alumnos_MdCA_06_PRACTICA_C6_relaciones_constitutivas

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD TECONOGICA NACIONAL
FACULTAD DREGIONAL HAEDO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA AERONAUTICA
PRACTICA 6: RELACIONES
CONSTITUTIVAS
PROFESOR TITUTLAR
PROFESOR ADJUNTO
CURSO
FECHA DE ENTREGA
ALUMNOS
CALIFICACION
:
:
:
:
:
:
Ing. Rı́os, Juan Carlos.
Ing. Imbrioscia, Gerardo.
Mecánica del Continuo
8/05/2020
Apellido 1, Nombre
Apellido 2, Nombre
Apellido 3, Nombre
Nota
Legajo 0001
Legajo 0002
Legajo 0003
HAEDO - BS AS
2020
MdCA - Practica C6 2020
Hipótesis de Ficks
1. En el transporte de calor la intensidad asociada es la temperatura. Suponiendo un material
para que valen las hipótesis de Ficks, escribir una relación entre el valor de vector de flujo de ca-
lor q̇ y la temperatura T . Probar que para el caso isotópico se obtiene la ley de Newton-Fourier:
q̇ = −k∇θ
2. Si un continuo tiene una ecuación constitutiva:
σij = −pδij + βDij + αDikDkj
Mostrar que σij = 3
(
−p− 2αInv2
3
)
, donde Inv2 es el segundo invariante de Dij y se asume
incompresible.
Solución
Al aplicar la contracción de ı́ndices en al expresión de la relación constitutiva se tiene:
σii = −pδii + βDii + αDikDki
Donde δii = 3, Dii = 0 si se asume incompresibilidad, por lo que queda:
σii = −pδii + αDikDki
Si tomamos en cuenta la expresión del segundo invariante de un tensor generado se observa:
2Inv2 = (DiiDjj −DijDji)⇒ DijDji = Dii︸︷︷︸
0
Djj︸︷︷︸
0
−2Inv2
Quedando:
σii = −3p− 2αInv2
Solidos de Hooke
Termoeslasticidad lineal
�ij =
1
2µ
(
σij −
λ
3λ+ 2µ
δijσkk
)
+ α(T − T0)δij ; �Tij = α(T − T0)δij =
Ecuaciones constitutivas termoelásticas:
σij = λδij�kk + 2µ�ij − (3λ+ 2µ)α(T − T0)δij
Página 2
MdCA - Practica C6 2020
De forma expandida:
�x =
1
E
[σx − ν(σy + σz)] + α∆T
�y =
1
E
[σy − ν(σx + σz)] + α∆T
�z =
1
E
[σz − ν(σx + σz)] + α∆T

γxy =
τxy
G
γxz =
τxz
G
γyz =
τyz
G
con e = �x + �y + �z:
σx = λe+ 2G�x −
αE
(1− 2ν)
∆T
σy = λe+ 2G�y −
αE
(1− 2ν)
∆T
σz = λe+ 2G�z −
αE
(1− 2ν)
∆T

τxy = Gγxy
τxz = Gγxz
τyz = Gγyz
3. A partir de la ecuación para el equilibrio estático en un solido elástico desarrollada en la
sección correspondiente, a saber:
σij = 2µeij + λekkδij
y haciendo uso de las relaciones apropiadas entre las constantes de ingenieŕıa (E,ν,G) y las
constantes elásticas de Lame (λ, µ), derivar la siguiente expresión:
σij = 2G
[
eij +
ν
1− 2ν
Ieδij
]
; Ie = eii
En base a lo inmediato anterior, derivar la siguiente expresión, condición de equilibrio en
función de los desplazamientos:
G
[
∇2ui +
ν
1− 2ν
∂ijuj
]
+ ρbi = 0
4. Si se describe el estado de un solido elástico isotrópico a partir de los ejes principales y se
sabe que:
σi = 2G�i ∧ p = −Kekk
combine estas dos expresiones para obtener tres ecuaciones que relacionen σ1, σ2, σ3 con
�1, �2, �3
Página 3
MdCA - Practica C6 2020
5. Hallar la ecuación de equilibrio para el estado termoelástico de un solido de Hooke si la rela-
ción constitutiva viene dada por:
σij = −βij(θ − θ0) + Cijrs�rs
Utilizar la propiedad de isotroṕıa para el solido descripto.
Solución
Utilizar la propiedad de isotroṕıa implica indicar la expresión de arriba utilizando tensores
isotrópicos: uno de segundo y uno de cuarto orden.
σij = −βijδij(θ − θ0) + (µδisδjr + νδirδjs + λδijδrs)εrs
Debe haber simetŕıa en i y j motivada por la tensión (tensor de tensiones simétrico), por lo
tanto µ = ν:
σij = −βijδij(θ − θ0) + µ(δisδjr + δirδjs)εrs + λδijδrsεrs
También debe haber simetŕıa en e y s motivada por la deformación (tensor de deformaciones
simétrico):
σij = −βijδij(θ − θ0) + µδirδjsεrs + λδijδrsεrs
Si tenemos en cuenta i = j y r = s:
σij = 2µεij + δij(λεkk − β∆θ)
Dado que la consigna del ejercicio nos habla de un estado de equilibrio:
σij,j + ρgi = 0
Por lo que reemplazando nos queda:
2µεij,j + λδij,jεkk − βδij,j∆θ + ρgi = 0
6. Para un continuo termomecánico con ecuación constitutiva:
σij = λεkkδij + 2µεij − (3λ+ 2µ)αδij(T − T0)
Página 4
MdCA - Practica C6 2020
con T0 siendo una temperatura de referencia, mostrar que:
εkk = 3α(t− T0) con σij = Sij = σij − σkk
δij
3
Fluidos Newtonianos
7. A partir de la relación tensión-velocidad de deformación para un fluido newtoniano, verificar
que la ecuación de movimiento adopta la forma:
D~V
Dt
= ~G− ∇p
ρ
+ ν∇2~V + ν
3
∇(∇ · ~V )
Siendo ν lo que se denomina como viscosidad cinemática y esta dada por ν =
µ
ρ
8. En base a la ecuación de equilibrio y la relación tensión-velocidad de deformación para un
fluido newtoniano en equilibrio, deducir la ley de variación de presión en función de la altura.
9. El flujo de un fluido newtoniano de viscosidad µ en un tubo de sección circular, tiene simetŕıa
axial, siendo el campo de velocidades:
~V =
[
0ρ̂+ 0θ̂ + U0
(
1− r
2
a2
)
k̂
]
siendo a el radio del tubo, U0 una constante de dimensiones [L/T] relacionada a la velocidad
en la entrada del mismo y r2 = x
2 + y2 la distancia a un punto desde el eje central del tubo.
Se pide:
a) Determinar la tensión de corte en r = 0, r =
a
2
y r = a.
b) Estimar la disipación de potencia utilizando la expresión: WD = 2µD : D, donde d es el
tensor desviador del tensor velocidad de deformación en r =a.
Solución
Página 5
MdCA - Practica C6 2020
a) Para la geometŕıa dada, existen tres tensiones de corte (τrθ, τrz, τθz) que quedan definidas
por:
Πij = 2µ
(
Dij −
1
3
θδij
)
Puede observarse rápidamente para la expresión de velocidad pedida, que θ = 0. La
expresión anterior queda reducida directamente a:
τij = µ(νi,j + νj,i)⇒

τrθ = µ(νr,θ + νθ,r) = 0
τrz = µ(νr,z + νz,r) = µ
(
0− 2U0r
a2
)
= −2U0r
a2
τrθ = µ(νz,θ + νθ,z) = 0
Reemplazando en los puntos solicitados tenemos que:
τrz
∣∣
r=0
=0
τrz
∣∣
r=a
2
=− U0r
a
τrz
∣∣
r=a
=− 2U0r
a
b) La función disipación en r=a vale:
WD = 8
µU20
a2
Página 6