MÉTODOS 1

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1. (7 PUNTOS)
Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es
proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con
v(t)= tanh
donde c d = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g = 9,81 m/s 2 , m = 68,1 kg y c d =
0,25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 s. b)
Haga lo mismo, pero evalúe la integral con la regla del trapecio y la regla parabólica de
segmento múltiple. Use n =10 segmentos. Asimismo, obtenga los resultados empleando el
método de cuadratura de Gauss-Legendre de tres y cuatro puntos. Finalmente, resuelva el
caso por integración de Romberg con una precisión de tres cifras significativas en el resultado
final. Compare sus resultados con la solución analítica, calcule el |ev | para cada resultado
numérico.
Desarrollo:
Se define la integral:
I=
Se reemplazan los valores:
G=9.81m/s2
m=68.1 kg
cd=0.25 kg/m
I= = 
a) Valor Real es 334.18
b) Trapecio
1. Calcular valor de h, puntos (xi) y su evaluación (f(xi))
h = b-a = 10-0 =10
T0 = a = 0 → f(0) = 51.6673978*tanh(0.18967474*0) = 0
T1 = b = 10 → f(10) = 51.6673978*tanh(0.18967474*10)= 49.4214
2. Utilizamos la fórmula de Trapecio 
I= 
3. Fin
El valor de la integral es 333.4298
		Error= 
1. Calcular el valor de h, puntos (xi) y su evaluación (f(xi))
h= = = 3.33 
t0= a = 0 → f(0) = 51.6673978*tanh(0.18967474) = 0
t1= a + h = 3.33 → f(5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*3.3) = 28.9392
t2= a + 2h = 6.7 → f(5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*6.7) = 44.0677
t3= b = 10 → f(10) = 51.6673978*tanh(0.18967474*10) = 49.4214
2. Utilizar la fórmula de trapecio
I==325.7253
3. Fin
El valor de la integral es 325.7253
Error = = 2.45%
Trapecio compuesto
1. Calcular de h, puntos (xi) y su evaluación (f(xi))
h= = = 2.5
t0= a = 0 → f(0) = 51.6673978*tanh(0.18967474*0) = 0
t1 = a + h = 2.5 → f(2.5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*2.5) = 22.81508
t2 = a+2h = 5 → f(5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*5) = 38.18457
t3 = a + 3h = 7.5 → f(7.5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*7.5) = 46.0220
t4 = b = 10 → f(10) = 51.6673978*tanh(0.18967474*10) = 49.4214
2. Utilizamos la fórmula de Trapecio compuesto
I=
Reemplazamos 
I= = 329.4623
3. Fin
El valor de la integral es 329.4623
Error = = 1.334%
Método de cuadrados de Gauss-Legendre de tres y cuatro puntos
I= 
Antes de integrar la función, hacemos cambio de variable para que los límites sean -1 y +1. Sustituimos a=1 y b=10 en t=5(1+z)
La derivada de estar relación es:
dt=5dz
Ambas ecuaciones se sustituyen en la ecuación original para dar:
I=51.69375204 
F(z)= 5*tanh
Cuadrado de Gauss-Legendree de tres puntos
I=C1 x (5xtanh+ C2 x (5x tanh(0.1897714833*(5(1+z2)) + C3 x (5 x tanh(0.1897714833*(5(1+z3)) 
Con C1= 0.5555556; C2= 0.8888889 y C3= 0.05555556
También: z1= 0.7745967; z2=0.0; z3=0.7745967
Reemplazando y operando estos datos en I obtenemos como resultado
I= 6,4634879
Entones 
d=51.69375204*6.4634879 = 334.1219m
Cuadrados de Gauss-Legendre de cuatro puntos
I=(0.347…)[F(-0.861…)+F(0.861…)] + (0.652…)[F(-0.339…) + F(0.339…)]
I= 6.4648040
Entonces
d=51.69375204*6.4634879 = 334.19m 
Calculando |Ɛv|
1. Regla del trapecio (use n=10segmentos)
Calculamos el valor de h con n=1
h=b-a = 10 – 0 = 10
T0 = a = 0 → f(0) = 51.6673978*tanh(0.18967474*0) = 0
T1 = b = 10 → f(10) = 51.6673978*tanh(0.18967474*10)= 49.4214
Fórmula del trapecio 
I= = 247.1068
	Calculamos el valor de h con n=2
h= = = 5
t0= a = 0 → f(0) = 51.6673978*tanh(0.18967474*0) = 0
t1= a + h = 5 → f(5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*5) = 38.2154
t2= b = 10 → f(5) = 51.6673978*tanh(0.18967474*10) = 49.4214
Calculamos la integral según la fórmula del trapecio 
I= = 314.6304
2. El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura, presión y volumen constantes se calcula por medio de
W =
donde W es el trabajo, p la presión y V el volumen. Con el empleo de una combinación de la regla del trapecio, la de Simpson 1 / 3 , y la de Simpson 3 / 8 , utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ = kN.m):
Presión (kPa) 		336,0 	294,4 	266,4 	260,8 	260,5 	249,6 	193,6 	165,6
Volumen (m3) 		0,5 2 	3 	4 	6 	8 	10 	11
R=
	MÉTODO
	a
	b
	c
	D
	TRAPECIO
	0.5
	2
	1.5
	1
	SIMPSON 1/3
	2
	4
	1
	2
	SIMPSON 3/8
	4
	10
	2
	3
	TRAPECIO
	10
	11
	1
	1
Trapecio: 
I1= = 472.8
SIMPSON 1/3 
I2=
SIMPSON 3/8
I3= = 1488.525
TRAPECIO
I4= = 179.6
Entonces la integral es:
ITotal = I1+I2+I3+I4= (472.8+540.27+1488,525+179.6) = 2681.195 KJ
4. (4 PUNTOS) 
Se mide la velocidad v (m/s) del aire que fluye por una superficie plana a
distintas distancias, y (m) de la superficie. Determine el esfuerzo cortante t (N/m 2 ) en la superficie (y = 0) usando la ley de viscosidad de Newton.
t=µ
Suponga un valor de viscosidad dinámica μ = 1.8x10 –5 N.s/m 2 .
y, m 	0 	0,002 	0 0,006 	0 0.001 	2 0.018 	0 0,024 0
v, m/s 	0 	0,287 	0,899 		1,915 		3,048 		4,299
Desarrollo:
 
	, m
	, m/s
	dv/dy
	0
	0
	143,5
	0,002
	0,287
	153
	0,006
	0,899
	159,583
	0,012
	1,915
	179
	0,018
	3,048
	198,583
	0,024
	4,299
	218,333
Para aproximar a 0, usamos la fórmula de 2 puntos hacia delante
 , 
entonces = 143,5
El esfuerzo cortante sería: 
Para aproximar a 0,002; usamos la fórmula de 2 puntos hacia delante
 = 153
El esfuerzo cortante sería: 
 
Para aproximar a 0,006; usamos la fórmula de 3 puntos hacia delante
El esfuerzo cortante sería: t= (1.8*10-5)(159.583) = 2.872494 x10-3
Para aproximar a 0,012; usamos la fórmula de 3 puntos hacia delante:
El esfuerzo cortante sería:
Para aproximar a 0,018; usamos la fórmula 3 puntos hacia delante: 
El esfuerzo cortante sería:
Para aproximar a 0,024; usamos la fórmula de 3 puntos hacia atrás.
	
El esfuerzo cortante sería: