BCIN_U2_ATR_JEMP

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Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Cálculo integral 
 
 
Unidad 2 
Autorreflexión 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BCIN-2301-B2-002 
 
29 de mayo de 2023 
 
Integración por sustitución 
El método de integración por sustitución, también conocido como regla de la cadena o cambio 
de variable, es una técnica utilizada en cálculo integral para simplificar la integración de funciones 
complicadas. Este método se basa en la regla de la cadena de derivación, que establece que la 
derivada de una función compuesta es igual al producto de la derivada de la función exterior por 
la derivada de la función interior. 
El procedimiento general para aplicar el método de integración por sustitución es el siguiente: 
1. Identificar una función dentro de la integral que pueda ser reemplazada por una variable nueva, 
de tal manera que la integral se convierta en una integral más fácil de resolver. 
2. Hacer la sustitución, es decir, reemplazar la función identificada por la nueva variable. 
3. Calcular la derivada de la nueva variable con respecto a la variable original. 
4. Reescribir la integral en términos de la nueva variable y su derivada. 
5. Resolver la integral resultante, que en muchos casos será más sencilla de evaluar. 
6. Finalmente, realizar la sustitución inversa para obtener la solución en términos de la variable 
original. 
Ejemplo 
Calcule la integral ∫(3x^2 + 2x) dx. 
Solución: 
En este caso, podemos aplicar el método de integración por sustitución. Observamos que la 
función 3x^2 + 2x se puede considerar como la derivada de la función (x^3 + x^2) con respecto 
a x. Por lo tanto, podemos hacer la siguiente sustitución: 
u = x^3 + x^2 
Ahora, calculamos la derivada de u con respecto a x: 
du/dx = (3x^2 + 2x) 
Reescribimos la integral en términos de la nueva variable u y su derivada: 
∫(3x^2 + 2x) dx = ∫du 
La integral se ha simplificado a ∫du, que es más fácil de evaluar. Ahora, resolvemos esta integral: 
∫du = u + C 
Donde C es la constante de integración. 
Finalmente, realizamos la sustitución inversa para obtener la solución en términos de la variable 
original: 
u + C = (x^3 + x^2) + C 
Por lo tanto, la solución de la integral original es (x^3 + x^2) + C. 
La integración por sustitución es una técnica poderosa para simplificar la integración de funciones 
complicadas. Se basa en reemplazar una función por una variable nueva, calcular la derivada de 
esa variable con respecto a la variable original, reescribir la integral en términos de la nueva 
variable y su derivada, resolver la integral resultante y, finalmente, realizar la sustitución inversa 
para obtener la solución en términos de la variable original. 
Integración por partes 
El método de integración por partes es una técnica utilizada en cálculo integral para integrar el 
producto de dos funciones. Se basa en la regla de la derivada del producto, que establece que 
la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función 
por la segunda función, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda 
función. 
El procedimiento general para aplicar el método de integración por partes es el siguiente: 
1. Seleccionar dos funciones u(x) y v'(x) de manera que sea posible calcular la integral de v'(x) y 
que u(x) tenga una derivada sencilla. 
2. Calcular las derivadas u'(x) y v(x) de las funciones u(x) y v'(x), respectivamente. 
3. Aplicar la fórmula de integración por partes: 
 ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx 
4. Simplificar o evaluar la integral resultante en el lado derecho de la fórmula. 
5. Si la integral resultante es más simple que la original, hemos simplificado la integral original. 
En caso contrario, se puede aplicar nuevamente el método de integración por partes de manera 
recursiva. 
Ejemplo 
Calcule la integral ∫x * sin(x) dx. 
Solución: 
Para este ejemplo, vamos a seleccionar u(x) = x y v'(x) = sin(x). Ahora, calculamos las derivadas 
u'(x) y v(x): 
u'(x) = 1 
v(x) = -cos(x) 
Aplicamos la fórmula de integración por partes: 
∫x * sin(x) dx = -x * cos(x) - ∫(-cos(x) * 1) dx 
Simplificamos la integral resultante: 
∫x * sin(x) dx = -x * cos(x) + ∫cos(x) dx 
La integral de cos(x) es más simple que la integral original, por lo que hemos simplificado la 
integral original. Ahora, resolvemos la integral ∫cos(x) dx: 
∫cos(x) dx = sin(x) + C 
Donde C es la constante de integración. 
Finalmente, sustituimos el resultado en la fórmula de integración por partes: 
∫x * sin(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C 
Por lo tanto, la solución de la integral original es -x * cos(x) + sin(x) + C. 
El método de integración por partes es una técnica útil para integrar el producto de dos funciones. 
Seleccionamos dos funciones u(x) y v'(x), aplicamos la fórmula de integración por partes, 
simplificamos la integral resultante y, si es más simple, hemos simplificado la integral original. Si 
no es más simple, podemos aplicar nuevamente el método de integración por partes de manera 
recursiva. 
Referencias 
Profe Alex, curso completo sobre integrales, 1999-2023, YouTube, [ Lista de reproducción] 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2- TPLWw