Métodos de solución de sistema de ecuaciones

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
Métodos Numéricos 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 3 
Métodos de solución de sistema de ecuaciones 
DOCENTE: 
ING.SALVADOR ZAMORA GARZA 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
 
 
 
Unidad 3. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones. 
3.1 Métodos de iterativos. 
Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como 
una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la 
solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con 
los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como 
resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los 
métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número 
grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos 
tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador 
disponible. 
3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. 
Considerando, inicialmente, el problema de encontrar una raíz de una función no-
lineal con dominio y valores reales, es decir, resolver la ecuación: 
Suponiendo que f es continua, con una sola raíz α[a, b], y que ésta es simple (f 
cambia de signo en ese lugar). 
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si la matriz de coeficientes 
es no singular. 
La existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no-lineales es mucho más 
complicado, difícil de determinar y con una mayor variedad de comportamientos. 
Para un sistema de ecuaciones lineales existen tres posibilidades: única, infinitas o 
ninguna solución. 
Una ecuación no-lineal puede tener cualquier número de posibles soluciones. 
Una ecuación no-lineal puede tener múltiples raíces, donde tanto la función como 
su derivada son iguales a cero. 
Esta propiedad significa que la curva tiene una tangente horizontal en el eje x. 
Si f(x) = 0 y f’(x) ≠ 0, entonces se dice que se tiene una raíz simple. 
 
 
TASAS DE CONVERGENCIA Y MÉTODOS ITERATIVOS 
Para verificar y comparar la efectividad de un método iterativo es necesario 
caracterizarlo, para esto se usa la tasa de covergencia. Hay ciertos aspectos que 
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_aproximaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
 
 
se deben tener en cuenta al respecto, por ejemplo que muchas ecuaciones no-
lineales no pueden resolverse aún con un número muy grande de iteraciones. 
El costo total de resolver un problema no-lineal depende del costo por iteración y 
del número de iteraciones requeridas para la convergencia. 
El error en la iteración k está dado por: 
Donde: xk es la solución aproximada en la iteración k y x* es la solución “verdadera”. 
Se dice de un método, que éste converge con tasa de convergencia r si: 
Y se dice de esta tasa de convergencia que, para una constante C ≠ 0: 
Si r=1 y C<1, la tasa de convergencia es lineal. 
Si r>1, la tasa de convergencia es súper lineal. 
Si r=2, la tasa de convergencia es cuadrática. 
MÉTODO DE BISECCIÓN 
 
Sea f una función continua en un intervalo [a, b], y f(a) x f(b) < 0. Por teorema del 
valor intermedio para funciones continuas, existe al menos un α ε(a, b), tal que f(α) 
= 0. 
Este método consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a, b], por la mitad, hasta 
que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz α sea menor que alguna 
tolerancia especificada ε. 
 
Ventajas: 
– Siempre converge. 
– Útil como aproximación inicial de otros métodos. 
Desventajas: 
– No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones 
calculadas xn, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace que una 
aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida. 
– Convergencia lenta. 
Método linealmente convergente, r = 1, C = 0.5. 
 
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON 
 
 
De acuerdo con la serie truncada de Taylor: 
Reemplazamos la función no-lineal f con esta función lineal, cuyo cero es fácilmente 
determinado, para hacer h = –f(x) / f’(x), asumiendo que f’(x) ≠ 0. Como lo de las 
dos funciones no se repite en general, entonces se vuelve a hacer el proceso. Esto 
motiva al siguiente esquema iterativo: 
El método de Newton–Raphson puede interpretarse como la aproximación de la 
función cerca de xk por la recta tangente f(xk). 
Desventajas del Método de Newton-Rhapson: 
- Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular. 
- Cuando un punto de inflexión, f’’(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz. 
- No existe un criterio general de convergencia. 
Tener un valor suficientemente cercano a la raíz. 
Apoyarse de herramientas gráficas. 
Conocimiento del problema físico. 
- Evaluación de la derivada. 
MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO 
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra 
equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es 
raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x). 
Definición: 
Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. 
Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo? 
Teorema de punto fijo: 
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g 
tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], 
y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo 
x ε[a, b]. La sucesión {xn}, conn definida, se encuentra mediante 
la fórmula de iteración: 
El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde 
la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia. 
La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de 
la iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*. 
 
 
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir, 
existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo es 
convergente si comienza dentro del intervalo. 
 
3.3 Iteración y convergencia de sistema de ecuaciones. 
Sistemas de Ecuaciones Lineales aparecen en muchos aspectos de las 
matemáticas aplicadas y la computación científica. Dichos sistemas de ecuaciones 
lineales son de la forma: 
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1 
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2 
: 
an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=bn 
En notación matriz-vector, un sistema de ecuaciones algebraicas lineales tiene la 
forma: 
 
A: Matriz. 
b: Vector. 
x: Es el vector de incógnitas a ser determinado. 
Lo siguiente conduce a la pregunta: ¿Puede el vector b ser expresado como una 
combinación lineal de las columnas de la matriz A? 
1. Los coeficientes de esta combinación lineal están dados por los componentes del 
vector solución x. 
2. Puede o no tener solución. 
3. Puede no ser única. 
 
 
 
TIPOS DE MATRICES 
Nos centraremos en Sistemas Cuadrados, es decir, aquellos que pueden ser 
representados por una matriz cuadrada: A[m,n], donde: m = n. 
Tipos especiales de matrices cuadradas: 
 
Matriz Identidad Matriz Simétrica 
 
Matriz Diagonal Matriz Bandeada 
 
Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior 
 
Singularidad y No Singularidad: 
Una matriz se dice que es singular si presenta una de las siguientes propiedades: 
· A no tiene inversa, es decir, no existe una matriz M tal que: 
A x M = M x A = I (matriz identidad). 
· det(A) = 0 
 
 
· Rango(A) < n : El rango de una matriz es el máximo número de filas o columnas 
linealmente independientes. 
· vi _|_ vj (i ≠ j), para cualquier vector v. 
La solubilidad de un sistema de ecuacioneslineales está determinado si la matriz 
es o no Singular. Si ésta es no Singular, el sistema tiene solución única, de lo 
contrario, es decir, si la matriz característica del sistema es Singular, el sistema 
puede tener infinitas soluciones, o ninguna en absoluto. 
 
El Método de Jacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos. 
Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son 
todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la 
tercera para x3, para obtener: 
 
En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n 
incógnitas, elMétodo de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el 
siguiente: 
 
El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, 
usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente 
iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se 
obtiene: 
 
En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada 
por: 
 
Convergencia del método: 
Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución. Se evalúan 
las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un órden 
de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por 
supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas): 
1. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), 
es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: 
 
Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la 
suma de los elementos de esa fila i. 
2. A partir de la siguiente identidad: 
 
Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A 
(D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida 
de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz 
triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se 
puede deducir la fórmula vectorial de este método: 
, k = 1, 2, ... 
De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1(L+U). Para 
que el método de Jacobi converja hacia una solución, para una norma matricial 
inducida. 
 
 
3. ρ(BJ), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la 
ecuación característica de la matriz BJ (det(BJ - λI)) es menor que 1. 
 
El método de Jacobi es el método iterativo más elemental; método iterativo ya que 
el proceso se repite tantas veces hasta llegara una tolerancia, a partir de un vecotr 
inicial (el vector de ceros la mayoría de las veces). 
 
 
Al igual que el Método de Jacobi, El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer 
iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas 
hasta llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se 
desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los valores anteriores de 
las x, también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta 
xi-1). 
 
 
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar la 
convergencia del mismo. 
Convergencia del método: 
Para determinar si el método de Gauss-Seidel converge hacia una solución. Se 
evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un 
órden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera 
por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas): 
1. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), 
es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: 
 
Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la 
suma de los elementos de esa fila i. 
2. A partir de la siguiente identidad: 
 
Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A 
(D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida 
de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz 
triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se 
puede deducir la fórmula vectorial de este método: 
, k = 1, 2, ... 
De donde BG (conocida como la matriz de iteración de Gauss-Seidel) es (D-L)-1U. 
Para que el método de Jacobi converja hacia una solución, para una norma matricial 
inducida. 
3. ρ(BG), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la 
ecuación característica de la matriz BG (det(BG - λI)) es menor que 1. 
 
El método de Gauss-Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi ya que 
usa valores recién calculados en la solución de las incógnitas a calcular. 
 
 
 
3.4 Aplicaciones. 
Un sistema de ecuaciones puede utilizarse para representar problemas del mundo 
real. Cuando hay dos variables y le dan dos datos acerca de cómo se relacionan 
esas variables, se utiliza un sistema de ecuaciones. 
 
 
 
 
Bibliografía 
siste google. (27 de abril de 2020). Obtenido de 
https://sites.google.com/site/portafoliousil2017g6/sistemas-de-ecuaciones-lineales-
metododos-de-solucion-aplicaciones 
sites google. (27 de abril de 2020). Obtenido de 
https://sites.google.com/site/tasksnumericalmethods/unidad-3-metodos-de-solucion-de-
sistemas-de-ecuaciones/3-1-sistemas-de-ecuaciones-no-lineales 
sites google. (27 de abril de 2020). Obtenido de 
https://sites.google.com/site/tasksnumericalmethods/unidad-3-metodos-de-solucion-de-
sistemas-de-ecuaciones/3-2-iteracion-y-convergencia-de-sistemas-de-ecuaciones 
wikipedia. (27 de abril de 2020). Obtenido de 
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativo 
 
 
 
 
 
Métodos de solución de 
sistemas de ecuaciones 
Métodos de iterativos. 
Un método iterativo trata de resolver 
un problema matemático (como 
una ecuación o un sistema de 
ecuaciones) 
mediante aproximaciones sucesivas a 
la solución, empezando desde una 
estimación inicial. Esta aproximación 
contrasta con los métodos directos, que 
tratan de resolver el problema de una 
sola vez (como resolver un sistema de 
ecuaciones Ax=b encontrando la 
inversa de la matriz A). 
Los métodos iterativos son útiles para 
resolver problemas que involucran un 
número grande de variables (a veces del 
orden de millones), donde los métodos 
directos tendrían un coste prohibitivo 
incluso con la potencia del mejor 
computador disponible. 
Sistemas de 
ecuaciones no lineales 
Un sistema de ecuaciones lineales tiene 
solución única si la matriz de coeficientes 
es no singular. 
La existencia y unicidad de soluciones 
de ecuaciones no-lineales es mucho 
más complicado, difícil de determinar y 
con una mayor variedad de 
comportamientos. 
 
Para un sistema de ecuaciones lineales 
existen tres posibilidades: única, infinitas 
o ninguna solución. 
Una ecuación no-lineal puede tener 
cualquier número de posibles 
soluciones. 
Una ecuación no-lineal puede tener 
múltiples raíces, donde tanto la función 
como su derivada son iguales a cero. 
Esta propiedad significa que la curva 
tiene una tangente horizontal en el eje x. 
Si f(x) = 0 y f’(x) ≠ 0, entonces se dice 
que se tiene una raíz simple. 
 
Iteración y convergencia de 
sistema de ecuaciones. 
Sistemas de Ecuaciones Lineales aparecen en 
muchos aspectos de las matemáticas 
aplicadas y la computación científica. Dichos 
sistemas de ecuaciones lineales son de la 
forma: 
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1 
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2 
 
an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=bn 
En notación matriz-vector, un sistema de 
ecuaciones algebraicas lineales tiene la forma: 
 
A: Matriz. 
b: Vector. 
x: Es el vector de incógnitas a ser 
determinado. 
Lo siguiente conduce a la pregunta: ¿Puede el 
vector b ser expresado como una combinación 
lineal de las columnas de la matriz A? 
1. Los coeficientes de esta combinación lineal 
están dados por los componentes del vectorsolución x. 
2. Puede o no tener solución. 
3. Puede no ser única. 
 
Aplicaciones 
Un sistema de ecuaciones puede 
utilizarse para representar problemas 
del mundo real. Cuando hay dos 
variables y le dan dos datos acerca 
de cómo se relacionan esas 
variables, se utiliza un sistema de 
ecuaciones. 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_aproximaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)