ALGEBRA DE BOOLE

Vista previa del material en texto

ALGEBRA DE BOOLE
BIOGRAFIA GEORGE BOOLE (1813-1864)
Matemático británico. Autodidacta, fundó su propia escuela de enseñanza elemental. Publicó diversos artículos sobre la combinación del álgebra y el cálculo, y desarrolló un álgebra propia, que aplicó a la lógica, sosteniendo que ésta debería ser una rama de las Matemáticas, en lugar de la Filosofía. Fue el iniciador de la lógica simbólica, que representa los procesos del razonamiento mediante símbolos matemáticos. Sus trabajos impresionaron a sus colegas de la época, lo que le ganó en 1849 el puesto de profesor del Queen´s College de Cork, que le fue ofrecido a pesar de que no tenía título universitario.
El álgebra de Boole se aplica a cualquier conjunto (llamado retículo) en el que se definen dos operaciones, que representaremos arbitrariamente con los símbolos + y *, que poseen las cuatro propiedades siguientes:
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
A * (B * C) = (A * B) * C
Conmutativa:
A + B = B + A
A * B = B * A
Idempotente:
A + A = A
A * A = A
Simplificación:
A + (A * B) = A
A * (A + B) = A
El álgebra de Boole se define matemáticamente como un retículo distributivo y complementario. Es decir, además de las propiedades anteriores, cada elemento tiene otro complementario y se cumple la propiedad distributiva:
A + ( B * C ) = ( A + B ) * ( A + C )
A * ( B + C ) = ( A * B ) + ( A * C )
El álgebra de Boole puede aplicarse directamente a la teoría de conjuntos, donde las dos operaciones anteriores son la unión y la intersección. También se aplica a la lógica, donde el conjunto en cuestión tiene sólo dos elementos, correspondientes a los valores de verdad (verdadero y falso), y las dos operaciones son la conjunción (Y) y la disyunción (O). Esta versión del álgebra de Boole tuvo insospechadas aplicaciones en la conmutación telefónica y en los computadores electrónicos, que trabajan también con entidades que sólo pueden tomar dos valores posibles, que usualmente se representan mediante los números 0 y 1. Boole trató asimismo de aplicar su álgebra al desarrollo de una lógica probabilística.
En 1857, fue nombrado miembro de la Royal Society de Londres. Entre todas sus obras, destaca el libro de " Investigación de las leyes del pensamiento " (1854). También publicó dos textos, " Tratado de las ecuaciones diferenciales " (1859) y " Tratado sobre el cálculo de diferencias finitas " (1860), ampliamente utilizados. Su álgebra es, esencialmente, la base de lo que se suele llamar (incorrectamente) las nuevas Matemáticas.
ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
Proposición: 
Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que son:
VERDADERO (V) o FALSO (F)
Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.
Ejemplo
a) La expresión 15 + 5 = 21 es una proposición que se puede indicar brevemente de la forma
p: 15 + 5 = 21
cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante V(p) = F
b) Sea la proposición 
r: el número 15 es divisible por 3			 	V(r) = V
Funciones Proposiciones:
 
Si en la proposición "cinco es mayor que tres" (en símbolos es 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función proposicional y se anota p(x) o p(x). 
Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el que aparece x como sujeto y que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable.
Ejemplo
Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad:
p(4) = V y	p(2) = F
Ejemplos
p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13 13 > 11 (Verdadero)
q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q(5) = 22 22 = 16 (Falso)
r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5 5 = 5 (Verdadero) 
Observación
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o más enunciados simples. 
Operaciones Lógicas:
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.
	Operación
	Símbolo
	Significado
	Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Implicación
Doble implicación
Diferencia simétrica o Disyunción excluyente
	~
	“no …..” o “no es cierto que …
“…. y ….”
“… o …” (en sentido incluyente)
“… implica …”, o “si… entonces …”
“… si y sólo si …”
“ … o …” (en sentido excluyente)
Negación:
Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que define a la negación lógica o simplemente negación se presenta generalmente, en forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad. 
La tabla de verdad de la negación es:
Observamos que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.
	p
	~p
	V
F
	F
V
Ejemplo
Sea la proposición p: 3 > 1, su negación es ~ p: 3 ≤ 1. 
Se observa que V(p) = V y V (~ p) = F
Conjunción o Producto Lógico:
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición compuesta p q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
	p
	q
	p q
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
F
F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una operación binaria.
Ejemplos
a) Sean las proposiciones
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Entonces la conjunción entre p y q es 
p q: 5 es un número impar y 6 es un número par
Se obtienen los siguientes valores de verdad:
V(p q) = V
V(~p q) = F
Disyunción o Suma lógica:
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee “p o q”) cuya tabla de valores de verdad es:
	p
	q
	p q
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
V
V
F
La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para evitar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas, o bien, se utiliza la disyunción excluyente para interpretar otra situación.
Ejemplo
Sean las proposiciones 
 p: 5 es un número impar y q: 6 es un número par
La proposición compuesta que indica la disyunción entre p y q es
p q: 5 es un número impar o 6 es un número par
El valor de verdad del enunciado compuesto anterior es 
V(p q) = V
El valor de verdad del enunciado compuesto ~ p ~ q es V (~p ~q) = F
Implicación o Condicional:
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:
	p
	q
	p q
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
V
V
	La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Sean las proposiciones
p: José es mendocino y q: José es argentino 
La proposición compuesta p implica q es
p q: Si José es mendocino, José es Argentino
V (p q) = V
V (p ~q) = F
V (q p) = F
Expresiones sinónimas
p q
Si p entonces q
Si p, q
Todo p verifica q
p implica q
p sólo si q
q si p
q cuando p
Si además V ( p q ) = V, se dice que
p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p
Implicaciones asociadas:
Dada la implicación p q, que llamaremos directa, existen varias implicacionesasociadas, una de ellas es la implicación contrarrecíproca ~q ~p. Haciendo la tabla de verdad
	p
	q
	p q
	~p
	~q
	~q ~p
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
V
V
	
F
F
V
V
	F
V
F
V
	V
F
V
V
se observa que los valores de verdad de las implicaciones p q y ~q ~p son iguales. Se dice que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor de verdad.
¿Cómo son los valores de verdad de la implicación p q y de la denominada implicación recíproca q p?
Doble Implicación o Bicondicional:
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es
	p
	q
	p q
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
F
V
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos:
	p
	q
	p q
	q p
	(p q) (q p)
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
V
V
	V
V
F
V
	V
F
F
V
Proposiciones lógicamente equivalentes: 
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q
Ejemplo
Sea la proposición compuesta p q, recordamos su tabla de verdad
	p
	q
	p q
	V
V
F
F
	V
F
V
F
	V
F
V
V
Ahora bien, si analizamos la proposición compuesta ~p q, su tabla de verdad es
	p
	~p
	q
	~p q
	V
V
F
F
	
F
F
V
V
	V
F
V
F
	V
F
V
V
Se observa que las tablas de valores de verdad de ambas proposiciones son iguales. Se dice que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:
(p q) (~p q)
Clasificación de proposiciones: Tautología, contradicción y contingencia
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. 
Por ejemplo,
~ {(p q) (s t)}
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.
Ejemplo
Analizando la proposición p ~p mediante la tabla de verdad, se tiene:
	p
	~p
	p ~p
	V
F
	F
V
	V
V
Se observa que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición p ~p es siempre verdadera. Luego, la proposición compuesta p ~p es una tautología.
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo
Analicemos la fórmula lógica p ~p
	p
	~p
	p ~p
	V
F
	F
V
	F
F
La fórmula es siempre falsa, es una Contradicción.
NOTA: Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.
Cuantificación de las funciones proposicionales: 
Cuantificadores:
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos “x” y “x”, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente. Las expresiones
“para todo x, se verifica p(x) ” se denota en símbolos por x : p(x) 
”existe x, tal que se verifica p(x)” se denota en símbolos por x : p(x)
corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Ejemplos
a) Todo número natural es entero. 
b) Existen números enteros que son naturales.
c) Todo número entero es racional
d) Existen números irracionales que son naturales
Negación de funciones proposicionales cuantificadas
Un problema de interés, no sólo en Matemática, sino en las restantes ciencias, es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, la negación de 
"Todos los enteros son impares" ( x : p(x))
es
"Existen enteros que no son impares" ( x / ~p(x))
Luego, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional.¿Cómo se niega una función proposicional cuantificada existencialmente?
Demostración matemática:
Todo teorema matemático se puede formular como una implicación
p 	 		q
Hipótesis 	 	Tesis
Premisa Conclusión
Esta implicación puede ser V o F.
Para realizar una demostración, se usan los llamados métodos directos o indirectos.
Método directo: a partir de la verdad de p se debe concluir en la verdad de q.
Ejemplo
Sea el enunciado “si n es un número par entonces n.m es par para todo número entero m”. 
Métodos indirectos:
I) Se utiliza la implicación contrarrecíproca, es decir, demostrar la verdad de p q es equivalente a mostrar la verdad de ~q ~p.
II) Por contradicción, como V (p q) = V, y se sabe por hipótesis que V(p) =V y se debe concluir que V(q) =V, entonces V(p ~ q) = F o una contradicción.
Leyes lógicas de lógica proposicional utilizadas en la deducción natural:
· [( A → B) ] (MP)
· [( A (MT)
· [(A → B) (SH)
· [ (A ) (SD)
· [(A→ B) (DC)
· [(A → B) (DD)
· O (P O (P → Q) → Q (Simp.) 
· O ( Conj.)
· O (Ad.)
· (DM)
· (DM)
· (Conm.)
· 
· (Dist.)
· (Dist.)
· P (DN)
· (Trans.)
· A 
· A 
· (A 
· A 
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se llama elemento del conjunto. 
Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de los elementos que lo forman. Cuando tal enumeración sea larga o imposible se recurre a fórmulas de recurrencia o a expresiones generalistas. Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C…. Los elementos del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c…}.
El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅. Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para aceptar algunas propiedades.
Relación de pertenencia: Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece al conjunto A se escribe p ∉ A.
Subconjuntos: Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto ∅ y el mismo A.
Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también se lee “B está contenido en A”. 
Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A. 
El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A ⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.) 
No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A.
En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a entre llaves se considera el conjunto unitario {a}. 
Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.
La relación de contenido cumple las propiedades siguientes: 
1. Si C ⊂ B y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A.
2. Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B. 
3. Para todo conjunto A, ∅ ⊂ A.
Subconjunto complementario de otro: Si B es un subconjunto de A, se llama complementario de B (respecto de A), al subconjunto de A formado por los elementos que no son de B. El complementario de un conjunto B se representa mediante alguno de los símbolos Bc, B´ o Aquí escribiremos Bc. 
El complementario siempre hace referencia a un todo. Luego, el complementario de B es lo que le falta a B para ser todo.Operaciones con conjuntos:
Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B, que de denota por A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. (Elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos.) 
Simbólicamente: 
A ∪ B = {x, tales que x ∈ A o x ∈ B} 
Son evidentes las siguientes propiedades de la unión:
A ∪ B = B ∪ A, A ∪ ∅ = A, A ∪ Ac = E 
Si B ⊂ A, entonces A ∪ B = A.
Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, que de denota por A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. (Elementos comunes a ambos conjuntos.)
Simbólicamente:
A ∩ B = {x, tales que x ∈ A y x ∈ B}
Son evidentes las siguientes propiedades de la unión:
A ∩ B = B ∩ A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ Ac = ∅ 
Si B ⊂ A, entonces A ∩ B = B. 
Si A ∩ B = ∅ se dice que los conjuntos A y B son disjuntos.
Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, que de denota por A − B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero no a B. (Elementos de A que no son de B.)
Simbólicamente:
A − B = {x, tales que x ∈ A y x ∉ B} 
Igualmente:
B − A = {x, tales que x ∈ B y x ∉ A} 
Es evidente que A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)
Producto cartesiano de conjuntos: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que de denota por A × B, es el conjunto formado por los pares de elementos (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B. 
Simbólicamente:
A × B = {(a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B}
Propiedades:
· Conmutativas: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 
· Asociativas: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
· Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
· Las leyes de De Morgan: Son dos propiedades que tienen una relevancia específica. Establecen la relación entre la unión e intersección de conjuntos y sus complementarios. 
Dicen lo siguiente: 
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc → El complementario de la unión es la intersección de los complementarios.
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc → El complementario de la intersección es la unión de los complementarios.
Teoremas:
1. (𝑨 − 𝑩) Δ (𝑪 − 𝑫) ⊂ (𝑨 Δ 𝑪) ∪ (𝑩 Δ 𝑫)
2. (𝑨 = 𝑩 ∧ 𝑪 = 𝑫) → 𝑨𝒙𝑪 = 𝑩𝒙𝑫
3. (𝑨 ∪ 𝑪)𝒙 (𝑩 ∪ 𝑫) = (𝑨 𝒙 𝑩) ∪ (𝑨 𝒙 𝑫) ∪ (𝑪 𝒙 𝑩) ∪ (𝑪 𝒙 𝑫)
4. (𝑨 𝒙 𝑩) ∩ (𝑪 𝒙 𝑫) = (𝑨 ∩ 𝑪)𝒙 (𝑩 ∩ 𝑫)
5. (𝑨 𝒙 𝑪 = 𝑩 𝒙𝑪 ∧ 𝑪 ≠ ∅) → 𝑨 = 𝑩
6. 𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ 𝑩𝒄 ⊂ 𝑨𝒄
7. 𝑨 = 𝑩 ⟷ 𝑩𝒄 = 𝑨𝒄
8. (𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑪 ∧ 𝑨𝒄 ∪ 𝑩 = 𝑨𝒄 ∪ 𝑪) → 𝑩 = 𝑪
9. (𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑪 ∧ 𝑨𝒄 ∩ 𝑩 = 𝑨𝒄 ∩ 𝑪) → 𝑩 = 𝑪
10. (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑩𝒄 ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄) = 𝓤
11. (𝑨 ∩ 𝑩𝒄) ∪ (𝑨𝒄 ∩ 𝑩) = 𝑩 ↔ 𝑨 = ∅
12. 𝑨 𝒙 (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 𝒙 𝑩) ∪ (𝑨 𝒙 𝑪)
13. 𝑨 𝒙 (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 𝒙 𝑩) ∩ (𝑨 𝒙 𝑪)
14. (𝑨 𝒙 𝑪) ∩ (𝑩 𝒙 𝑫) = (𝑨 ∩ 𝑩)𝒙(𝑪 ∩ 𝑫)
15. 𝑨 𝒙 𝑩 = 𝑩 𝒙 𝑨 ↔ 𝑨 = 𝑩
16. 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ ↔ 𝑨 ⊂ 𝑩𝒄 ↔ 𝑩 ⊂ 𝑨𝒄
17. 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝓤 ↔ 𝑨𝒄 ⊂ 𝑩
18. 𝑨 ∪ (𝑩 − 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪𝒄)
19. (𝑨 − 𝑩)𝒄 = 𝑨𝑪 ∪ 𝑩
20. 𝑨𝒄 − 𝑩𝒄 = 𝑩 − 𝑨
21. ∅𝒄 = 𝓤 
22. 𝓤𝒄 = ∅ 
23. 𝑨 ∩ 𝑨𝒄 = ∅
24. 𝑨 ∪ 𝑨𝒄 = 𝓤
25. 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩𝒄 
26. (𝑨 ∪ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝑪 
27. (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∪ 𝑩𝒄
28. (𝑨𝒄)𝒄 = 𝑨 
29. 𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ 𝑩𝒄 ⊂ 𝑨𝒄
ÁLGEBRA DE BOOLE
Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria, denotada ’; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces a la séxtupla. B,,*,' ,0,1 se le llama álgebra de Boole si se cumplen los axiomas de la tabla para elementos a, b y c cualesquiera en el conjunto B:
· Leyes conmutativas. 
· Leyes distributivas. 
· Leyes de identidad. 
· Leyes de complemento. 
Aspectos importantes del álgebra:
· Al elemento 0 se le llama el elemento cero. 
· Al elemento 1 se le llama elemento unidad. 
· A la operación unitaria a’ se le llama complemento de a. 
· A los resultados de las operaciones binarias + y * se les llama, respectivamente, suma y producto. 
Aparte de los axiomas, en la tabla se muestran otras propiedades que tiene el álgebra de Boole, que se pueden obtener mediante los axiomas.
Álgebra booleana en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. El Álgebra de Boole es el algebra de 2 valores. Normalmente tienen el valor “0” y “1”, pero también pueden tener los valores de “falso” y “verdadero”. Básicamente es un lenguaje en módulo 2. Las posibles operaciones de las que dispone están sujetas a las leyes de Morgan. 
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
· Cerrado. 
El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
· Conmutativo. 
Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
· Asociativo. 
Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
· Distributivo. 
Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
· Identidad. 
Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
· Inverso. 
Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Definición: El álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene un conjunto B de dos elementos {0,1} y tres operadores {·, +, ‘}. 
❒ Igualdad: 
Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por otra.
❒ Identidad: 
1. X + 0 = X 				1D. X • 1 = X 
❒ Nulo (elementos únicos): 
2. X + 1 = 1 				2D. X • 0 = 0 
❒ Idempotencia:
3. X + X = X 				3D. X • X = X 
❒ Involución:
4. (X’)’ = X 
❒ Complementariedad: 
5. X + X’ = 1 				5D. X • X’ = 0
❒ Conmutatividad: 
6. X + Y = Y + X 			6D. X • Y = Y • X 
❒ Asociatividad:
7. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 	7D. (X • Y) • Z = X • (Y • Z) 
❒ Distributividad: 
8. X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 	8D. X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z) 
❒ Unificación (fusión): 
9. X • Y + X • Y’ = X 9D. (X + Y) • (X + Y’) = X 
❒ Absorción: 
10. X + X • Y = X 			10D. X • (X + Y) = X 
11. (X + Y’) • Y = X • Y 		11D. (X • Y’) + Y = X + Y 
❒ Factorizar: 
12. (X + Y) • (X’ + Z) = X • Z + X’ • Y 	
12D. X • Y + X’ • Z = (X + Z) • (X’ + Y) 
❒ Consenso:
13. (X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) = X • Y + X’ • Z 
13D. (X + Y) • (Y + Z) • (X’ + Z) = (X + Y) • (X’ + Z)
❒ de Morgan:
14. (X + Y + ...)’ = X’ • Y’ • ...
14D. (X • Y • ...)’ = X’ + Y’ + ... 
❒ de Morgan generalizado:
15. f’(X1, X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+)
establece relaciones entre • y +
ORDEN EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE
Una relación ≤ es un conjunto S se llama un orden parcial en S si cumple las tres propiedades siguientes: 
· a ≤ a, a S. 
· Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. 
· Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. 
Un conjunto S junto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado. En tal caso se puede escribir y leer: 
· a ≤ b a precede a b.
· a < b a precede estrictamente a b, si a ≤ b pero a ≠ b.
· a ≥ b a sigue a b, si b ≤ a.
· a > b a sigue estrictamente a b, si b < a.
El término parcial se usa al definir un conjunto parcialmente ordenado S, porque puede haber elementos ay b de S que no son comparables, o sea, tales que ni a ≤ b ni b ≤ a. 
Si por otra parte, todo par de elementos de S es comparable, entonces se dice que S es totalmente ordenado, o linealmente ordenado, y S se denomina cadena.
Sea B un álgebra de Boole; B es entonces parcialmente ordenado, siendo a ≤ b si y sólo si a + b = b.
Sea B cualquier álgebra de Boole; entonces para cualquier elemento a de B, 0 ≤ a ≤ 1, ya que 0 + a = a y a + 1 = 1.
Un conjunto finito parcialmente ordenado S y, en particular, un álgebra de Boole finita S, se puede representar por un diagrama de la siguiente manera. 
· Un elemento B de S se dice que es un sucesor inmediato de un elemento a, escrito a << b; si a < b, pero no hay ningún elemento x de S tal que a < x < b. 
· Los elementos se representan por puntos y habrá una flecha, o una línea dirigida hacia arriba, de un elemento a a un elemento b cada vez que a << b. 
· En caso de que S sea un álgebra de Boole, el elemento cero estará en la parte más baja del diagrama y el elemento unidad en la parte más alta.
Sea B un álgebra de Boole, entonces: 
Un elemento a de B se llama átomo de B si es un sucesor inmediato del elemento cero. En el diagrama anterior, los átomos son: {a}, {b} y {c}.
Un elemento M de B se llama maxitérmino (maxterm) de B si el elemento unidad es su único sucesor estricto. En el diagrama anterior, los maxitérminos son: {a,b}, {a,c} y {b,c}.
Sea B un álgebra de Boole finita con n átomos; entonces B tiene 2n elementos, y todo elemento no nulo de B es la suma de un conjunto único de átomos.