Formula metodo Newton-Raphson

Vista previa del material en texto

Método de Newton Raphson 
Método abierto para encontrar raíces de ecuaciones no lineales 
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea 
la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es 𝑥𝑖, entonces se 
puede trazar una tangente desde el punto [𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)] de la curva. Por lo común, el 
punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada 
de la raíz. 
𝑓′(𝑥𝑖) =
𝑓(𝑥𝑖) − 0
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
 
Que se arregla para obtener: 
𝑓′(𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥) 
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 =
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson. 
 
Convergencia Deficiente 
En ocasiones el método llega a fallar, y puede ser por alguno de los siguientes 
casos: 
 
 
 
 
 
 
De manera que no hay un criterio general de convergencia para el método de 
Newton-Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la 
exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial 
que sea “suficientemente” cercano a la raíz. ¡Y para algunas funciones ningún 
valor inicial funcionará! 
Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del 
problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, tales como las 
gráficas, que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solución. 
 
 
 
EJEMPLO 1 
Planteamiento del problema. 
Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 − 𝑥 
empleando como valor inicial 𝑥0 = 0. 
Solución 
La primera derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = −𝑒−𝑥 − 1 
Que se sustituye, junto con la función original en la ecuación para tener: 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2 
Encontrar una raíz para la ecuación no lineal: 
2𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) = −𝑥 𝑥0 = 1 
 
𝑖 𝑥𝑖 
0 1 
1 1.18928 
2 1.20566 
3 1.20603 
4 1.20604 
5 1.20604 
𝑖 𝑥𝑖 
0 0 
1 0.500000000 
2 0.566311003 
3 0.567143165 
4 0.567143290 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑒−𝑥−𝑥𝑖
−𝑒−𝑥−1
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
 
𝑓(𝑥) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙) + 𝒙 
𝑓′(𝑥) = 2𝜋𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) + 1 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
= 𝒙 −
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙) + 𝒙
𝟐𝝅𝒄𝒐𝒔(𝝅𝒙) + 𝟏
 
Gráfica: 
 
EJEMPLO 3 
Encontrar una raíz para la ecuación no lineal 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 − 3 𝑥0 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
𝑖 𝑥𝑖 
0 1 
1 −1.5 
2 −2.54167 
3 −2.15790 
4 −1.98489 
5 −1.94862 
6 −1.94713 
7 −1.94712 
8 −1.94712 
𝑓(𝑥) = 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
= 𝒙 −
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑
𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙