𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔