Unidad I Problemas con valor en la frontera

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Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales
En general, tenemos que para una ecuación lineal de una sola 
variable, el método de Newton-Raphson es,
Para la función f(x) se pueden encontrar sus raíces, es decir los 
valores para los cuales la función se hace cero,
El método consiste en suponer un valor inicial de Xi, y con este 
valor se evalúa la función y su derivada, para calcular una nueva 
Xi+1 la solución al sistema se encuentra cuando la diferencia 
entre Xi+1 y Xi aproximadamente cero.
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Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales
Este mismo concepto lo podemos aplicar para un conjunto
de funciones de varias variable que no son lineales. Para
aplicar el método, el conjunto de funciones no lineales, son
linealizadas usando las series de Taylor,
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Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones 
por el método de newton
›3*x-cos(y*z)-0.5 = 0
›4*x^2-625*y^2+2*y-1 = 0
› exp(-x*y)+20*z-1+10*pi/3 = 0
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Código de Matlab “Método de Newton”
› function newtonsistema
› syms x y z
› xo=[0;0;0];
› fname=[3*x-cos(y*z)-0.5;4*x^2-625*y^2+2*y-
1;exp(-x*y)+20*z-1+10*pi/3];
› fprima=jacobian(fname);
› tolerancia=1.e-10;
› maxiter = 30;
› iter = 1;
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› f=inline(fname); %Objeto de tipo fila
› jf=inline(fprima);%funcion línea
› error=norm(f(xo(1),xo(2),xo(3)),2);
› fprintf('error=%12.8f\n', error);
› while error >= tolerancia
› fxo=f(xo(1),xo(2),xo(3));
› fpxo=jf(xo(1),xo(2),xo(3));
› x1=xo-inv(fpxo)*fxo;
› fx1=f(x1(1),x1(2),x1(3));
› error =norm((fx1),2);
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Código de Matlab “Método de Newton”
› fprintf(' Iter %2d raiz x=(%14.9f,%14.9f,%14.9f) 
f(x)=(%14.9f,%14.9f,%14.9f)\n',iter,x1(1),x1(2),x1(
3),fx1(1),fx1(2),fx1(3));
› if iter > maxiter
› fprintf(' Numero maximo de iteraciones 
excedido \n');
› return;
› end
› xo=x1;
› iter=iter+1;
› end
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Código de Matlab “Método de Newton”
Solución del sistema
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Métodos numéricos avanzados
Unidad I. Problemas con valor en la frontera
IQI. Luis Alfredo Platas Román
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Métodos ́numéricos avanzados
› Unidad I-II: Problemas con valor en la frontera 
› Competencia: Aplica métodos iterativos para la
resolución de problemas de valores en la frontera en
ecuaciones diferenciales
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Desagregado de contenido
› 2.1 Método del disparo
› 2.2 Método de las diferencias finitas
. 
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Introducción
Recuerde que una (EDO) se acompaña de condiciones auxiliares.
Estas condiciones se utilizan para evaluar las constantes de
integración que resultan durante la solución de la ecuación. Si
todas las condiciones se especifican para el mismo valor de la
variable independiente, entonces se trata de un problema de valor
inicial (figura 1).
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Introducción
Hay otra aplicación en la cual las condiciones no se conocen para
un solo punto, sino, más bien, se conocen en diferentes valores de
la variable independiente.
Debido a que estos valores se especifican en los puntos extremos o
frontera de un sistema, se les conoce como problemas de valores
en la frontera (figura 2). Muchas aplicaciones importantes en
ingeniería son de esta clase.
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Práctica en clase Método disparo: EDO lineales
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Solución en Matlab
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Tarea: Método de Diferencias finitas (no lineales)
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