La Estimación puntual (Ejercicios propuestos)

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ESTIMACIÓN PUNTUAL 
 
1.- Demuestre que si se define 
 
+=
n
in x
n
xˆ
2
1
2
1
2
1
 
Entonces 
 
 =→ )ˆ(lim nn E 
 
Pero 
 
 )ˆlim( np . 
 
Entonces )ˆ(Elim)ˆlim(p nn  . Por lo tanto se tiene un estimador asintóticamente 
insesgado de  que no es consistente. 
 
 
 
2.- Demostrar que la proporción muestral P = X/n es un estimador consistente de la 
proporción poblacional θ. 
 
 
 
3.- Sea X1, X2, …,X7 una muestra aleatoria de una población que tiene media μ y 
varianza σ ². Considere los siguientes estimadores de θ: 
 
 y 
 
a. ¿Alguno de estos estimadores es insesgado? 
b. ¿Cuál estimador es el "mejor"? ¿En qué sentido es mejor? 
 
 
 
4.-Suponga que y son estimadores insesgados del parámetro θ. Se sabe que 
V( ) = 10 y V( ) =4. ¿Cuál estimador es "mejor" y en qué sentido lo es? 
 
 
 
5.- Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 3. 
 
 
 
6.- Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 4. 
 
 
 
7.- De una población que tiene media μ y varianza σ², se toman tres muestras aleatorias 
de tamaños n1 = 20, n2 = 10 y n3 = 8. Sean S1², S2², S3² las varianzas muestrales. 
Demuestre que: 
 
S² = (20S1² + 10S2² + 8S3²)/35 es un estimador insesgado de σ² 
 
 
8.- 
a) Demuestre que es un estimador sesgado de σ² 
b) Determine la magnitud del sesgo en el estimador. 
c) ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaño n de la muestra? 
 
 
 
9.- Sea X1, X2, …,Xn una muestra aleatoria de tamaño n. 
a) Demuestre que es un estimador sesgado de σ ² 
b) Determine la magnitud del sesgo en este estimador. 
c) ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaño n de la muestra? 
 
 
10. Demuestre que es un estimador asintóticamente insesgado de σ ². 
 
 
11. Demuestre que la proporción de la muestra es un estimador insesgado de 
varianza mínima del parámetro binomial θ.