BCIN_U2_EA_JEMP

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Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Cálculo integral 
 
 
Unidad 2 
Evidencia de aprendizaje 
Integración por sustitución 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BCIN-2301-B2-002 
 
26 de mayo de 2023 
 
Ecuación a integrar 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 1 
 Reorganizamos la integral 
 
Paso 2 
 u=e^x 
 du=e^xdx 
Paso 3 Expandimos la fracción 
 
Paso 4 Procedemos a integrar por términos 
 
Paso 5 Primer término 
 
Paso 6 Restituimos u en el segundo término 
 y reorganizamos 
Paso 7 
 
 
 Respuesta 
 
 
Evaluar la 
función 
 
 
 
 
 
Paso 1 
 
 
Paso 2 
 
 
Paso 3 
 
 
Paso 4 23.411 Resultado 
 
Evidencia realización en Excel 
 
න
𝑒3𝑥 + 1
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 
= 𝑢 −
1
2𝑢2
+ 𝑐 
= −
1
2𝑢2
+න1𝑑𝑢 
න
1
𝑢3
𝑑𝑢 +න1𝑑𝑢 
න൬
1
𝑢3
+ 1൰𝑑𝑢 
න
𝑢3 + 1
𝑢2
𝑑𝑥 
න
𝑒3𝑥 + 1
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 = න𝑒−2𝑥(𝑒3𝑥 + 1)𝑑𝑥 
= 𝒆𝒙 −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒙 + 𝒄 
න 𝒆𝒙 −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒙
3
−1
 
(= (𝒆𝟑 −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐(𝟑))-(𝒆−𝟏 −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐(−𝟏)) 
=(20.085−
1
2
(0.002))-(0.367−
1
2
(7.387)) 
=(20.085−0.001)-(0.367−3.694) 
 
 
 
 
 
Ecuación a integrar 
 
 
 
 
Paso 1 reescribimos sin^2 (x) como 1-cos^2(x) 
 
Paso 2 Procedemos a expandir el integrando (1-cos^2x)tan(x), que nos da: 
 
 
 
Paso 3 Integramos la suma y sacamos los factores constantes 
 
Paso 4 Es necesario reescribir tan (x) 
 
 
Paso 5 Hacemos las siguiente sustitución: u=cos(x) 
 du=-sin(x) dx 
 
 
Paso 6 Sacamos el signo de la integración 
 
 
 
Paso 7 Recordamos que la integral de 1/u es el log(u) 
 
 
 
Paso 8 Hacemos una segunda sustitución: s= cos(x) 
 ds =-sin (x) dx 
 
 
 
Paso 9 Obtenemos la integral de s 
 
 
 
 
Paso 10 Integramos el valor de s a la ecuación 
 
 
 
 
Paso 11 Reestablecemos el valor de u en la ecuación 
 
 
 
 
Paso 12 Reordenamos la ecuación 
 
 
 
 
න
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 
𝒅𝒙 
න
sinሺ𝑥ሻ
cosሺ𝑥ሻ
 𝑑𝑥 − නsinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
නtanሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 −නsinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
නሺtanሺ𝑥ሻ − sinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻሻ 𝑑𝑥 
නሺ1 − 𝑐𝑜𝑠2 ሺ𝑥ሻሻtan⁡ሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
න
𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑑𝑥 = න𝑠𝑖𝑛2ሺ𝑥ሻ⬚ tanሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
න−
1
𝑢
𝑑𝑢 −නsinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
−න
1
𝑢
𝑑𝑢 −නsinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
− logሺ𝑢ሻ − න sinሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
− logሺ𝑢ሻ − න𝑠 𝑑𝑠 
𝑠2
2
− logሺ𝑢ሻ + 𝑐 
=
cosÞ2ሺ𝑥ሻ
2
− 𝑙𝑜𝑔ሺ𝑢ሻ + 𝑐 
=
cosÞ2ሺ𝑥ሻ
2
− 𝑙𝑜𝑔ሺcos⁡ሺ𝑥ሻሻ + 𝑐 
=
𝟏
𝟐
ሺ𝒄𝒐𝒔𝟐ሺ𝒙ሻ − 𝟐 𝐥𝐨𝐠ሺ𝐜𝐨𝐬ሺ𝒙ሻሻሻ + 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
Paso 13 Resultado final 
 
Evaluación de la ecuación 
 
 
 
Paso 1 
 
Paso 2 
 
 
Paso 3 
 
Paso 4 0.0015 
 
0.0015 Respuesta 
 
Evidencia realización en Excel 
 
 
=
1
2
ሺ𝑐𝑜𝑠Þ2ሺ𝑥ሻ − 2 logሺcosሺ𝑥ሻሻሻ + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
= ሺ
1
2
ሺ𝑐𝑜𝑠2ሺ3ሻ − 2 logሺcosሺ3ሻሻሻሻ − ሺ 
1
2
ሺ𝑐𝑜𝑠2ሺ−1ሻ − 2 logሺcosሺ−1ሻሻሻሻ 
= ሺ
1
2
ሺ0.997 − 0.001ሻሻ − ሺ 
1
2
ሺ0.999 − .000ሻ 
 
 
 
 
 
Ecuación a integrar 
 
 
Paso 1 donde 
 
Paso 2 f= log(x) df=1/x dx 
 dg=x^2 dx g=x^3/3 
 
Paso 3 
 
Reintegramos los valores 
 a la ecuación 
Paso 4 
 
 
Paso 5 Respuesta 
 
Evaluar la ecuación 
 
Paso 1 
 
 
Paso 2 
 
 
Paso 3 
 
 
Paso 4 
 
 
Paso 5 
 
 
 
Paso 6 
 
 
Paso 7 
 
 Respuesta 
Evidencia realización en Excel 
 
න𝑓𝑑𝑔 = 𝑓𝑔 − න𝑔𝑑𝑓 
න𝑥2 logሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 
න𝒙𝟐 𝐥𝐨𝐠ሺ𝒙ሻ 𝒅𝒙 
=
𝟏
𝟑
𝒙𝟐 𝐥𝐨𝐠ሺ𝒙ሻ −
𝒙𝟑
𝟗
+ 𝑪 
=
1
3
𝑥2 logሺ𝑥ሻ −
1
3
න
𝑥3
3
 𝑑𝑥 
=
1
3
𝑥2 logሺ𝑥ሻ −
1
3
න𝑥2 𝑑𝑥 
න
1
3
𝑥2 logሺ𝑥ሻ −
𝑥3
9
3
−1
 
න ሺ
1
3
32 logሺ3ሻ −
33
9
3
−1
ሻ − ሺ
1
3
−12 logሺ−1ሻ −
−13
9
ሻ 
න ሺ
1
3
9 ∗ logሺ3ሻ −
9
9
3
−1
ሻ − ሺ
1
3
1 ∗ logሺ−1ሻ −
−1
9
ሻ 
න ሺ3 ∗ logሺ3ሻ − 1
3
−1
ሻ − ሺ.33 ∗ logሺ−1ሻ −
−1
9
ሻ 
න ሺ3 ∗ 0.477 − 1
3
−1
ሻ − ሺ.33 ∗ 1.364 −
−1
9
ሻ 
න ሺ3 ∗ 0.477 − 1
3
−1
ሻ − ሺ.33 ∗ 1.364 −
−1
9
ሻ 
𝟎. 𝟒𝟑𝟏 −0.561= -0.13 
Ejercicio 1 
 
 
Ecuación 
para 
integrar 
 
 
 
 
Paso 1 
 
 Sustituimos x=2sin(u)/3 
 dx= 2cos(u)/3 du 
 
 
Paso 2 
 u=sin^-1(3x/2) 
 
Paso 3 
 
 Sacamos los factores constantes 
 
Paso 4 Integramos termino por termino 
 
 
Paso 5 Sustituimos s=2u 
 ds=2du 
Paso 6 
 Integramos cos(s) 
 
Paso 7 
 
 Integramos 1 que es igual a u 
 
 
Paso 8 
 
Paso 9 
 
Reintegramos s=2u a la ecuación 
 
Paso 10 
 
Aplicamos la regla del doble ángulo sobre sin(2u) 
 
 
Paso 11 
 
Expresamos cos(u) en términos de sin(u) 
 usando cos^2(u)=1-sin^(u) 
 
 
 
Paso 12 Sustituimos el valor de u en la ecuación 
 
Paso 13 
 
 Resultado 
 
න
𝒙𝟐
ξ𝟒 − 𝟗𝒙𝟐
𝒅𝒙 
න
𝑥2
ξ4 − 9𝑥2
𝑑𝑥 
ξ4 − 9𝑥2 = ඥ4 − 4𝑠𝑖𝑛2ሺ𝑢ሻ = 2𝑐𝑜𝑠ሺ𝑢) 
2
3
න
2𝑠𝑖𝑛2ሺ𝑢ሻ𝑑𝑢
9
𝑑𝑢 
4
24
න𝑠𝑖𝑛2ሺ𝑢ሻ𝑑𝑢 =
4
27
නሺ
1
2
−
1
2
cosሺ2𝑢ሻሻ 𝑑𝑢 
= −
2
27
නcosሺ2𝑢ሻ +
2
27
∗ න1𝑑𝑢 
= −
1
27
නcosሺ𝑠ሻ𝑑𝑠 +
2
27
∗ න1𝑑𝑢 
= −
sinሺ𝑠ሻ
27
+
2
27
∗ න1𝑑𝑢 
= −
sinሺ𝑠ሻ
27
+
2𝑢
27
+ 𝑐 
= −
1
27
sin⁡ሺ2𝑢ሻ +
2𝑢
27
+ 𝑐 
=
2𝑢
27
−
2
27
sinሺ𝑢ሻ cosሺ𝑢ሻ + 𝑐 
=
2𝑢
27
−
2
27
sinሺ𝑢ሻඥ1 − 𝑠𝑖𝑛2ሺ𝑢ሻ + 𝑐 
=
2
27
𝑠𝑖𝑛−1 ൬
3𝑥
2
൰ −
1
18
𝑥ඥ4 − 9𝑥2 + 𝑐 
=
𝟏
𝟓𝟒
൬𝟒𝒔𝒊𝒏−𝟏 ൬
𝟑𝒙
𝟐
൰ − 𝟑𝒙ඥ𝟒 − 𝟗𝒙𝟐൰ + 𝒄 
Evaluación 
 
 
 
 
Paso 1 
 
 
 
Paso 2 
 
 
 
Paso 3 
 
 
 
Paso 4 
 
 
 
Paso 5 0.518-(-2.829+6.708i) 
Paso 6 3.347+6.708i Respuesta 
 
Evidencia de realización en Excel 
 
න
𝟏
𝟓𝟒
൬𝟒𝒔𝒊𝒏−𝟏 ൬
𝟑𝒙
𝟐
൰ − 𝟑𝒙ඥ𝟒 − 𝟗𝒙𝟐൰
𝟑
−𝟏
 
=
1
54
൬4𝑠𝑖𝑛−1 ൬
3(3)
2
൰ − 3(3)ඥ4 − 9(3)2൰ −
1
54
൬4𝑠𝑖𝑛−1 ൬
3(−1)
2
൰ − 3(−1)ඥ4 − 9(−1)2൰ 
=
1
54
൫4𝑠𝑖𝑛−1(4.5) − 9ξ4 − 81൯ − (
1
54
൫4𝑠𝑖𝑛−1(−1.5) − (−3)ξ4 − 9൯) 
=
1
54
൫50.981 − 9ξ77൯ − (
1
54
൫−152.806 + 3ξ−5൯) 
=
1
54
(50.981 − 78.974) − (
1
54
൫−152.806 + 3ξ−5൯) 
Conclusión 
La integración por sustitución es una forma de facilitar la integración, pues sustituye términos 
comunes por un término determinado, haciendo el proceso más rápido y preciso al eliminar el 
trabajo con términos largos. Los ejercicios del presente trabajo fueron un gran reto, por lo que 
sería bueno que el profesor adoptara una metodología que inicie por ejercicios sencillos y 
progresen paulatinamente en dificultad. 
Referencias 
Profe Alex, (2023) Curso completo sobre integrales, YouTube, Recuperado de 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2- TPLWw