Algebralineal 2 cuatrimestre

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Álgebra lineal 
Unidad 1, 2 y 3 
Programa desarrollado 
 
 
 
 
 
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 1 
 
 
 
 
Programa desarrollado 
 
Segundo cuatrimestre 
 
 
Programa de la asignatura: 
Álgebra lineal 
 
Clave: 230910205 
190910205 
170910205 
 
 
ESAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA 
Alonso Lujambio Irazábal 
 
SECRETARIA DE EDUCACIÓN SUPERIOR 
Rodolfo Tuirán Gutiérrez 
 
PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA 
 
COORDINACIÓN GENERAL 
Manuel Quintero Quintero 
 
COORDINACIÓN ACADÉMICA 
Soila del Carmen López Cuevas 
 
DISEÑO INSTRUCCIONAL 
Yhanga Rachel Rosas Sandoval 
 
EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS 
Brenda Mariana Cruz Reyes 
 
AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: 
Mtra. Elsa Marlene Escobar Cristiani 
Lic. Juan Antonio Román Morales 
 
Secretaría de Educación Pública, 2010
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Tabla de contenidos 
 
 Página 
I. INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA 3 
a. Ficha de identificación 
b. Descripción 
c. Propósito 
II. COMPETENCIAS A DESARROLLAR 5 
III. TEMARIO 6 
IV. METODOLOGÍA DE TRABAJO 8 
V. EVALUACIÓN 9 
VI. MATERIAL DE APOYO 10 
VII. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD 11 
a. UNIDAD 1 11 
a. UNIDAD 2 41 
b. UNIDAD 3 79 
VIII. ANEXOS 116 
a. UNIDAD 1 117 
b. UNIDAD 2 125 
c. UNIDAD 3 135 
 
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I. Información general de la asignatura 
 
A. Ficha de identificación 
 
Nombre de la Licenciatura o 
Ingeniería: 
Familia Ambientales 
Nombre del curso o asignatura Álgebra Lineal 
Clave de asignatura: 230910205, 190910205, 170910205 
Seriación: 
Cuatrimestre: 2 
Horas contempladas: 72 horas 
 
 
B. Descripción 
 
Álgebra Lineal es una de las tantas ramas de las matemáticas, la cual se basa en el estudio de los 
siguientes conceptos: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales, así como de los Espacios 
Vectoriales y Transformaciones. Esta asignatura te proporcionará las herramientas para la resolución de 
problemas en áreas diversas, dentro y fuera de las matemáticas; por ejemplo, en el Análisis Funcional, 
Ecuaciones Diferenciales, Investigación de Operaciones, Gráficas por Computadora y en las diversas 
áreas de estudio de la ingeniería. 
 
La asignatura de Álgebra Lineal se aborda en el cuatrimestre II de la Ingeniería en biotecnología, en 
energías renovables y tecnología ambiental. Ésta se aplicará en materias como cálculo diferencial, cálculo 
integral, métodos numéricos, variable compleja y cálculo multivariado. Por ejemplo, los sistemas de 
ecuaciones aparecen en cálculo, ya sea éste real o complejo, y de una o varias variables, cuando deseas 
saber las intersecciones de funciones o la integral de ciertas funciones. Las funciones de varias variables 
pueden ser vistas como vectores, otra aplicación de matrices y de sistemas de ecuaciones la encontrarás 
en métodos numéricos, por ejemplo, si pretendes realizar una maximización de producciones o una 
minimización de gastos. 
 
Mediante el estudio del Álgebra Lineal podrás adquirir la capacidad de abstracción y formalización de ideas 
matemáticas, así como la comprensión de la relación entre el Álgebra Lineal, la Geometría y el manejo de 
Técnicas de Cálculo, a través del planteamiento y análisis de conceptos y problemas específicos del 
Álgebra Lineal, ejemplificando estos mediante los procedimientos de sistemas ya conocidos y/o 
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estableciendo métodos y algoritmos para su solución, obteniendo así los elementos que te permitieron 
fundamentar lo empleado en el análisis y solución de problemas bajo un razonamiento lógico y aplicarlo 
así en tu ámbito profesional. 
 
Hay una gran cantidad de ejemplos de aplicaciones y relaciones entre el Álgebra Lineal y otras áreas de la 
matemática, de modo que sólo hablaremos de algunas. En geometría verás que las transformaciones 
rígidas del espacio pueden representarse por medio de matrices y vectores, o bien, utilizarás vectores 
directores para definir rectas y planos en el espacio tridimensional. Así también, en cálculo de varias 
variables, descubrirás que es más fácil representar unas funciones por medio de vectores y utilizarás 
vectores y matrices para derivar e integrar las funciones. 
 
C. Propósito 
 
La asignatura Álgebra Lineal es la columna vertebral de las matemáticas. 
 
El estudio de la asignatura te ayudará a plantear y resolver problemas matemáticos, así como modelos que 
te permitan interpretar lo que sucede con las variables en juego, para dar respuesta a las situaciones que 
surjan en las empresas u organizaciones. 
 
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II. COMPETENCIA(S) A DESARROLLAR 
 
Competencia General: 
Utiliza principios del Álgebra Lineal mediante la transformación de los elementos en vectores y 
matrices para la resolución de problemas en su ámbito profesional. 
 
Competencias específicas: 
 Utiliza vectores para resolver problemas de distintas áreas mediante el álgebra vectorial. 
 Emplea matrices para resolver problemas de distintas áreas mediante diferentes métodos de 
solución de sistemas de ecuaciones lineales. 
 Utiliza los determinantes para resolver problemas de diversas áreas por medio de la regla de 
Cramer. 
 
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III. Temario 
 
Unidad 1. Álgebra lineal 
1.1. Historia del álgebra lineal 
1.2. Vectores 
1.2.1. Conceptos básicos 
1.2.2. Magnitud y dirección de un vector 
1.2.3. Vectores en el plano y en el espacio 
1.2.4. Vectores unitarios 
1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical 
1.2.6 Igualdad de vectores 
1.3. Operaciones con vectores 
1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector 
1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar 
1.3.3. Suma de vectores 
1.3.4. Resta de vectores 
1.4. Productos vectoriales 
1.4.1. Producto punto 
1.4.2. Condición de perpendicularidad 
1.4.3. Propiedades del producto punto 
1.4.4. Aplicaciones del producto punto 
1.4.5. Producto cruz 
1.5. Triples productos 
1.5.1. Triple producto escalar 
1.5.2. Triple producto vectorial 
Unidad 2. Matrices 
2.1. Introducción a matrices 
2.1.1. Renglones y columnas 
2.1.2. Notación y clasificación 
2.2. Operaciones con matrices 
2.2.1. Suma y resta de matrices 
2.2.2. Producto de un escalar por una matriz 
2.2.3. Producto matricial 
2.3. Representación matricial 
2.3.1. Matriz principal y matriz ampliada 
2.3.2. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 
2.4. Operaciones elementales de renglón 
2.4.1. Aplicación de las operaciones elementales de renglón a una matriz 
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2.4.2. Matriz inversa mediante operaciones de renglón 
2.5. Solución de sistemas lineales 
2.5.1. Método de eliminación de Gauss 
2.5.2. Método de Gauss-Jordan 
Unidad 3. Determinantes 
3.1. Bases de los determinantes 
3.1.1. Introducción a los determinantes 
3.1.2. Menores y cofactores de un determinante 
3.1.3. Propiedades de los determinantes 
3.2. Solución de sistemas lineales por determinantes 
3.2.1. Regla de Cramer 
3.3. Ejemplos de aplicación 
3.3.1. Aplicación de matrices 
3.3.2. Aplicación de sistemas de ecuaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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IV. Metodología de trabajo 
 
Para la asignatura de Álgebra Lineal se utilizará como metodología de trabajo el Aprendizaje 
Basado en Problemas, por lo que frecuentemente te enfrentarás a situaciones que deberás resolver 
a partir de lo que has aprendido en la asignatura. 
 
La finalidad de la asignatura no sólo es conceptual, si no que la información sea utilizada o aplicada 
para la solución de problemas, para el logro de la competencia es fundamental seguir el 
cumplimiento cabal de cada una de las actividades planteadas, la ejercitación de procedimientos 
matemáticos o ejercicios prácticos, como los que se proponen en el Cuadernillo de ejercicios, así 
como el constante estudio de los conceptos que forman parte de la asignatura. 
 
A continuación se describen de forma general las estrategias metodológicas de enseñanza-
aprendizaje. 
 
Para llevar a cabo un análisis de los problemas planteados se realizarán diversas actividades, 
algunas de ellas en el foro, las cuales deberás discutir con tus compañeros, con el fin de enriquecer 
tu aprendizaje, ya que te permitirán conocer otros puntos de vista y tomar en cuenta cosas que tú 
no harías. Estas actividades son formativas y para algunas utilizarás la herramienta de Tareas para 
poder enviarlas a tu Facilitador (a). 
 
Al final de cada unidad entregarás una evidencia de aprendizaje sumativa y que formará parte del 
portafolio de evidencias. Dicha actividad consiste en darle seguimiento a un problema a partir de la 
primera unidad. En el problema aplicarás las diversas herramientas del álgebra lineal que vayas 
aprendiendo. De esta forma verás integrado todo el contenido de esta materia y aprenderás 
algunas de sus aplicaciones. Es importante tener claro que tanto actividades formativas como 
sumativas deberán ser retroalimentadas por tu Facilitador (a). 
 
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V. Evaluación 
 
En el marco del Programa de ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, 
sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por 
ello se le considera desde un enfoque integral y continuo. 
 
Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Álgebra Lineal, se espera la participación responsable 
y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda 
evaluar objetivamente su desempeño. Ante esto, es necesaria la recolección de evidencias que 
permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y 
actitudinales. 
 
En este contexto, la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación 
permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es 
requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así 
como la participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las 
unidades, dentro del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se 
asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el 
estudiante la revise antes de realizar la actividad correspondiente. 
 
A continuación presentamos el esquema general de evaluación. 
 
RECURSOS Y HERRAMIENTAS VALOR 
Actividades formativas (envíos a taller y tareas). 20% 
Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro, blog, 
wiki, base de datos). 
20% 
Autoevaluaciones de unidad. 20% 
E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje. 40% 
 
Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe obtener la calificación mínima indicada por 
ESAD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VI. MATERIALES DE APOYO 
 
Bibliografía básica: 
 
Del Valle, Juan C.; Álgebra lineal y sus aplicaciones; México (2009), Mc Graw Hill 
Interamericana. 
 
Lay, D. C.; Álgebra lineal y sus aplicaciones; México (2007), Pearson Educación. 
 
Friedberg, Stephen, et. al; Álgebra lineal; Estados Unidos (2007), Illinois State University. 
Prentice. 
 
Stanley I, Grossman.; Álgebra lineal; México (2008), Mc Graw Hill. 
 
 
Bibliografía complementaria: 
 
Bernard Kolman, David R. Hill; Algebra lineal; México (2006), Pearson Educación. 
 
Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I., en: <http://www.sectormatematica.cl/libros.htm>. 
 
Marsden, Jerrold, Tromba, Anthony; Cálculo vectorial; Estados Unidos (1991), Addison-Wesley 
Iberoamericana. 
 
Williams, G.; Álgebra lineal con aplicaciones; México (2004), Mc Graw Hill, Kolman, B. y Hill. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VII. Desarrollo de contenidos por unidad 
 
 
Unidad 1. Álgebra lineal 
 
Propósito 
 
En esta Unidad podrás identificar los aspectos históricos que permitieron el desarrollo del álgebra 
lineal, así como representar los vectores en el plano y en el espacio para resolver problemas 
matemáticos por medio de los productos vectoriales. 
 
Competencia específica 
 
Utiliza vectores para resolver problemas de distintas áreas mediante el álgebra vectorial. 
 
Presentación de la Unidad 
 
El álgebra lineal tiene un enfoque amplio, ya que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, 
matrices y sistemas de ecuaciones lineales. De manera más formal, el álgebra lineal estudia los espacios 
vectoriales y las transformaciones lineales. 
 
En esta Unidad revisarás temas de historia del álgebra lineal, vectores, operaciones con vectores, 
productos vectoriales y triples productos. También encontrarás ejemplos, ejercicios y planteamientos de 
problemas; conforme vayas conociendo la teoría podrás darte cuenta si esa información es útil para 
resolver los problemas. 
 
Se considera que es muy importante conocer un poco el origen del álgebra lineal, ya que desde la 
antigüedad hasta nuestros días, el ser humano ha utilizado las matemáticas para beneficiarse. Una de las 
primeras necesidades que tuvo el hombre fue la de contar; muestra de ello, la podemos encontrar en las 
diferentes culturas: maya, china, inca, etc. 
 
Las operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación, te permitirán resolver situaciones 
de la vida cotidiana; por ejemplo, las ganancias que obtiene un comerciante se pueden determinar por 
medio del producto escalar. Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las 
ramas de la física; el triple producto te permitirá hallar el volumen de un paralelepípedo sin necesidad de 
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aplicar la fórmula geométrica; esto lo podemos hacer representando la figura en el plano y conociendo los 
valores de cada uno de los componentes del vector. 
En la actualidad, muchos problemas se plantean en términos de una ecuación o de un sistema de 
ecuaciones, los cuales contienen las restricciones de cada uno de los problemas. La interpretación de los 
resultados te permitirá elegir la mejor opción y de esta manera podrás ofrecer alternativas a la sociedad 
para que se vean beneficiados con las aplicaciones del álgebra lineal. 
 
 
1. Historia del álgebra lineal 
 
Desde la antigüedad, el ser humano comenzó a preguntarse sobre diversos aspectos de la vida cotidiana 
lo que lo llevó a inventar herramientas que le permitieran medir longitudes, ordenar y contar objetos, así 
como reconocer fenómenos periódicos de la naturaleza. Como resultado de este proceso, el ser humano 
ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado 
a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer 
tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local. 
 
Hacia el año 1650 a.C., el sacerdote egipcio Ahmés escribió el Papiro de Rhind, que es uno de los 
documentos matemáticos más antiguos. En él se encuentran los primeros conocimientos acerca del 
álgebra lineal. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido 
originalmente como un manual práctico para los no iniciados. 
 
Por su parte, los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de 
primer y segundo grado, completando cuadrados o por sustitución, así como ecuaciones cúbicas y 
bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre 
dichos problemas datan del último período sumerio, aproximadamente del año 2100 a.C. 
 
En tanto, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y 
nos legaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre 
el Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal: 
3x + 2y + z = 39 
2x + 3y + z = 34 
x + 2y + 3z = 26 
 
Los matemáticos griegos, no se preocuparon por los problemas lineales, a pesar de que poseían un 
reconocido pensamiento lineal. En sus trabajos se aprecian algunas tentativas del análisis diofántico, 
especialmente en el estudio de las magnitudes (Libro V) y las propiedades aritméticas de los números 
enteros (Libro VII). Sin embargo, la solución general de la ecuación de segundo grado aparece en los 
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Elementos de Euclides; no obstante, dichos elementos no representaban un pensamiento algebraico 
formalmente hablando, como el que se conoce en la actualidad. 
 
En realidad, las formalidades algebraicas que se estudian en la matemática actual no vieron la luz sino 
hasta finales del siglo XVII, con el redescubrimiento y desarrollo de las ideas originales de los babilonios, y 
principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal, y con la relación entre geometría y álgebra, 
basada en las ideas de René Descartes y de Pierre de Fermat. Así, hasta el siglo XVIII el álgebra fue el 
arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. 
 
El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. 
En 1843, el matemático irlandés Sir William Hamilton descubrió los cuaterniones. En 1863, aparecen con 
Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann Günther Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y 
de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de “vector” que era manejada por los estudiosos 
de la Mecánica desde fines del siglo XVII; este hecho representó la génesis del Cálculo vectorial y de la 
Matemática moderna. Además, Grassmann que es considerado el maestro del álgebra lineal, introdujo el 
producto geométrico y lineal, siendo el primero de estos, equivalente al producto vectorial. 
 
El primero que utilizó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850, quien 
definió una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos. Tiempo después estableció contacto con 
Cayley, quien rápidamente entendió la importancia del concepto de matriz. 
 
Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y 
multiplicación de matrices, aunque indicios de éstas ya aparecían en trabajos anteriores de Euler, 
Lagrange y Gauss. Además, Cayley probó que la multiplicación de matrices es asociativa, e introdujo las 
potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas. 
 
Desde entonces, el álgebra ha evolucionado y seguido varias líneas de desarrollo; por ejemplo, el álgebra 
moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica, al poner más atención en las estructuras matemáticas. 
Algunos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o 
relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es 
el idioma de las matemáticas. 
 
En la actualidad, en forma más particular, puede decirse que el álgebra lineal es la rama de las 
matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y, en 
un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. En esta materia estudiarás la 
parte de vectores, matrices y sistemas de ecuaciones. 
Esta área de estudio se relaciona con muchas ramas dentro y fuera de las matemáticas, tales como 
análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, 
ingeniería, etc. 
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1.2. Vectores 
 
¿Sabías que…? 
 
El matemático irlandés Sir William Hamilton (1805-1865) inició el estudio de vectores; él deseaba encontrar 
una forma de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo que lo llevó a descubrir los 
cuaterniones. Este concepto condujo al desarrollo de lo que actualmente se llaman vectores. 
 
Lord Kelvin dijo que los cuaterniones, “aun cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar 
para todos aquellos que los han manejado de alguna manera, y los vectores… nunca han sido de la menor 
utilidad para ninguna criatura”. 
 
Sin embargo, Kelvin estaba equivocado, hoy en día, casi todas las ramas de la física clásica y moderna se 
representan por medio del lenguaje de vectores. Estos también se usan cada día más en las ciencias 
biológicas y sociales.1 
 
En diferentes libros se encuentra el concepto de vector; en la mayoría de ellos se representa como una 
línea que apunta hacia alguna parte. En diferentes áreas de las ciencias se utilizan los vectores para 
facilitar la información que se tiene de algún fenómeno, proyecto o situación que se plantea, debido a que 
ofrece la información de manera general y ordenada, podría decirse que es un símbolo general que facilita 
la representación de un problema. 
 
Cabe mencionar que existen diferentes métodos para resolver problemas, evitando el uso de los vectores; 
sin embargo, éste nos enseña a representar la información de manera ordenada, general y simple, en 
muchos de los casos. 
 
Hemos hecho uso de los vectores sin darnos cuenta: al ver una señal en la carretera en la cual se muestra 
una flecha,al ver los juegos de video cuyos controles indican diferentes direcciones para moverse, al ver 
correr el agua en una pendiente y en fin, en varias situaciones más. A continuación daremos los elementos 
que forman a los vectores, así como algunas de sus características más importantes. 
 
 
Actividad 1. Análisis del problema I 
Participa en el foro argumentando tus respuestas con respecto a las preguntas que se te plantean. 
 
 
1 Ortega Pulido, Pedro; La enseñanza del álgebra lineal mediante sistemas informáticos de cálculo algebraico. Trabajo de grado; 
Universidad Complutense de Madrid. Madrid (2002).  
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1.2.1. Conceptos básicos 
 
Uno de los conceptos más importantes en matemáticas es el de vector, por medio de un vector podemos 
ubicar el lugar en el que se encuentra un avión, un barco, un automóvil, etc. Para determinar la ubicación 
de cada uno de ellos, es necesario, conocer la distancia, la dirección y el sentido. 
 
Definición geométrica de un vector. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos, equivalentes 
a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto, se 
conoce como una representación del vector. 
 
Entonces, un vector tiene muchas representaciones, dependiendo 
del lugar donde se ubique su punto inicial, tal y como lo muestra la 
siguiente figura, donde aparecen varias representaciones del mismo vector. 
 
Definición algebraica de vector. Un vector v en el plano coordenado, 
es un par ordenado de números reales (a, b). 
Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector v. 
 
Las partes que componen un vector son: 
 
Punto inicial: es el punto del plano en donde inicia o parte el 
vector. 
Punto final: es el punto del plano en donde finaliza el vector. 
Magnitud: es la longitud o tamaño del vector. 
Dirección: está formada por la línea que se sigue para ir desde 
el punto inicial hasta el punto final. 
Sentido: es el lugar hacia donde apunta el vector, puede ser 
arriba, abajo, izquierda, derecha, etcétera. 
 
 
1.2.2. Magnitud y dirección de un vector 
 
Para obtener la magnitud de un vector v (que representaremos 
como |v|), cuyas coordenadas del punto inicial son (a, b) y las 
coordenadas del punto final (c, d), trazamos el vector en el plano 
cartesiano. De esta manera, podemos conocer la magnitud del 
vector v, tal y como se muestra en la figura. 
 
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Primero ubicamos los puntos inicial y final del vector, que en este caso son (a, b) y (c, d); después, se traza 
la semirrecta l paralela al eje x que pase por el punto (a, b), y se traza la recta m paralela al eje y que pase 
por el punto (c, d). Al punto de intersección de ambas rectas lo llamaremos Q. Como se puede observar, 
se ha formado un triángulo rectángulo con vértices en (a, b), (c, d) y Q. 
 
A partir del triángulo podemos conocer los valores de sus lados 
paralelos a los ejes coordenados, tal y como se muestra en la 
siguiente figura. 
 
Entonces, el lado horizontal del triángulo tiene una longitud de c – 
a y el lado vertical tiene una longitud de d – b. Con esto, podemos 
utilizar el teorema de Pitágoras y encontrar la longitud de la 
hipotenusa del triángulo, la hipotenusa estará dada por: 
 
 
 
La magnitud del vector v con punto inicial en (a, b) y punto final en (c, d), es: 
 
 
 
Hemos calculado la magnitud de un vector con extremos en (a, b) y (c, d). 
Basándonos en el ejemplo del cálculo de la magnitud de un vector, podemos aclarar los siguientes puntos: 
 Los vectores tienen un punto inicial y un punto final. 
 Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las 
coordenadas de un punto inicial. 
 La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus 
componentes. 
 
Los vectores tienen un punto inicial y un punto final. Este punto ha quedado claro, ya que los vectores 
están delimitados por sus extremos que son dos puntos, en este caso, del plano. 
Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las coordenadas de 
un punto inicial. Este punto nos da las coordenadas del vector; en el ejemplo para calcular la magnitud de 
un vector, el punto final del vector tiene coordenadas (c, d) y el punto inicial tiene coordenadas (a, b); de 
esta manera, las coordenadas del vector son (c – a, d – b). 
 
La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus 
componentes. El último punto nos indica que la magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la 
suma de los cuadrados de sus coordenadas; de acuerdo con nuestro ejemplo, estará representado como: 
 
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La justificación del resultado, ya se ha demostrado. 
 
Cuando el punto inicial del vector es el (0,0) y el punto final es (a, b), la magnitud está dada por: 
 
 
 
Dirección de un vector 
 
Definiremos la dirección de un vector v = (a, b) como el ángulo θ, medido en radianes que forma el vector 
con el lado positivo del eje x. 
 
Para encontrar el ángulo de un vector, utilizaremos cuatro casos diferentes, ya que un vector puede estar 
ubicado en cualquiera de los cuatro cuadrantes que tiene el plano cartesiano. De acuerdo con el cuadrante 
en el que se encuentre las componentes del vector, serán positivas, negativas o combinadas. 
 
 
 
 
 
Caso 1 
Sea el vector (a, b) con a>0 y b>0, elegimos el ángulo θ =  >0. 
 
 
Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante, el ángulo  es igual a: 
 
Caso 2 
Si a<0 y b>0, elegimos  =  -  >0 
 
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Caso 3 
Si a<0 y b<0, elegimos  =  + >0 
 
 
 
 
 
 
Caso 4 
Si a>0 y b<0, elegimos  = 2 - >0 
 
 
Ejemplo: 
 
Calcula la dirección y el sentido que tiene el vector v = (3, -6) 
 
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Para calcular la dirección, debemos encontrar el valor del ángulo que tiene el vector con respecto al eje x 
positivo; para ello, aplicamos la fórmula: 
 
 = 2 -  
 
Primero calculamos el valor del ángulo, 
 
 
 
 
 
De esta manera, tenemos: 
 
 
 
Despejando: 
 
 
 
Sustituyendo en la fórmula:  = 2 -  = 2-63.435 = 296.565° 
 
Por lo tanto, se tiene que la dirección del vector con coordenadas (3, -6) es aproximadamente de unos 
296.565 grados y su sentido es hacia la derecha y hacia abajo, tal como lo puedes observar en la figura. 
 
 
1.2.3. Vectores en el plano y en el espacio 
 
Los vectores se utilizan en casi todas las situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, en un plano: si 
buscamos la casa de un amigo en una ciudad desconocida y preguntamos a una persona cómo llegar a la 
dirección que buscamos, nos podría contestar: caminen 500 metros en línea recta; con esta información no 
sería suficiente para que encontráramos la casa, ya que podemos caminar 500 metros en al menos dos 
direcciones distintas. 
 
Preguntando de nuevo a la misma persona hacia qué dirección dirigirnos, nos dirá: caminen 500 metros en 
línearecta por esta calle hacia ese lado, con esta información, la persona informante nos habrá dado un 
vector, sin darse cuenta de tal acontecimiento; tomamos las instrucciones y llegamos a la dirección 
correspondiente; esto es un claro ejemplo en el cual cotidianamente se utilizan los vectores en un plano. 
 
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Vectores en el plano. Se le llaman vectores en el plano, a todos aquellos vectores que se encuentran en 
 o bien, a aquellos que se representan únicamente con dos coordenadas o componentes, por ejemplo, 
el vector v = (a, b). 
 
Los vectores en el espacio, también se aplican en nuestro entorno, debido a que nuestro mundo tiene tres 
dimensiones. Por ejemplo, retomando la situación en la cual se busca un amigo en una ciudad 
desconocida, una vez que se llega a la dirección deseada nos encontramos frente a un edificio de 20 
pisos, en este caso, sabemos que vamos a caminar hacia el edificio y que nuestro amigo vive en el quinto 
piso, en el departamento que se encuentre hacia nuestra derecha. Esta es la manera en la que se 
presentan los vectores en el espacio, ya que además de indicar lo mismo que el vector en el plano, 
también nos indica un dato más, en este caso, la altura. 
 
Vectores en el espacio. Se le llaman vectores en el espacio a todos aquellos vectores que se encuentran 
en o bien, a aquellos vectores que se representan utilizando tres coordenadas o componentes, por 
ejemplo, el vector w = (a, b, c). 
 
 
 
 
 
1.2.4. Vectores unitarios 
 
Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a 1. 
Ejemplo: El vector es un vector unitario, ya que: 
 
 
 
 
 
Veamos lo siguiente: 
 
Sea u = (a, b) un vector unitario, entonces , lo cual 
significa que , por esta razón, podemos representar a u por 
un punto en el círculo unitario, tal y como se muestra en la figura. 
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Si es la dirección de u, entonces, y , de esta manera, podemos representar al 
vector como 
 
 
Recordando las identidades trigonométricas, se tiene que 
 
 
 
Lo cual, nos indica que la magnitud de 1 no se ha modificado al hacer la sustitución de las funciones seno 
y coseno por a y b. 
 
Sea v un vector, entonces el vector u con magnitud igual a la unidad y con la misma dirección que v, está 
dado por: 
 
Para cualquier vector, podemos encontrar otro vector que tenga la misma dirección que el primero y cuya 
magnitud sea igual a 1. 
 
Ejemplos: 
 
Sea v = (3, 4) un vector; encuentra un vector que tenga la misma dirección que v y cuya magnitud sea 1. 
 
Solución: Sea u el vector buscado; para poder encontrar el vector unitario que tenga la misma dirección 
que v, realizamos la división y tenemos lo siguiente: 
 
 
 
 
Entonces, el vector unitario que tiene la misma dirección que v es 
 
 
Se puede verificar su magnitud, esto es: 
 
 
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La dirección del vector v está dada por 
 
Mientras que la dirección de u está dada por 
 
 
 
Y como podemos observar, 
 
Por lo tanto, u y v tienen la misma dirección. 
 
1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical 
 
Existen dos vectores en el plano, los cuales nos permiten obtener a todos los demás; dichos vectores son 
el (1, 0), representado por i y el vector (0, 1), representado por j. Así, si v = (a, b) es un vector del plano, 
entonces, podemos escribir (a, b) de la siguiente manera: 
 
 
 
También podemos escribir a v como: 
 
 
 
Con esta representación, se dice que v está en términos de sus componentes rectangulares. 
Los vectores unitarios i y j tienen las siguientes propiedades: 
i) Ninguno de ellos es múltiplo de otro vector. 
ii) Cualquier vector se puede escribir en términos de i y j, tal y como se hizo con v en la ecuación anterior. 
 
 
 
 
 
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1.2.6. Igualdad de vectores 
 
Diremos que dos vectores son iguales, únicamente cuando todos sus componentes sean iguales entre sí; 
es decir, para que los vectores u = (a, b, c) y v= (d, e, f) sean iguales, entonces, a =d, b=e, c = f. 
 
Los vectores: u = (2, 3, -5) y v = (2, -3, -5) son vectores distintos, debido a que el signo de la segunda 
coordenada de u es diferente de la segunda coordenada de v, por lo cual, no podemos decir que los 
vectores sean los mismos. 
 
Si bien es cierto que dos vectores necesitan tener las mismas coordenadas para ser iguales, a pesar de 
esto, dos vectores pueden tener diferentes extremos y ser iguales, por ejemplo: 
 
Sean M = (3, 5) y N = (2, - 1) el punto inicial y final de un vector y sean P = (6, 2) y Q = (5, -4) el punto 
inicial y final de otro vector. Demostrar si los vectores son iguales o no. 
 
Para ello, encontraremos el vector que inicia en M y termina en N y lo representamos por , tal y como 
se muestra a continuación 
 
 
Por otra parte, encontramos el vector que inicia en P y termina en Q, al cual representamos por , de la 
siguiente manera: 
 
 
 
 
Dado que las coordenadas de ambos vectores son iguales, entonces, los vectores y son iguales. 
 
 
1.3. Operaciones con vectores 
 
Debido a su uso, los vectores poseen ciertas propiedades que nos permiten sumarlos, restarlos y 
multiplicarlos; sin estas propiedades prácticamente serían inservibles, ya que se utilizarían únicamente 
como la representación de un problema sin mayor uso que eso. 
 
Actualmente, se les da un uso similar al de los números racionales, ya que a pesar de no poder colocar 
todos sus elementos, se sobreentiende la manera en que estos se extienden, como por ejemplo, al colocar 
una serie de números: 2, 4, 6, 8, …, se entiende que se deben de colocar los números pares; de manera 
análoga, con el uso de vectores, se puede escribir u = (2, 4, 6, 8,….) y de igual manera se entiende con 
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este lenguaje. En lo presente veremos las operaciones que se pueden efectuar con los vectores, sus 
propiedades y algunos de sus usos. 
 
 
1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector 
 
Para comenzar con esta sección, utilizaremos vectores y los multiplicaremos por un escalar o bien por un 
número. 
 
Sea el vector v = (a, b) y sea un número; tenemos que 
 
Con lo que 
 
 
 
 
 
Esto significa que cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero, hace que la longitud de 
dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar. 
1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar 
 
Cuando un vector es multiplicado por un escalar, o bien por un número, ello puede causarle un cambio de 
sentido o de magnitud. A continuación, se darán algunas propiedades del producto por un escalar. 
 
Sea v y w vectores y sean y escalares; entonces, se cumplen las siguientes propiedades del producto: 
 también es un vector. 
. 
. 
. 
 
Hasta el momento, únicamente hemos utilizado y comprobado la primera propiedad, conforme avancemos 
en el curso, iremos haciendo uso y demostración de las demás, si es que fuese necesario. 
 
 
1.3.3. Suma de vectores 
 
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Sean y dos vectores en el plano, se define la suma de dos vectores como un nuevo 
vector, cuyas componentes están formadas por la suma de las componentes de u y de v; el vector 
resultante de la suma se denota por u + v, y la suma se representa como: 
 
 
Para sumar vectores en el espacio el proceso es similar, lo único que cambia es que se realiza la suma de 
tres coordenadas, como se muestra a continuación: 
 
Sean y dos vectores; entonces, la suma de ellos se representa por u + v, 
 
 
Con esto ya estamos preparados para poder realizar la suma de dos vectores. 
 
Ejemplos: 
1. Encuentra las coordenadas del vector que representa la suma de los vectores: 
u = (3,5) y v = (-1,6). 
 
Vamos a encontrar u + v, tal y como se muestra a continuación: 
 
 
 
Veamos ahora lo que representa la suma de dos vectores en 
el plano: 
 
Sean y ; los colocamos en el plano 
cartesiano, tal y como se muestra en la siguiente figura: 
Podemos visualizar a ambos vectores como líneas que 
tienen un punto inicial, un punto final, una dirección y un 
sentido. En este caso, los tomamos en el primer cuadrante 
del plano cartesiano; de igual manera, pueden presentarse 
en cuadrantes distintos, ambos negativos o con signos 
distintos; esto no afecta el significado que tiene la suma de 
dos vectores desde el punto de vista geométrico. 
 
En la figura de la izquierda, se observa el vector , y en la de la derecha, se puede apreciar que dicho 
vector representa a la diagonal de un paralelogramo que tiene por lados |u| y |v| 
 
 
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Esta es la representación geométrica de la suma de dos vectores y se utiliza para resolver problemas tales 
como encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores u y v o, para encontrar el área del 
triángulo con lados u y v. Esto último también es posible con tres vectores que no sean colineales, es 
decir, que no se encuentren en una misma línea recta. 
 
1.3.4. Resta de vectores 
 
La resta de vectores es muy similar a la suma; para poder obtener la resta de dos vectores, se restan las 
coordenadas que se encuentran en la misma posición de cada uno de los vectores; para ser más 
explícitos, observemos la siguiente representación. 
 
Sean y dos vectores en el plano, encontrar la diferencia de los vectores v – u = 
( . 
Los representamos en el plano cartesiano, tal y como se muestra a continuación. 
 
 
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En la izquierda se encuentra la representación de los vectores u y v, en la derecha se muestra el vector 
resultante de la diferencia v – u. 
Para entender de donde surge la diferencia, realizaremos los siguientes cálculos. 
 
 
 
 
Esto significa que el vector v es el vector resultante de la suma de los vectores v – u y u; dado que u y v ya 
están trazados, únicamente los unimos mediante otro vector; debido a que el punto final del vector 
resultante coincide con el punto final de la suma de los vectores, entonces, v – u tiene su punto final en la 
punta de v y su punto inicial en la punta de u. 
 
 
Actividad 2. Operaciones con vectores 
Para realizar la actividad resuelve los ejercicios que se incluyen en el documento Ejercicios con vectores. 
 
 
1.4. Productos vectoriales 
 
Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física; de igual 
manera, los encontramos en diferentes situaciones de nuestra vida. 
 
Por ejemplo, al realizar una competencia de salto de longitud, aparentemente ésta consiste en correr, 
saltar y caer, pero en esta actividad, también intervienen los vectores. Si todos los atletas tuvieran las 
mismas capacidades físicas, los vectores definirían quién sería el ganador, debido a un producto de dos 
vectores: uno que estaría representado por la velocidad con la que corre un atleta y el otro, representado 
por la velocidad con la cual salta; este producto nos permitiría encontrar el ángulo entre los vectores ya 
mencionados y a partir de él, podríamos encontrar en qué dirección deben saltar para llegar más lejos. 
 
 
1.4.1. Producto escalar 
 
Sean y , entonces se define el producto escalar o producto punto de dos vectores 
 como sigue: 
 
 
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Esto significa que el producto escalar de dos vectores nos da como resultado un escalar; de ahí que lleve 
el nombre de producto escalar. 
A continuación, veremos la representación geométrica del producto escalar de dos vectores. 
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo entre u y v está definido como el ángulo 
más pequeño entre las representaciones de u y v que tienen el origen como punto inicial. Si para 
algún escalar , entonces 
 
 
 
 
 
El ángulo comprendido entre dos vectores puede presentarse de diferentes formas, tal y como se muestra 
en las siguientes figuras. 
 
 
 
 
 
a) b) 
d) c) 
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En las figuras a) y b) se observa el ángulo que forman dos vectores entre sí: en c) se observa a v cuando 
v = u con y por último en d) se observa a con . 
 
Ahora que ya sabemos realizar el producto escalar de dos vectores, podemos demostrar el siguiente 
teorema: 
 
Teorema 
Sea v un vector. Entonces 
 
 
 
Este teorema lo podemos demostrar fácilmente como sigue: 
Sea v = (a, b), entonces 
 
Y además, 
 
 
La parte más importante del producto escalar entre dos vectores, es que nos permite conocer el valor del 
ángulo que existe entre ellos, eso es lo que precisamente nos dice el siguiente teorema. 
 
Teorema 
Sean u y v dos vectores diferentes de cero, si es el ángulo que existe entre ellos, entonces 
 
 
 
Con la fórmula anterior podemos encontrar el ángulo que existe entre dos vectores, a la vez, que nos da 
otra manera de definir el producto escalar de u con v, despejando y nos quedaría como sigue: 
 
 
 
Ejemplos: 
 
1. Calcula el ángulo que existe entre los vectores y . 
Aplicaremos la fórmula para obtener el ángulo entre dos vectores como sigue: 
 
 
 
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El ángulo que hay entre u y v es de aproximadamente 122.47 grados. 
 
1.4.2. Condición de perpendicularidad 
 
Antes de comenzar con las condiciones que deben de cumplir dos vectores para ser perpendiculares, 
vamos a ver los vectores paralelos. 
 
Definición de vectores paralelos 
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo que existe entre ellos es cero o . 
Esta condición nos dice que los vectores paralelos pueden tener la misma dirección o diferente, 
dependiendo del valor del ángulo que entre ellos existe. 
 
Al calcular el producto escalar de dos vectores paralelos, éste se realiza de manera similar al producto de 
dos vectores no paralelos; el resultado del producto, es lo que nos hace ver si dos vectores son o no 
paralelos. 
 
Ejemplo:Encuentra el producto escalar del siguiente par de vectores y establece si son o no paralelos entre si; 
además, encuentra también si tienen la misma dirección o diferentes direcciones. 
 
 
 
Realizando el producto escalar, tenemos 
 
 
 
 
 
Álgebra lineal 
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Por lo tanto, los vectores son paralelos, ya que el , únicamente cuando el ángulo es cero y como 
el ángulo es cero, entonces, u y v tienen la misma dirección. 
 
Sobre los vectores paralelos, tenemos el siguiente teorema. 
 
Teorema 
Si , entonces para alguna constante si y solo si u y v son paralelos. 
 
Ahora vamos a conocer el momento cuando dos vectores son perpendiculares entre sí. 
 
Los vectores u y v diferentes de cero, son perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es . 
 
 
Ejemplo: 
Demuestra que los vectores y son perpendiculares. 
Primero, obtenemos el producto escalar de los vectores. 
 
 
 
 
 
Ahora, obtenemos el ángulo que existe entre ambos vectores. 
 
 
Debido a que el numerador es cero, entonces 
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Tenemos que el ángulo, o bien es de 90°, o de 270°; para que no existan confusiones, siempre 
utilizaremos ángulos que se encuentren dentro del intervalo [0, 180°]. Tomando esto en cuenta, podemos 
asegurar que dos vectores u y v diferentes de cero son perpendiculares, si y solo si, su producto escalar es 
cero. 
 
Ahora, vamos a demostrar el siguiente teorema. 
 
Teorema 
Sea v un vector diferente de cero, entonces, para cualquier otro vector u distinto de cero, el vector 
 
Es un vector perpendicular a v. 
 
 
1.4.3. Propiedades del producto escalar 
 
El producto escalar tiene propiedades básicas dentro del álgebra lineal, las cuales son: 
 
a) Propiedad conmutativa 
Sean u y v dos vectores, entonces 
 
 
 
b) Propiedad asociativa, respecto al producto por un escalar 
Sean u y v dos vectores y sea un escalar, entonces 
 
 
 
c) Propiedad distributiva respecto de la suma vectorial 
Sean u, v y w vectores, entonces 
 
 
 
Vamos a demostrar la primera de las propiedades; entonces, tenemos que 
Dados los vectores u y v, demostrar que 
 
 
 
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Supongamos que u = (a, b) y además que v = (c, d). Ahora, 
 
 
 
 
Debido a que y , es el producto ordinario de dos números, entonces se puede utilizar la 
conmutatividad de la multiplicación. 
 
 
 
 
Con esto se demuestra la primera propiedad del producto escalar. 
 
 
1.4.4. Aplicaciones del producto escalar 
 
En esta sección vamos a dar respuesta a uno de los problemas que nos planteamos al inicio de la Unidad; 
esto, con el fin de mostrar las aplicaciones que tiene el producto escalar. 
El primer problema que planteamos es el siguiente: 
 
Problema 1. 
 
Un piloto de una prestigiada aerolínea mexicana tuvo vacaciones en su trabajo y regresó con su familia a 
la capital mexicana; debido a que viajó por todo el mundo, traía consigo efectivo en diferentes tipos de 
monedas. Siendo estas: 8,500 yen, 300 libras esterlinas, 400 euros, 85 dólares, 500 soles y 200 francos 
suizos. Si el tipo de cambio en moneda mexicana es de 0.16 el yen, 20.15 una libra esterlina, 16.76 un 
euro, 12.96 el dólar, 4.7 el sol y 13 el franco suizo: 
 
a) Representa las cantidades en efectivo que tiene el piloto mediante un vector. 
Sea u el vector que representa las cantidades que tiene el piloto, entonces, tendremos que 
 
 
b) Representa el tipo de cambio de cada moneda mediante un vector. 
Sea v el vector que representa los tipos de cambio; entonces, siguiendo el mismo orden que u, tenemos 
que 
 
 
 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 35 
 
c) Encuentra la cantidad total de efectivo en pesos mexicanos que tiene el piloto; para esto, utiliza el 
producto escalar. 
 
Desarrollando el producto escalar de los vectores anteriores, tenemos: 
 
 
 
 
 
Entonces, el piloto tiene un total equivalente a $20,160.6 
 
 
Actividad 3. Análisis del problema II 
Participa en el foro, retomando la investigación que realizaste a partir de lo comentado en el foro Análisis 
del problema I. 
 
 
Actividad 4. Reporte. Solución del problema 
En equipo realiza el reporte a partir de las discusiones en los foros. 
 
 
1.4.5. Producto cruz 
 
Hasta este momento, hemos visto todo lo referente al producto escalar de dos vectores; a continuación 
veremos lo que corresponde al producto cruz o bien, producto vectorial, el cual está definido únicamente 
en , tal y como se muestra a continuación. 
 
Sean y , el producto cruz de u y v, representa un nuevo vector 
que se denotará como y se define por 
 
 
 
El producto cruz es muy diferente del producto escalar de dos vectores; la diferencia más notoria, radica en 
que el resultado del producto escalar es un escalar y el resultado del producto cruz es un vector. 
 
Realizaremos algunos ejemplos del producto cruz. 
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Sean y dos vectores en el espacio; calcula su producto cruz. 
 
En este caso, para calcular el producto cruz, debemos utilizar la definición que acabamos de conocer e 
identificar los elementos de cada vector; del vector u son: , y ; por otra parte, los 
elementos del vector v son: , y ; ahora, vamos a sustituir estos valores, en la 
fórmula que define el producto cruz de ambos vectores, como sigue: 
 
 
 
 
 
 
Más adelante conoceremos un método más sencillo para realizar el cálculo de este tipo de productos; de 
momento, los resolveremos mediante el uso de la definición. 
 
Propiedades del producto cruz: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) . 
6) , con y distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos. 
 
Estas son algunas de las propiedades del producto cruz; haremos la demostración de las dos primeras: 
 
1) 
 
Sea u un vector, vamos a demostrar que 
 
 
Antes de comenzar con la demostración, debemos de entender que el producto cruz se puede realizar 
únicamente entre dos vectores; así entonces, el 0 por el cual se está multiplicando u es el vector 0, el cual 
tiene por coordenadas 0 = 0i + 0j + 0k. 
 
Ahora ya estamos listos para comenzar. 
 
Supongamos que y ya sabemos que 
 
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Identificamos los valores correspondientes para aplicar la definición del producto cruz, con lo cual tenemos: 
, y , y a su vez, 
 
Teniendo los vectores u y 0, se define el producto cruz de ambos como 
 
 
 
 
 
 
El producto se realiza de manera análoga a la que se desarrolló; de esta manera, hemos 
demostrado la primera propiedad del producto cruz. 
 
2) 
 
Vamos a realizar la demostración de la segunda propiedad; para esto, sean u = y 
; entonces, tenemos 
 
 
 
 
 
En este último cálculo se puede observar que los elementos de u se han cambiado con los elementos de v, 
así que por la definición del producto cruz, se tiene que 
 
 
 
 
1.5. Triples productos 
 
Por medio del producto escalar y vectorial detres vectores, A, B y C, se pueden formar productos de la 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
CBA )( 
)( CBA 
)( CBA 
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1.5.1. Triple producto escalar 
 
Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene de un producto cruz entre dos vectores, seguido 
de un producto escalar, es decir: 
 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio; el producto es definido como sigue 
 
Se conoce como triple producto escalar, la interpretación geométrica que tiene este producto; es similar a 
la que tiene el producto punto, puesto que se realiza como operación final, el producto entre dos vectores, 
el que resulta del producto cruz y el último vector introducido. 
 
Sobre los triples productos escalares, tenemos la siguiente propiedad: 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, entonces 
 
 
Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene como resultado de un producto cruz entre dos 
vectores, seguido de un producto escalar, es decir 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, el producto definido como sigue: 
 
 
 
Se conoce como triple producto escalar, la interpretación geométrica que tiene este producto; es similar a 
la que tiene el producto punto, ya que al final de cuentas se realiza como operación final, el producto entre 
dos vectores, el que resulta del producto cruz y el último vector introducido. 
Sobre los triples productos escalares, tenemos la siguiente propiedad: 
 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, entonces 
 
 
 
Actividad 5. Formulario de las propiedades punto y cruz 
Participa junto con tus compañeros en la wiki, construyendo el formulario de la unidad. 
 
 
 
 
 
 
Álgebra lineal 
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1.5.2. Triple producto vectorial 
 
Se le llama triple producto vectorial, al producto que se realiza entre tres vectores, del cual se obtiene un 
cuarto vector, que estará en el mismo plano que los dos primeros vectores que se multiplicaron. En este 
subtema se introduce una breve noción de este producto, debido a que más adelante lo utilizaremos; 
aunque no especificaremos qué es un triple producto vectorial, es necesario que conozcas las 
herramientas y procedimientos que estás utilizando; la representación de un triple producto vectorial, es la 
siguiente. 
 
Sean u, v y w, tres vectores en el espacio; el producto cruz de estos tres vectores está representado por 
 
 
El resultado del producto anterior, es un vector que se encuentra en el mismo plano que v y que w. 
 
 
 
Volumen de un paralelepípedo 
 
El volumen de un paralelepípedo de aristas a, b y c, con signo positivo o negativo según que a, b y c 
formen un triedro a derechas o a izquierdas. 
kji 321 aaaa  kji 321 bbbb  kji 321 cccc  
 
)()()()( 122131331223321
321
321
321
cbcbacbcbacbcba
ccc
bbb
aaa
cba  
 
Podemos observar la interpretación geométrica en la siguiente imagen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores: 
a = (3, -2, 5), b = (2, 2,-1) y c = (-4,3,2) 
Solución: 
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³917021)]4)(2()3)(2[(5)]4)(1()2)(2)[(2()]3)(1()2)(2[(3
234
122
523
)( ucba 



 
 
Autoevaluación 
 
Para resolver las preguntas, lee con atención los planteamientos que se te presentan. 
 
Consideraciones específicas de la Unidad 
 
Para trabajar esta Unidad puedes apoyarte en el curso en versión electrónica: Introducción a MATLAB, en 
el que encontrarás ejemplos de cómo se utiliza para determinar las operaciones entre vectores. 
 
Te recomendamos resolver todos los ejercicios del cuadernillo que corresponden a esta unidad, para 
adquirir mayor habilidad. El Cuadernillo de ejercicios lo podrás encontrar en Recursos del aula virtual. 
 
Fuentes de consulta 
 
Lay, D. C.; Álgebra lineal y sus aplicaciones (tercera edición); México (2007), Pearson Educación. 
Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I., en: 
< http://www.sectormatematica.cl/libros.htm>. 
 
Williams, G.; Álgebra lineal con aplicaciones; México (2004), Mc Graw Hill, Kolman, B. y Hill 
Bernard Kolman, David R. Hill (2006). Álgebra lineal (8a. Edición), México, Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra lineal 
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UNIDAD 2. MATRICES 
 
 
Propósito 
 
En esta Unidad utilizarás los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver 
problemas de distintas áreas, por medio del método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan. 
 
Competencia específica 
 
Emplea matrices para resolver problemas de distintas áreas mediante diferentes métodos de 
solución de sistemas de ecuaciones lineales. 
 
Presentación de la Unidad 
 
Las matrices aparecen tanto en forma explícita como implícita en nuestras actividades, tanto cotidianas 
como profesionales. Por ejemplo, una lista de los alumnos de un grupo es una matriz; los gastos y 
entradas de una empresa también se pueden modelar con matrices; la presentación de una muestra de 
ADN o las celdas de un panel solar puede ser estudiada como un arreglo matricial. 
 
En esta Unidad, conocerás la importancia de las matrices, las aplicaciones que tiene en nuestra vida 
cotidiana y en las diferentes áreas de estudio, y la forma en que nos pueden beneficiar. También podemos 
modelar un problema que surja en las empresas u organizaciones, planteando un sistema de ecuaciones. 
 
El sistema de ecuaciones lineales lo podrás resolver por medio de una matriz, con el método de 
operaciones elementales de renglón, pero antes de conocer este método, es necesario que sepas cómo se 
realiza la suma y resta de matrices, el producto de un escalar por una matriz y el producto matricial; estas 
operaciones nos permiten comprender el método de operaciones elementales de renglón. 
 
Asimismo, podrás resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio del método de eliminación de 
Gauss o el método de Gauss-Jordan. 
 
También en esta Unidad se abordará todo lo referente a las principales características y elementos de los 
que se compone una matriz; asimismo, conocerás los diferentes tipos de matrices que se utilizan en la 
actualidad, así como la forma que éstas tienen. En general, se darán los conceptos fundamentales de las 
matrices para poder continuar en los siguientes temas y con el desarrollo de las mismas. 
 
 
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2.1. Introducción a matrices 
 
Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas. 
 
El estudio de matrices es muy importante dentro de nuestra vida cotidiana; constantemente las utilizamos 
sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, una boleta de calificaciones es una matriz con los datos 
acomodados en filas y columnas, la lista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de 
vacunación, etc., también son ejemplos de matrices. 
 
 
 
 
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¿Sabías que…? 
El buscadorGoogle utiliza matrices para mostrar las páginas de búsqueda; de hecho, para que el servidor 
funcione se necesita álgebra lineal, teoría de grafos, y probabilidad. 
 
¿Podrías explicar cómo el buscador Google atiende 200 millones de consultas diarias, aproximadamente, 
e indexa varios miles de millones de páginas web? ¿Qué papel juegan las matemáticas en este servidor? 
 
Para que este servidor funcione, se necesita un criterio de ordenación; si se etiquetan con los símbolos P1, 
. . . , Pn cada una de las páginas de la red, se le puede asignar a cada Pj un número xj , que representará 
su importancia. Estos números podrían ser, por ejemplo, números entre 0 y 1. 
 
Supongamos que después de un censo de los sitios de la red, se construye la lista de páginas web, 
asignándole a cada una de ellas, de la manera que sea, una importancia. Esta lista queda a nuestra 
disposición para ser utilizada cada vez que realicemos una determinada consulta: las páginas 
seleccionadas se mostrarán en el orden que indique dicha lista, ¿cómo se construye esa lista? 
 
Cuando se tratan con grafos, se recurre a los dibujos en el papel, en los que los vértices son puntos del 
plano; mientras que las aristas son flechas que unen esos puntos, conviene considerar una interpretación 
alternativa, en este caso por medio de matrices. 
 
La dimensión de una matriz está dada como el número de filas por el número de columnas. Por ejemplo, el 
horario se trata de una matriz de dimensión 6X6, o bien de 5X5, si solo te fijas en las entradas y no en la 
información que proporcionan, mientras que la boleta de calificaciones es una matriz de 11X10, o bien de 
9X8. La dimensión de una matriz también se conoce como el orden de la matriz. 
 
Ahora bien, en la matriz que formamos, las filas y 
columnas van etiquetadas con los P1, . . . , Pn, y cuyas 
entradas son ceros y unos. La entrada mij de la matriz 
será un uno si es que hay un enlace de la página Pj a 
la página Pi; y un cero en caso contrario: 
 
Supongamos, por ejemplo, que la página P1 es citada 
desde las páginas P2, P25 y P256, que P2 sólo se cita 
desde P1 y P256, etc., mientras que, digamos, hay 
enlaces a la última página, Pn, desde P1, P2, P3, P25 y Pn−1. 
 
La página P1 tiene tres enlaces, los cuales son: P2, P25 y P256; la página P2 tiene dos enlaces, P1 y P256; la 
página Pn tiene cinco enlaces que son: P1, P2, P3, P25 y Pn−1. 
 
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De acuerdo con esto, x1 debería ser proporcional a 3, porque tiene tres enlaces; x2 lo sería a 2, etc., 
mientras que xn habría de ser proporcional a 5. 
 
Pero ahora nuestra asignación x1, . . . , xn debe cumplir que x1 = K (x2 + x25 + x256), x2 = K (x1 + x256), 
...xn = K (x1 + x2 + x3 + x25 + xn−1), donde K es una constante de proporcionalidad. Nos encontramos así con 
un enorme sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las posibles asignaciones de x1, . . . , xn. 
En este curso aprenderás a calcular las soluciones de una matriz, sin las cuales, como te podrás dar 
cuenta, no podría existir una herramienta tan valiosa como Google. 
 
 
Actividad 1. Planteamiento del problema 
Participa en la discusión del foro, realizando previamente una lectura del documento Planteamiento del 
problema y realizando lo que se solicita en cada punto. 
 
 
 
2.1.1. Renglones y columnas 
 
Ya hemos trabajado a lo largo de la primera Unidad los conceptos referentes a los vectores; en esta 
Unidad, clasificaremos los vectores por su tipo, es decir, por renglón o por columna; de esta manera, 
tenemos la siguiente definición. 
 
Definición 
Un vector renglón de n componentes u, es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente 
manera: 
 
 
Con este tipo de vectores ya estamos familiarizados, ya que han sido los que utilizamos durante la primera 
Unidad. 
 
Definición 
Se define un vector columna de n componentes v, como un conjunto ordenado de n números escritos de la 
siguiente manera: 
 
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En ambos vectores (renglón o columna), se conoce como primera componente, se llama segunda 
componente, y así sucesivamente. Por ejemplo: es un vector columna, en el cual 3 es la primera 
componente, 5 la segunda componente, -7 la tercera componente y el 2 es la cuarta componente. 
 
Mientras tanto, en el vector renglón (3, 5, -7, 2), 3 es la primera componente, 5 es la segunda, -7 es la 
tercera y 2 es la cuarta. 
 
Este vector, tanto la columna como el renglón, se pueden utilizar, por ejemplo, para describir el ahorro de 
una persona al día; así, el vector puede expresarse como: ahorré 3 pesos el lunes, 5 pesos el martes, 
gasté 7 el miércoles, ahorré 2 el jueves. 
 
Ahora que conocemos los vectores, estamos listos para dar a conocer otro concepto, en este caso, el de 
las matrices. 
 
 
2.1.2. Notación y clasificación 
 
En 1858, Cayley introdujo la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m 
ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de 
sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. Además de que son útiles 
para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, 
estadística, economía, informática, física, en las diferentes ingenierías, etc., y, como viste, también pueden 
aparecer en tus actividades cotidianas. 
 
La utilización de matrices actualmente constituye una parte esencial de los lenguajes de programación, ya 
que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y 
columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc. 
 
Notación que se utiliza para una matriz 
 
Una matriz A de m x n (m por n) es un arreglo rectangular de m por n números dispuestos en m filas y n 
columnas, tal y como se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
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Los elementos que conforman una matriz, son los vectores fila y los vectores columna; entonces, cada fila 
de una matriz es precisamente un vector fila y cada columna de la misma, es un vector columna. Ahora ya 
podemos representar diferentes situaciones mediante matrices, de manera muy similar a cuando 
utilizábamos vectores, pero con más información. Por ejemplo, un estudiante obtuvo las siguientes 
calificaciones: 
 
 Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3
Cálculo 8 9 9 
Álgebra 9 7 9 
Computación 10 9 10 
 
Si vamos a trabajar una tabla como la anterior que nos ofrece la información ordenada y clara, sería una 
pérdida de tiempo utilizarla sólo una ocasión, ya que se tiene que trazar. Sin embargo, con la ayuda de las 
matrices, una vez que tenemos establecido el orden, podemos representar la información tal y como sigue, 
una y otra vez. 
 
 
 
Esta, sería una forma más cómoda para continuar trabajando con los datos de la tabla. 
 
En algunos textos, para representar una matriz, se utilizan paréntesis cuadrados o bien corchetes; en este 
curso utilizaremos la notación de los paréntesis normales o, como algunos les llaman, paréntesis 
redondos. 
 
Por otra parte, para establecer la cantidad de elementos que contiene una matriz, la nombraremos como 
una matriz de m x n, donde m representará el número de filas y n el número de columnas. 
 
Para referirnos a una matriz, vamos a utilizar datos similares a las coordenadas en un plano cartesiano, 
pero en lugar de utilizar un plano con eje x y eje y, utilizaremos la fila i y la columnaj, en ese mismo orden; 
por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente matriz de 3 x 3: 
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El elemento a11 = 3 se ubica en la fila 1, columna 1, el elemento a22=2, y en el a32 se encuentra el 1; de 
esta manera, cada elemento de la matriz se ubica mediante la fila en la que se encuentre, ordenadas de 
arriba hacia abajo, y en la columna, ordenadas de izquierda a derecha. Como puedes observar, no existen 
dos elementos distintos que tengan la misma posición dentro de una matriz. 
 
A partir de las matrices, nos podemos dar cuenta de que un vector es precisamente una matriz que está 
formada únicamente por una fila o por una columna, dependiendo de qué tipo de vector sea. 
A todas las matrices las vamos a representar mediante una letra mayúscula, así, tendremos a las matrices 
A, B, C, D, etc. Para hacer referencia a sus elementos, generalmente utilizaremos la notación de la misma 
letra pero con minúsculas y con dos subíndices, el primero de los cuales indica la fila y el segundo la 
columna; así, es el elemento que está en la fila i columna j. De esta manera, , significa que el 
elemento que se encuentra en la fila 3 y columna 4. 
 
De modo general, las matrices pueden clasificarse en matrices cuadradas y matrices no cuadradas; las 
matrices cuadradas tienen características especiales y son aquellas con las cuales trabajaremos durante 
todo el curso. 
 
Todas las matrices, ya sean cuadradas o no, pueden escribirse en su forma escalonada reducida por 
renglones. Este tipo de matriz tiene las siguientes características. 
 
a) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la 
matriz. 
 
 
b) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos 
no todos son cero, es 1. 
 
c) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de 
abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba. 
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d) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene cero en el resto de sus elementos. El 
primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón. 
 
 
 
 
 
 
Las siguientes matrices, son ejemplos de matrices 
escalonadas reducidas por renglones. 
 
 
 
 
Matriz cuadrada 
 
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas, por ejemplo la matriz de las 
calificaciones de cálculo, álgebra y computación, tiene 3 filas y 3 columnas. 
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Los elementos que se encuentran en las posiciones donde el número de filas coincide con el de la 
columna, forman la diagonal de la matriz; en este ejemplo, las posiciones son , y 
. 
Una matriz que no es cuadrada tiene diferente número de filas y de columnas. Por ejemplo, el vector fila y 
el vector columna. 
 
 
 
 
Una diagonal de una matriz es la que forman las entradas, comenzando por cualquiera de la primera 
columna, y dirigiéndose hacia abajo en forma escalonada. 
 
La diagonal principal de una matriz se define para matrices de nxn. Ésta es la diagonal que va desde la 
esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. Es decir, si tenemos una matriz cuadrada de 
nxn, la diagonal principal está formada por las entradas aii. 
 
Dentro de las matrices cuadradas podemos encontrar diferentes tipos de matrices, como son: 
 
Matriz triangular 
 
Una matriz es triangular superior si es una matriz cuadrada y todos los elementos que se encuentran abajo 
de la diagonal principal son cero; en una matriz inferior sucede a la inversa, es decir, todos los elementos 
que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero. 
 
 
 
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La matriz A es triangular superior porque al construir un triángulo por arriba de la diagonal lo que queda 
abajo del triángulo son ceros (fíjate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del 
triángulo, lo importante es que debajo de él todas las entradas son ceros). 
 
La matriz B es triangular inferior, porque al construir un triángulo por debajo de la diagonal lo que queda 
arriba del triángulo son ceros (fíjate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del 
triángulo, lo importante es que arriba de él todas las entradas son ceros). 
 
Matriz diagonal 
 
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales son todas cero (fíjate bien que 
no importa como sean las entradas que quedan en la diagonal, lo importante es que tanto arriba de la 
diagonal como debajo de la misma, las entradas son ceros). 
 
 
 
 
 
Una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior. 
 
Matriz identidad 
 
Es la matriz que en la diagonal principal solo tiene números uno y en los demás elementos, ceros. En la 
siguiente matriz se ilustra la definición. 
 
 
Matriz cero 
 Es la matriz cuyos elementos son todos cero, por ejemplo: 
 
La matriz cero es tanto triangular superior, como triangular inferior, como diagonal. 
 
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Existen otros tipos especiales de matrices, las cuales daremos a conocer en el momento en que las 
utilicemos. Definimos las anteriores debido a que en todo momento las utilizaremos por ser las más 
básicas en álgebra lineal. 
 
 
2.2. Operaciones con matrices 
 
¿Sabías que…? 
Las hojas de cálculo, como las de Excel, son arreglos matriciales que te permiten manipular datos 
numéricos. Habitualmente se utilizan para realizar bases de datos, informes, gráficas estadísticas y 
clasificación de datos. Con ellas es posible hacer cálculos complejos con fórmulas y funciones y dibujar 
distintos tipos de gráficas. Para ello, se utilizan operaciones entre celdas. Cada celda representa una 
entrada de la matriz. 
 
Particularmente, Excel está compuesto por libros. Un libro es el archivo en que se trabaja y donde se 
almacenan los datos. Cada libro puede contener aproximadamente 250 hojas o carpetas. Cada hoja 
contiene aproximadamente 65.000 líneas y 256 columnas ordenadas numérica y alfabéticamente, 
respectivamente. 
 
La variedad de aplicaciones de las matrices se presenta a nuestro alrededor, y si bien es cierto que en 
todo momento las utilizamos, también es cierto que con ellas realizamos diferentes operaciones, sin 
darnos cuenta. 
 
Por ejemplo, en las situaciones más básicas, al realizar operaciones con los vectores, los cuales son 
matrices formadas por una columna o un renglón, al realizar la suma o resta de dos vectores columna o 
renglón, estamos realizando operaciones con matrices. 
 
Otras situaciones en las que se utilizan matrices más complejas, sería la comparación de precios. Si 
queremos adquirir los útiles escolares y comparamos la lista de precios en diferentes papelerías, 
estaríamos haciendo una diferencia de precios en un arreglo rectangular, lo cual es precisamente una 
resta de matrices. 
 
Si compramos uniformes escolares para