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Método de Newton-Raphson para encontrar raíces
Utilizando el método de Newton-Raphson, encuentra una aproximación de la raíz de la ecuación f(x) = cos(x) - x en el intervalo [0, 1] con una precisión de 0.0001, utilizando x_0 = 0.5 como estimación inicial.
Solución:
Aplicaremos el método de Newton-Raphson iterativamente hasta alcanzar la precisión deseada. Comenzamos con la estimación inicial x_0 = 0.5.
La fórmula de iteración para el método de Newton-Raphson es:
x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
Calculamos la derivada de f(x):
f'(x) = -sin(x) - 1
Sustituyendo los valores iniciales en la fórmula de iteración:
x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) = 0.5 - (cos(0.5) - 0.5) / (-sin(0.5) - 1) ≈ 0.7391
Continuamos iterando hasta que el cambio en el valor de x entre dos iteraciones consecutivas sea menor que la precisión deseada (0.0001).
Después de varias iteraciones, obtenemos que la raíz aproximada de la ecuación f(x) es x ≈ 0.7391.
