UNIDAD - ENTROPÍA_0

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL HAEDO 
 
 
CÁTEDRA DE TERMODINÁMICA 
 
 
ENTROPÍA 
 
 
2019 
 
Cátedra de Termodinámica Técnica 
Profesor: Ing. Lopes Patrão Gustavo Ariel 
JTP: Ing. Pablo Morel 
JTP: Ing. Patricia Vita 
Ayudante Alumno: Pablo Otálora 
Ayudante Alumno: Sebastián Galasso 
Ayudante Alumno: Gabriel Farrell 
Ayudante Alumno: Sebastián Romero 
 
 
2 
 
 
Entropía 
 
Conceptos preliminares al Teorema de Clausiuss 
 
a) Cualquier ciclo termodinámico reversible puede ser subdividido en ciclos parciales 
empleando para ello transformaciones reversibles. 
 
Todo sistema que describe un ciclo reversible intercambia calor y trabajo con el medio 
que lo rodea. Al regresar a su estado inicial, no queda en él modificación alguna, pues por 
hipótesis los estados inicial y final son idénticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área que éste ciclo encierra en el plano (p;v), mide para los estados gaseosos el trabajo 
ejecutado o su el calor intercambiado equivalente, si se lo multiplica por el equivalente 
térmico del trabajo 𝑄 = 𝐴 ∙ 𝐿 
El perímetro externo representa un ciclo termodinámico, siendo a, b y c 
transformaciones que lo subdividen en ciclos parciales I, II y III. Al recorrer cada ciclo, 
tendrán su correspondiente sentido (según la convención adoptada). 
El trabajo efectuado por la suma de ellos es igual al del correspondiente ciclo perimetral, 
en consecuencia lo mismo ocurrirá con el calor intercambiado con el medio exterior. 
En otras palabras, las modificaciones del medio exterior debido al ciclo descripto por el 
sistema son iguales que cuando se descompone en ciclos parciales. 
El sistema en sí tampoco es afectado por dicha descomposición, ya que las 
transformaciones reversibles a, b y c son recorridas una vez en cada sentido anulándose sus 
efectos. 
 
p 
v 
I 
III 
II a 
b 
c 
 
3 
 
Conclusión: solo queda el ciclo perimetral, nada impide considerar, cuando convenga, a 
un ciclo descompuesto en partes por transformaciones reversibles que unen puntos de su 
perímetro. 
 
 
b) Estado común de dos transformaciones adiabáticas reversibles. 
 
¿Puede ser esto posible? Analicemos la figura siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En C tenemos un punto común de intersección entre las dos adiabáticas reversibles. 
Ambas son cortadas por una misma isotérmica AB, dando lugar al ciclo reversible ABC, que 
produce un trabajo representado por el área encerrada, tomando calor de una única fuente 
a la temperatura T. 
 
Este análisis está en abierta contradicción con el segundo principio de la termodinámica. 
 
Conclusión: No puede haber un estado común entre dos adiabáticas reversibles. 
“De un estado a otro no puede haber más de un camino adiabático reversible” 
 
c) Una transformación reversible cualquiera puede ser reemplazada por dos 
adiabáticas y una isotérmica reversibles. 
 
Siendo AOB la 
transformación 
reversible cualquiera, 
el reemplazo es 
posible siempre que 
se elija la Isotérmica 
de modo que los dos 
triángulos que 
resultan tengan la 
misma área. 
 
 
 
AC: Adiabática reversible 
BC: Adiabática reversible 
AB: Isotérmica reversible B A 
C 
Q = 0 Q = 0 
T 
Q 
v 
p 
T = cte. 
p 
v 
C B 
D 
 
Q = 0 Q = 0 
T = cte. A 
O 
+ _ 
 
4 
 
 
Vamos a demostrar entonces que el efecto de la transformación AOB es igual al efecto de 
la serie de transformaciones ACODB. 
 
Ya sabemos que la variación de energía interna de A B será la misma vayamos por uno u 
otro camino. Tendremos que demostrar que los trabajos que el sistema intercambia con el 
medio exterior son iguales yendo por uno u otro camino. 
 
Descripto el ciclo ACODBOA, el trabajo será nulo, pues en este diagrama la superficie 
representa un trabajo y vamos a tener un triángulo que representa un trabajo positivo, dado 
que está recorrido en sentido horario y el otro triángulo recorrido en el sentido opuesto, 
representando un trabajo negativo. Luego el trabajo es nulo porque los dos triángulos son 
de igual área. 
 
EL trabajo en todo el ciclo es la suma de los trabajos intercambiados en cada una de las 
transformaciones. 
𝐿 + 𝐿 + 𝐿 + 𝐿 = 0 
 
Como AOB es una transformación reversible: 𝐿 = −𝐿 ; Reemplazando: 
 
𝐿 + 𝐿 + 𝐿 − 𝐿 = 0 
 
𝐿 = 𝐿 + 𝐿 + 𝐿 
 
Por el primer principio, si el trabajo es el mismo y la variación de energía interna es la 
misma, entonces el calor intercambiado es el mismo 
 
𝑄 = 𝑄 (en AC y DB, 𝑄 = 0 por ser adiabáticas) 
 
Luego hay que encontrar la isotérmica que intercambie el mismo calor que la 
transformación a reemplazar. Entonces el reemplazo será válido si se cumple la condición 
señalada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Teorema de Clausius - 1860 
 
Tenemos un ciclo reversible como el de la figura. Dividimos a este ciclo con una familia de 
curvas adiabáticas reversibles, obteniendo n ciclos equivalentes al dado. Por lo expuesto 
anteriormente, pueden sustituirse los trozos de la transformación reversible del ciclo 
original por líneas isotérmicas que cumplan la condición impuesta de iguales áreas. Así 
tendremos n ciclos de Carnot (Dos isotérmicas y dos adiabáticas). 
Del rendimiento térmico de 
la máquina térmica reversible 
tenemos: 
 
𝜂 = 1 −
|𝑄 |
𝑄
= 1 −
𝑇
𝑇
 
 
Para cada uno de los n ciclos 
de Carnot se cumple: 
 
|𝑄 |
𝑄
=
𝑇
𝑇
 
 
De donde 
 
|𝑄 |
𝑇
=
𝑄
𝑇
 
 
Por lo tanto: 
|𝑄 |
𝑇
−
𝑄
𝑇
= 0 
 
Como Q’’i es calor cedido, por convención es negativo: −|𝑄 | = 𝑄 
 
Entonces: 
𝑄
𝑇
+
𝑄
𝑇
= 0 
Para todos los ciclos: 
𝑄
𝑇
+
𝑄
𝑇
= 0 
En el límite: 
𝛿𝑄
𝑇
+
𝛿𝑄
𝑇
= 0 
O lo que es lo mismo: 
𝛿𝑄
𝑇
= 0 
p 
v 
Q = 
T = 
T’i 
T’’i 
Q’i 
Q’’i 
1 
2 
 
6 
 
Primera expresión o Teorema de Clausius para un ciclo reversible: 
 
 ∮ = 0 
 
La integral cerrada de las cantidades de calor absorbidas y entregadas por un fluido que 
recorre un ciclo reversiblemente, divididas por las temperaturas absolutas del mismo 
cuando se producen estos intercambios de calor, es igual a cero. 
 
Para un ciclo Irreversible: Será suficiente que tenga alguna parte que así sea, para que 
sea un ciclo irreversible. 
 
Podría descomponerse 
también en ciclos parciales, 
cuyos rendimientos serían 
iguales a los de Carnot en 
aquellas zonas en que todas las 
transformaciones fuesen 
reversibles, pero menores 
rendimientos en los que hubiere 
alguna irreversibilidad, por lo 
demostrado en el Teorema de 
Carnot, dando como resultado 
que para un ciclo irreversible 
tenemos: 
𝜂 < 𝜂 
 
Para la máquina térmica reversible: 𝜂 = 1 − 
 
Para la máquina térmica irreversible: 𝜂 = 1 − 
 
Se cumple: 
1 −
𝑇
𝑇
> 1 −
|𝑄 |
𝑄
 
Entonces: 
𝑇
𝑇
<
|𝑄 |
𝑄
⇒
𝑄
𝑇
<
|𝑄 |
𝑇
⇒
𝑄
𝑇
−
|𝑄 |
𝑇
< 0 
 
 Como: 
 
 −|𝑄 | = 𝑄 
 
Reemplazando: 
𝑄
𝑇
+
𝑄
𝑇
< 0 
p 
v 
I 
R 
1 
2 T’i 
Q’i 
T’’i 
Q’’i 
 
7 
 
Para los n ciclos: 
𝑄
𝑇
+
𝑄
𝑇
< 0 
En el límite: 
𝛿𝑄
𝑇
+
𝛿𝑄
𝑇
< 0 
 
O lo que es lo mismo: Segunda expresión o Teorema de Clausius para ciclos irreversibles 
 
𝛿𝑄
𝑇
< 0 
 
 
Entropía 
 
 Para un ciclo reversible: A partir del Teorema de Clausius 
 
𝛿𝑄
𝑇
= 0
𝛿𝑄
𝑇
+
𝛿𝑄
𝑇
= 0
𝛿𝑄
𝑇
−
𝛿𝑄
𝑇
= 0
𝛿𝑄
𝑇
=
𝛿𝑄
𝑇
 
 
 
 
 
El valor de la integral al pasar reversiblemente del estado 1 al 2, es independiente del 
camino seguido en la transformación, solo depende de los estados inicial y final. Resulta así 
una nueva función de estado que recibe el nombre de Entropía. 
El fluido al realizar una transformación reversible 1-2 cualquiera, para un recorrido 𝑑𝑙 
infinitesimal en el cual puede suponerse que el fluido tiene una temperatura T, cambiará 
con el medio exterior la cantidad infinitesimal de calor 𝛿𝑄. La relación entre esa cantidadde 
calor 𝛿𝑄 y la temperatura absoluta del fluido, será una cantidad infinitesimal que valdrá: 
 
𝑑𝑆 =
𝛿𝑄
𝑇
𝛿𝑄 = 𝑇 ∙ 𝑑𝑆 
 
Estas expresiones elementales son las que identifican al Segundo Principio para un 
proceso reversible. 
 
2 
1 
p 
v 
L 
a 
b 
 
8 
 
Para toda la transformación: 
𝛿𝑄
𝑇
= 𝑑𝑆 = 𝑆 − 𝑆 
Este concepto de carácter matemático es el único que puede establecerse para definir 
esta magnitud, pues el significado físico ha resultado sumamente complejo, por cuanto la 
Entropía no es perceptible sensorialmente ni evidenciable por ningún instrumento de 
medida. 
 
De acuerdo a la expresión del rendimiento 
𝜂 =
𝐿
𝑄
=
𝑇 − 𝑇
𝑇
 
 
𝐿 = 𝑄 ∙
𝑇 − 𝑇
𝑇
⇒ 𝐿 =
𝑄
𝑇
(𝑇 − 𝑇 ) 
 : Representa el aumento de entropía del fluido al efectuar la expansión isotérmica del 
Ciclo de Carnot que será igual a la disminución de la entropía del mismo al realizar la 
compresión isotérmica 
Δ𝑆 =
𝑄
𝑇
=
𝑄
𝑇
 
 
 Puede escribirse: 𝐿 = Δ𝑆 ∙ (𝑇 − 𝑇 ) 
 
Para un cuerpo de peso G que cae desde una altura h1 a otra menor h2: 
 
𝐿 = 𝐺 ∙ (ℎ − ℎ ) 
 
Comparando ambas expresiones, observamos una similitud entre ambas. Se conoce 
como “Analogía de Zeuner” que definió a la Entropía como el “peso del calor”. 
 
 Para un ciclo irreversible: A partir del Teorema de Clausius 
 
𝛿𝑄
𝑇
< 0
𝛿𝑄
𝑇
+
𝛿𝑄
𝑇
< 0
𝛿𝑄
𝑇
−
𝛿𝑄
𝑇
< 0
𝛿𝑄
𝑇
<
𝛿𝑄
𝑇
 
 
Como para un ciclo reversible se cumple: 
𝛿𝑄
𝑇
= 𝑑𝑆 
 
2 
1 
p 
v 
 
9 
 
Entonces: 
𝛿𝑄
𝑇
< 𝑑𝑆 
Por lo tanto: 
𝛿𝑄
𝑇
< 𝑑𝑆 𝛿𝑄 < 𝑑𝑆 ∙ 𝑇 
 
Estas últimas expresiones elementales son las que identifican al Segundo Principio para 
un ciclo irreversible. 
Resumiendo: 
 
Para una transformación adiabática reversible: 
𝛿𝑄
𝑇
= 𝑑𝑆 ⇒ 𝛿𝑄 = 0 ⇒ 𝑑𝑆 = 0 
Para una transformación adiabática irreversible: 
𝛿𝑄
𝑇
< 𝑑𝑆 ⇒ 𝛿𝑄 = 0 ⇒ 𝑑𝑆 > 0 
 
 
Principio de aumento de entropía de Clausius 
 
Del análisis de la figura podemos decir: 
 
 Para el conjunto sistema-medio o universo, toda 
transformación es adiabática, más allá de a no hay nada, es 
decir no hay un intercambio de energía, el universo está 
aislado. 
 
 
 
Para procesos reversibles: Si aumenta la entropía del sistema, deberá disminuir la del 
medio y viceversa. 
Δ𝑆 = Δ𝑆 + Δ𝑆 = 0 
 
|Δ𝑆 | = |Δ𝑆 | 
Para procesos irreversibles: 
Δ𝑆 = Δ𝑆 + Δ𝑆 > 0 
 
|Δ𝑆 |
<
>
|Δ𝑆 | 
 
La entropía es una función matemática que indica una tendencia de posibilidades. 
 
Podemos enunciar el siguiente principio: 
 
“la entropía de un sistema aislado que se transforma siempre debe crecer” 
Sistema 
Medio 
a b 
 
10 
 
 
 
Recordemos que un sistema aislado es un sistema que no intercambia ninguna forma de 
energía con el exterior, o sea, es un sistema que estará evolucionando en forma irreversible 
porque hay un desequilibrio en él, tendiendo hacia el equilibrio. 
En este sistema aislado tiene que ir creciendo la entropía hasta llegar al estado de 
equilibrio final, que corresponde al máximo valor de la entropía. Cuando se llega a la 
configuración en que tenemos un máximo de entropía y ya no crece más, no hay ninguna 
transformación posible en el universo, por lo tanto no hay vida, de aquí surge la conclusión 
de la “muerte térmica del universo”. 
Entonces: 
Δ𝑆 = Δ𝑆 + Δ𝑆 ≥ 0 
 
Δ𝑆 = 0 ⇒ Procesos reversibles 
 
Δ𝑆 > 0 ⇒ Procesos irreversibles 
 
Δ𝑆 < 0 ⇒ Procesos imposibles 
 
Cálculo de la variación de entropía de un proceso 
 
Lo analizamos a partir de un sistema cerrado 
 
a) En función de T y v 
 
Del Primer principio y para una masa unitaria: 
 
𝛿𝑞 = 𝑑𝑢 + 𝑝𝑑𝑣 
Para un proceso reversible: 
 
𝑑𝑆 =
𝛿𝑞
𝑇
⇒ 𝑑𝑆 =
𝑑𝑢 + 𝑝𝑑𝑣
𝑇
⇒ 𝑑𝑆 =
𝑐𝑣𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑣
𝑇
⇒ 𝑑𝑆 = 𝑐𝑣
𝑑𝑇
𝑇
+ 𝑝
𝑑𝑣
𝑇
 
 
De la ecuación de estado: 
𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇 ⇒
𝑝
𝑇
=
𝑅
𝑣
 
 
Reemplazando: obtenemos la expresión elemental de la entropía 
 
𝑑𝑆 = 𝑐𝑣
𝑑𝑇
𝑇
+ 𝑅
𝑑𝑣
𝑣
 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑇; 𝑣) 
 
Integrando entre los estados 1 y 2: 
 
 
11 
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln
𝑣
𝑣
 Δ𝑆 = 𝑓(𝑇; 𝑣) 
 
b) En función de T y p 
 
De la ecuación general de estado para 1 y 2 
 
𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇 ⇒ 𝑣 =
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
 
𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇 ⇒ 𝑣 =
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
 
 
𝑣
𝑣
=
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
⇒
𝑝 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇
𝑝 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇
⇒
𝑝 ∙ 𝑇
𝑝 ∙ 𝑇
 
 
Aplicamos Logaritmo natural: 
ln
𝑣
𝑣
= ln
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
𝑅 ∙ 𝑇
𝑝
= ln(𝑝 ∙ 𝑇 ) − ln(𝑝 ∙ 𝑇 ) 
ln
𝑣
𝑣
= ln 𝑝 +ln 𝑇 − ln 𝑝 − ln 𝑇 
ln
𝑣
𝑣
= ln
𝑇
𝑇
− ln
𝑝
𝑝
 
 
Reemplazando en la ecuación de Δ𝑆 = 𝑓(𝑇; 𝑣): 
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
 Δ𝑆 = 𝑓(𝑇; 𝑝) 
 
En forma diferencial: 
 
𝑑𝑆 = 𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑇
− 𝑅
𝑑𝑝
𝑝
 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑇; 𝑝) 
 
c) En función de p y v: 
 
De la ecuación general de estado para 1 y 2 
 
𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇 ⇒ 𝑇 =
𝑝 ∙ 𝑣
𝑅
 
𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝑇 ⇒ 𝑇 =
𝑝 ∙ 𝑣
𝑅
 
 
 
12 
 
𝑇
𝑇
=
𝑝 ∙ 𝑣
𝑅
𝑝 ∙ 𝑣
𝑅
⇒
𝑅 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣
𝑅 ∙ 𝑝 ∙ 𝑣
⇒
𝑝 ∙ 𝑣
𝑝 ∙ 𝑣
 
 
Aplicando logaritmo natural: 
 
ln
𝑇
𝑇
= ln
𝑝 ∙ 𝑣
𝑝 ∙ 𝑣
 
ln
𝑇
𝑇
= ln 𝑝 +ln 𝑣 − ln 𝑝 − ln 𝑣 
ln
𝑇
𝑇
= ln
𝑝
𝑝
+ ln
𝑣
𝑣
 
Reemplazando en la ecuación de Δ𝑆 = 𝑓(𝑇; 𝑝): 
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑝
𝑝
+ ln
𝑣
𝑣
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑝
𝑝
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = (𝑐𝑝 − 𝑅) ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 
 
Δ𝑆 = 𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 Δ𝑆 = 𝑓(𝑇; 𝑝) 
 
En forma diferencial: 
 
𝑑𝑆 = 𝑐𝑣
𝑑𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝
𝑑𝑣
𝑣
 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑝; 𝑣) 
 
Diagrama Entrópico 
 
Es un diagrama de estado muy útil para el estudio de procesos termodinámicos. 
En una transformación reversible el 
área debajo de la Curva es QR. 
El área elemental es: 
 
𝛿𝑄 = 𝑇 ∙ 𝑑𝑆 
 
Por lo tanto para el área total: 
 
𝑄 = 𝑇 ∙ 𝑑𝑆 
 
 
 
1 
2 
T 
s 
QR 
δQR T 
T2 
T1 
S2 S1 ds 
 
13 
 
En este diagrama las rectas verticales representan adiabáticas reversibles (Isoentrópicas) 
y las horizontales, Isotérmicas. 
 
A partir de las expresiones de la variación de entropía (ΔS) y para calores específicos 
constantes: 
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln
𝑣
𝑣
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 
 
Para poder representar en un diagrama entrópico, debemos arbitrariamente adoptar un 
estado definido por sus parámetros (p0 ; v0 ; T0) para el cual asignamos S0 = 0. Fijado este 
“cero arbitrario” para la entropía, para cualquier otro estado relativo a este cero podemos 
calcular valores de entropía. 
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln
𝑣
𝑣
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
 
𝑆 − 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 
 
Los valores de S son entropías relativas al estado para el cual se asignó el valor cero 
arbitrariamente a dicha función y no valores absolutos de entropía. Con 𝑆 = 0 
 
𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln
𝑣
𝑣
 
𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
− 𝑅 ln
𝑝
𝑝
 
𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑝
𝑝
+ 𝑐𝑝 ln
𝑣
𝑣
 
 
Transformación Isocórica 𝑣 = 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 
 
𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
⇒
𝑆
𝑐𝑣
= ln
𝑇
𝑇
⇒
𝑆
𝑐𝑣
ln 𝑒 = ln
𝑇
𝑇
⇒ 𝑒 =
𝑇
𝑇
 
 
𝑇 = 𝑇 ∙ 𝑒 
 
Esta expresión nos indica que la isocora de volumen igual al estado de referencia dará 
una curva exponencial en el T-S, que corta al eje de ordenadas en el punto 𝑇 = 𝑇 . 
 
14 
 
 
Si consideramos otro volumen 
múltiplo del correspondiente al estado 
de referencia: 
 
𝑣 = 𝑛 ∙ 𝑣 
 
𝑆 = 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln
𝑛 ∙ 𝑣
𝑣
 
 
𝑆 = 𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
 + 𝑅 ln 𝑛 
 
 Si 𝑣 > 𝑣 o sea 𝑛 > 1, la 
curva se desplazará hacia la 
derecha. 
 Si 𝑣 < 𝑣 o sea 𝑛 < 1, la 
curva se desplazará hacia la 
izquierda porque el logaritmo 
es negativo. 
 Si 𝑣 = 2𝑣 o sea 𝑛 = 2, la 
curva se desplazará hacia la 
derecha una distancia 
horizontal 𝑅 ln 2 . 
 Si 𝑣 = 𝑣 o sea 𝑛 = , la 
curva se desplazará hacia laizquierda una distancia 
horizontal 𝑅 ln = −𝑅 ln 2 . 
 
Transformación Isobárica 𝑝 = 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 
 
𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
⇒
𝑆
𝑐𝑝
= ln
𝑇
𝑇
⇒
𝑆
𝑐𝑝
ln 𝑒 = ln
𝑇
𝑇
⇒ 𝑒 =
𝑇
𝑇
 
 
𝑇 = 𝑇 ∙ 𝑒 
 
Esta expresión nos indica que la isobara de presión igual al estado de referencia estará 
representada por una curva exponencial en el T-S, que corta al eje vertical en 𝑇 = 𝑇 . 
Dado que 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣, entonces 𝑆 > 𝑆 por lo que la curva isobara crecerá mas 
lentamente que la isocora. 
T 
s 
T0 
v
T 
s 
T0 
v0 
𝑣 =
1
2
𝑣 
𝑣 = 2𝑣 
−𝑅 ln 2 
𝑅 ln 2 
 
15 
 
 
𝑐𝑝 > 𝑐𝑣 
⎩
⎨
⎧𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
𝑆 = 𝑐𝑣 ln
𝑇
𝑇
∴ 𝑆 > 𝑆
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si consideramos otra presión múltiplo de la correspondiente al estado de referencia: 
 
𝑝 = 𝑛 ∙ 𝑝 
 
𝑆 = 𝑆 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇
− 𝑅 ln
𝑛 ∙ 𝑝
𝑝
 
 
𝑆𝑝 = 𝑆𝑛𝑝 = 𝑐𝑝 ln
𝑇
𝑇0
− 𝑅 ln 𝑛 
 Si 𝑝 > 𝑝 o sea 𝑛 > 1, la 
curva se desplazará hacia la 
izquierda. 
 Si 𝑝 < 𝑝 o sea 𝑛 < 1, la 
curva se desplazará hacia la 
derecha porque el logaritmo 
es negativo. 
 Si p= 2𝑝 o sea 𝑛 = 2, la 
curva se desplazará hacia la 
izquierda una distancia 
horizontal 𝑅 ln 2 . 
 Si p= 𝑝 o sea 𝑛 = , la 
curva se desplazará hacia la 
derecha una distancia 
horizontal −𝑅 ln 2 = 𝑅 ln . 
 
𝑝 = 𝑝 
T 
s 
T0 
𝑣 = 𝑣 
𝑆 𝑆 
T 
s 
T0 
𝑝 =
1
2
𝑝 
𝑝 = 2𝑝 𝑅 ln 2 
−𝑅 ln 2
𝑝