Método de integración numérica

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Método de integración numérica (regla del trapecio)
Utiliza la regla del trapecio para aproximar la integral definida ∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx utilizando 4 subintervalos de igual longitud.
Solución:
La regla del trapecio para aproximar una integral definida en [a, b] se calcula mediante la fórmula:
∫[a to b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑[i=1 to n-1] f(x_i) + f(b)]
Donde h es la longitud de cada subintervalo, n es el número de subintervalos y x_i son los puntos en los que evaluamos la función f(x).
En este caso, tenemos a = 0, b = 2 y utilizaremos 4 subintervalos de igual longitud, por lo que h = (b - a) / n = (2 - 0) / 4 = 0.5.
Aplicando la fórmula del trapecio con los puntos de evaluación y la función dada:
∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.5/2 * [f(0) + 2(f(0.5) + f(1) + f(1.5)) + f(2)]
Sustituyendo los valores:
∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25 * [0 + 2((0.5^3 + 2(0.5)) + (1^3 + 2(1)) + (1.5^3 + 2(1.5))) + (2^3 + 2(2))]
Calculando las expresiones dentro de los paréntesis:
∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25 * [0 + 2(0.875 + 2.5 + 5.625) + 12]
Finalmente, simplificando la expresión:
∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25 * [0 + 2(8) + 12] = 0.25 * 40 = 10
Por lo tanto, utilizando la regla del trapecio con 4 subintervalos, la aproximación de la integral definida ∫[0 to 2] (x^3 + 2x) dx es aproximadamente 10.