Taller de estadística (Ejercicios Resueltos)

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Estadística
Soluciones Tarea 1
1. Una urna contiene una bola negra y una roja. Una segunda urna contiene una bola
blanca y una roja. Se selecciona aleatoriamente una bola de cada urna.
(a) Defina el espacio muestral para este experimento.
Solución. Representemos los datos del problema como: U1 = {N,R} y U2 = {B,R}.
Entonces, el espacio muestral es el conjunto
Ω = {(N,B), (N,R), (R,B), (R,R)}
(b) Defina una σ-álgebra para este experimento.
Solución. Sabemos que el conjunto potencia 2Ω, el conjunto de todos los subconjuntos
de Ω, es una σ-álgebra. Una σ-álgebra no trivial es el conjunto {∅,Ω, {(N,B)}, {(N,R), (R,B), (R,R)}}.
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas tengan el mismo color?
Solución. Definamos A = {las bolas seleccionadas son del mismo color} = {(R,R)}.
Por lo tanto,
Prob(A) =
1
4
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola sea verde?
Solución. Definamos B = {alguna de las bolas es verde} = ∅. Por lo tanto,
Prob(B) = 0
2. Se acomodan 10 libros al azar en el estante de un librero. Hay dos libros de mecánica
cuántica, tres libros de historia del arte y 5 libros de estadı́stica. ¿Cuál es la probabilidad de
que todos los libros del mismo tópico queden juntos?
Solución. Notemos que Ω = {todos los posibles arreglos de 10 libros distintos}, en-
tonces |Ω| = 10!.
Por otro lado, sea A = {libros del mismo topico quedan juntos}, por ello consider-
aremos que cada tópico representa un ”libro”, estos 3 ”libros”pueden acomodarse de 3! for-
mas. Además, notemos que el que los libros hablen del mismo tema no implica que sean
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iguales, por ello nos importa el orden. Entonces, los libros de mecánica cuántica se pueden
ordenar 2!, los de estadı́stica 5! y los de historia del arte 3!. Por el principio de la multiplicación,
|A| = 3!2!3!5!.
Por lo tanto Prob(A) = 3!2!3!5!10! .
3. En un juego el participante tiene tres oportunidades de anotar un tiro. En los tres
intentos tiene que alternar la mano que utiliza; entonces tiene dos posibles estrategias: mano
derecha, mano izquierda, mano derecha; o mano izquierda, mano derecha, mano izquierda.
La probabilidad de anotar con la mano izquierda es 0,8 y con la mano derecha es solo 0,5.
Si el participante gana el juego al anotar al menos dos tiros consecutivos, ¿qué estrategia le
conviene más? Escriba en general la respuesta para probabilidades de éxito p1 y p2 (en lugar
de 0,8 y 0,5).
Solución. Definamos I = {Anotar con la mano izquierda} yD = {Anotar con la mano derecha}.
Tenemos las estrategias IDI y DID, queremos saber cual es la estrategia que más la convenga.
La Prob(Anotar 3 tiros siguiendo IDI) = Prob(Anotar 1er tiro con I)Prob(Anotar 2do tiro con D)Prob(Anotar 3er tiro con I),
pues son eventos independientes. Por consiguiente Prob(Anotar 3 tiros siguiendo IDI) =
(0,8)(0,5)(0,8) = 0,32.
Análogamente, la Prob(Anotar 3 tiros siguiendo DID) = (0,5)(0,8)(0,5) = 0,2.
Por lo tanto la estrategia que más le conviene es IDI . Si p1 = Prob(I) y p2 = Prob(D),
entonces: IDI es la mejor estrategia si p21p2 > p1p
2
2, lo anterior se cumple sı́ y sólo si p1 > p2 >
0.
4. Se lanza un dado rojo y uno negro, ambos equilibrados. Calcule las siguientes prob-
abilidades:
(a) Obtener un 3 con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es 6.
Solución. Sabemos que Ω = {(r, n) : r, n = 1, 2, . . . , 6}, donde r representa el número
obtenido por el dado rojo y n el número obtenido por el dado negro.
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Tenemos que S = {(r, n) : r + n = 6}, A1 = {(3, n) : n = 1, 2, . . . , 6}. Entonces
Prob(A1|S) =
Prob(A1 ∩ S)
Prob(S)
=
1
36
5
36
=
1
5
(b) Obtener un número par con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es 6.
Solución. Sea A2 = {(r, n) : r = 2, 4, 6 y n = 1, 2, . . . , 6}. Entonces
Prob(A2|S) =
Prob(A2 ∩ S)
Prob(S)
=
2
36
5
36
=
2
5
(c) Obtener un número par con el dado rojo sabiendo que la suma de los dados es
mayor de 6.
Solución. Sea T = {(r, n) : r + n > 6} y A3 = A2. Entonces
Prob(A3|T ) =
Prob(A3 ∩ T )
Prob(T )
=
12
36
21
36
=
12
21
(d) Obtener al menos un número par sabiendo que la suma de los puntos es menor o
igual a 10.
Solución. Sea R = {(r, n) : r + n ≤ 10} y A4 = {(r, n) : r o n es un número par}.
Entonces
Prob(A4|R) =
Prob(A4 ∩R)
Prob(R)
=
24
36
33
36
=
24
33
3
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5. Suponga que se sabe que una fracción de 0.001 de las personas de un pueblo tienen
influenza. Una prueba de influenza tiene las siguientes propiedades: Si la persona tiene in-
fluenza, la prueba lo indicará con una probabilidad de 0.999. Si una persona no tiene influenza,
hay una probabilidad de 0.02 de que la prueba indique erróneamente que sı́ la tiene. Para una
persona escogida aleatoriamente, la prueba muestra que tiene influenza, ¿cuál es la probabil-
idad de que realmente la tenga?
Solución. Consideremos los siguientes eventos
I = personas con influenza
M = la máquina detecta que tiene influenza
Además, conocemos las siguientes probabilidades: P (I) = 0,001, P (M |I) = 0,999 y P (M |Ic) =
0,02. La probabilidad que queremos es:
P (I|M) = P (M |I)P (I)
P (M |I)P (I) + P (M |Ic)P (Ic)
=
(0,999)(0,001)
(0,999)(0,001) + (0,02)(0,001)
6. La urna A contiene dos bolas blancas y dos bolas negras; la urna B tiene tres bolas
blancas y dos negras. Una bola se toma de la urna A y se traslada a la urna B, después se
extrae una bola blanca de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola transferida de A
a B sea blanca?
Solución. Queremos la probabilidad de que la bola transferida sea blanca dado que
se extrajo una bola blanca de B. Mediante un diagrama de árbol obtenemos las siguientes
probabilidas
P (La bola transferida sea blanca) =
1
2
P (La bola transferida se negra) =
1
2
P (Extraer de B bola blanca|La transferida fue blanca) = 2
6
P (Extraer de B bola blanca|La transferida fue negra) = 3
6
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entonces
P (Transferir blanca|Extraer de B bola blanca) =
2
6
1
2
1
2
3
6 +
1
2
2
6
=
2
5
7. Si A y B son independientes, P (A) = 1/3 y P (Bc) = 1/4, encuentre P (A ∪B).
Solución. Sabemos lo siguiente
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
= P (A) + P (B)− P (A)P (B)pues son independientes
= P (A) + 1− P (Bc)− P (A)(1− P (Bc))
=
1
3
+
3
4
− 1
3
3
4
=
5
6
8. Se arrojan dos dados (bien equilibrados) con 4 caras (numerados 1,2,3,4) Se define
el evento A como ?en el segundo dado se obtiene un número par?
(a) Defina el espacio muestral.
Solución. Tenemos que Ω = {(x, y)|x, y = 1, 2, 3, 4}.
(b) Encuentre un evento B tal que A y B sean eventos independientes.
Solución. Necesitamos B tal que P (A∩B) = P (A)P (B). Proponemos B = {1, 2, 3, 4}×
{1, 2}. Notemos que A ∩B = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)}, por consiguiente
P (A ∩B) = 4
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=
8
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1
2
(c) Encuentre un evento C tal que A y C no sean eventos independientes y además
P (A|C) > P (A).
Solución. Sea C = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)}. Como A′capC = C, tenemos que
P (A|C) = 1 > 8
16
= P (A)
(d) Encuentre un evento D tal que A y D no sean eventos independientes y que además
P (A|D) < P (A).
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Solución. Consideremos D = {(1, 3)}. Entonces A ∩ C = ∅, por consiguiente
P (A|D) = 0 < 8
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= P (A)
9. Considere las siguientes afirmaciones. Si considera que son verdaderas, demuéstralas,
de lo contrario escriba un contraejemplo.
(a) Si P (A) = 0, entonces P (A ∩B) = 0
Solución. Verdadera. Sabemos que
P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B)
= P (B)− P (A ∪B)
Como B ⊂ A ∪B, P (B) ≤ P (A ∪B), entonces P (B)− P (A ∪B) = 0.
(b) Si P (A)?P (B) entonces A ⊂ B
Solución. Falsa. Siguiendo el problema 8, sean A = {(1, 1)}, B = {(2, 2), (3, 3)}.
(c) Si P (A) > 0 entonces P (A ∩B) > 0.
Solución. Falso. Consideremos conjuntos ajenos.
(d) Si P (A) > 0 entonces P (Ac) > 0
Solución. Falso. A = Ω.
(e) Si P (A) > 0 entonces P (Ac) < 12
Solución. Falso. Consideremos P (A) = 1/3, entonces P (Ac) = 2/3 > 1/2.
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