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UTN-FRH CARRERA: ING. MECÁNICA CATEDRA: MECÁNICA RACIONAL TEMA: MECÁNICA ANALÍTICA GRADOS DE LIBERTAD (DOF) Donde f es el nro. de grados de libertad totales o “netos”; n es la cantidad total de puntos que están interactuando en el sistema considerado y k el número de restricciones. f = (3 n) - k ---> Punto en el espacio f = (6 n) - k ---> Cuerpo en el espacio COORDENADAS GENERALIZADAS Llamaremos coordenada generalizada a cualquier magnitud que nos permitan describir el comportamiento dinámico del problema. En cualquier sistema siempre será posible armar un conjunto de f coordenadas generalizadas, independientes entre sí, que nos permitan expresar los vectores posición de todas las partículas. 𝒒𝟏; 𝒒𝟐; 𝒒𝟑; … ; 𝒒𝒏; …, COORDENADAS GENERALIZADAS Las restricciones impuestas al movimiento, no son otra cosa que ecuaciones, o mejor dicho funciones matemáticas que deben cumplir los vectores posición de las n partículas (o cuerpos que componen el sistema. Si tenemos hasta un máximo de k restricciones, entonces podremos escribir hasta k ecuaciones del tipo: COORDENADAS GENERALIZADAS A su vez, los vectores posición pueden escribirse en función de las f coordenadas generalizadas que ya vimos. Si lo hacemos, lo anterior podría quedar de la siguiente manera: CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Según el tipo de restricciones a los que un sistema esté sometido, los vamos a clasificar en sistemas: ▪ Sistema holónomo esclerónomo; ▪ Sistema holónomo reónomo; ▪ Sistema anholónomo exclerónomo; ▪ Sistema anholónomo reónomo. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Sistemas esclerónomos: Son aquellos sistemas donde las restricciones No dependen del tiempo. Sistemas reónomos: Serán los sistemas en donde las restricciones Sí dependen del tiempo t; Sistemas holónomos: Son los sistemas que contienen restricciones que matemáticamente puedan ser escritas en función de los vectores posición de las partículas o cuerpos que intervienen, y eventualmente del tiempo. Sistemas anholónomos: Son aquellos sistemas en los que las restricciones no pueden ser escritas como se vio en el caso anterior SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS Recordemos simplemente que un sistema conservativo es aquél en el que sólo actúan fuerzas conservativas, o que si actúan fuerzas del tipo no conservativas (tales como las fuerzas de vínculo), éstas no realizan trabajo. Ejemplo: El número de partículas es uno: n = 1 Número de restricciones: k =1 En este caso la distancia de la partícula al centro del casquete debe permanecer constante, que es una restricción del tipo holónoma r ̅̂ 2=a^2. Fuerzas de restricción: Reacción del casquete sobre el cuerpo Análisis de las fuerzas: Actúan sobre el sistema el peso ( ത𝑃) y la reacción del casquete ( ത𝑅). El peso es una fuerza conservativa y realiza trabajo. La reacción de vínculo es no conservativa pero no realiza trabajo. Por lo tanto, el sistema es conservativo. Partícula moviéndose sobre la superficie interior de un casquete semiesférico liso (sin fricción), de radio a. DOF: El número de grados de libertad netos f = (3.n)-k = 3-1 = 2 Coordenadas generalizadas linealmente independientes: En este caso tendremos dos, porque f =2. Estas coordenadas, que llamaremos 𝑞1 y 𝑞2, las podemos elegir como queramos. Podemos hacerlas coincidir con de las coordenadas del sistema de coordenadas esféricas: 𝜃 𝑦 𝜑: 𝑞1 = 𝜃; 𝑞2 = 𝜑 => Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL Cumplir simultáneamente las siguientes cuatro condiciones: ▪ Se realiza en un instante de tiempo fijo y determinado. No involucra al tiempo ▪ Es arbitrario ▪ Es compatible con los vínculos ▪ No tiene por qué tener existencia física real ҧ𝑟𝑖 = 𝑓𝑖 𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡 El desplazamiento virtual, en función de las coordenadas generalizadas, quedará: 𝛿ഥ𝑟𝑖 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 Expresando la posición en función de las coordenadas generalizadas: Donde: Pero el último término debe ser nulo, puesto que la primera condición que se le impuso a los desplazamientos virtuales es que fueran independientes del tiempo. 𝛿ഥ𝑟𝑖 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = 𝜕 Τഥ𝑟𝑖 𝜕 𝑡 𝜕 Τ𝑞𝑗 𝜕 𝑡 = 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕 ሶ𝑞𝑗 *Recordemos, la usaremos mas adelante TRABAJO VIRTUAL Llamamos también trabajo virtual (𝛿𝑇𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙, o simplemente 𝛿𝑇𝑣𝑖) al trabajo realizado por una fuerza, a lo largo de un desplazamiento virtual: Pero las Fuerzas exteriores, se pueden dividir en activas y reactivas. Entonces: Recordemos que la segunda ley de Newton para una partícula i-ésima arbitraria y cualquiera, se puede escribir como: 𝛿𝑇𝑣𝑖 = ത𝐹. 𝛿 ҧ𝑟𝑖 *Intervienen tanto las fuerzas activas como las reactivas. PRINCIPIO DE D´ALEMBERT ത𝐹𝑖 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑖 . ത𝑎𝑖 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 + ത𝑅𝑖 = 𝑚𝑖 . ത𝑎𝑖 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 + ത𝑅𝑖 −𝑚𝑖 . ത𝑎𝑖 = ത0 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 −𝑚𝑖 . ത𝑎𝑖 + ത𝑅𝑖 = ത0 Donde el paréntesis representa las fuerzas perdidas ( ത𝐹𝑖 𝑃). Entonces: La condición necesaria y suficiente para que un sistema esté es equilibrio estático, es que el trabajo virtual de las fuerzas activas, nunca sea positivo: En otras palabras, podríamos decir que, “en toda partícula, las fuerzas perdidas se utilizan para equilibrad a las fuerzas reactivas”. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES: ത𝐹𝑖 𝑃 + ത𝑅𝑖 = ത0 𝛿𝑇𝑣𝑖 𝑎𝑐𝑡 ≤ 0 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝛿 ҧ𝑟𝑖 ≤ 0 ECUACIÓN SIMBÓLICA DE LA MECÁNICA Juntando la condición de equilibrio dinámico, con el principio de los trabajos virtuales, tendremos la condición general para equilibrio dinámico: Si consideramos un sistema de n partículas: Siendo que el trabajo virtual de las fuerzas reactivas del tipo holónomos, es siempre nulo. ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 + ത𝑅𝑖 −𝑚𝑖 . ത𝑎𝑖 . 𝛿 ҧ𝑟𝑖 = 0 ത𝐹𝑖 𝑃 + ത𝑅𝑖 . 𝛿 ҧ𝑟𝑖 = 0 ത𝐹𝑖 𝑃. 𝛿 ҧ𝑟𝑖 = 0 𝒊=1 𝒏 ഥ𝑭𝒊 𝑷. 𝜹ത𝒓𝒊 = 0 ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS HOLÓNOMOS Si expresamos: Si reemplazamos en la ecuación simbólica: Donde el desplazamiento virtual i-ésimo será: ҧ𝑟𝑖 = 𝑓𝑖 𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡 𝛿ഥ𝑟𝑖 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 − ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 Como las fuerzas activas no dependen de los grados de libertad Como 𝑑𝑞𝑗, es un escalar, y no depende de i 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑓 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 Definimos al término dentro del corchete de la primer sumatoria, con el nombre de Fuerza generalizada asociada a la coordenada 𝑞𝑗, y se la representa con el símbolo 𝑄𝑗 Retomemos la ecuación, expresándola en función de la fuerza generalizada: 𝑄𝑗 = 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 como los ሶത𝑄𝑖, no dependen de los grados de libertad en j, los incluimos dentro de las segunda sumatoria: 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 . − 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑓 ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 − 𝑗=1 𝑓 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 Como: 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 ሶത𝑄𝑖 = 𝑑(𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 Τ) 𝑑 𝑡 Si calculamos: 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 = 𝑚𝑖. 𝑑 ҧ𝑣𝑖 𝑑𝑡 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 +𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 = ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗+𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 − 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 Donde: Recordemos: ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 − 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 = 𝑘=1 𝑓 𝜕2ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝜕𝑞𝑘 . 𝑑𝑞𝑘 𝑑𝑡 + 𝜕 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑞𝑗 . 𝑘=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑘 . 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 ҧ𝑟𝑖 = 𝑓𝑖 𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡 ҧ𝑣𝑖 = 𝑑 ҧ𝑟𝑖 𝑑𝑡 = 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝑞1 . 𝜕𝑞1 𝜕𝑡 + 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝑞2 . 𝜕𝑞2 𝜕𝑡 + 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝑞3 . 𝜕𝑞3 𝜕𝑡 +⋯+ 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝜕𝑡 = 𝑘=1 𝑓 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝑞𝑘 . 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑡 + 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝜕𝑡 por lo tanto: 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 = 𝜕 𝜕𝑞𝑗 . 𝑘=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑘 . ሶ𝑞𝑘 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 = 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕𝑞𝑗 Como: Retomamos: 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = 𝜕 Τഥ𝑟𝑖 𝜕 𝑡 𝜕 Τ𝑞𝑗 𝜕 𝑡 = 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕 ሶ𝑞𝑗 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 − 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑑 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕 ሶ𝑞𝑗 𝑑𝑡 −𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 Si tenemos en cuenta la definición de energía cinética: Entonces: 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 = 1 2 . 𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 = 𝑇𝑖 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝜕 𝑑 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 𝑑𝑡 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑗=1 𝑓 𝑄𝑗 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 𝜕 ሶ𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 + 𝜕 𝜕𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 Como las coordenadas generalizadas que nosotros utilizamos en esta descripción, sí son independientes entre sí, entonces estas ecuaciones se pueden desacoplar, dando lugar a f ecuaciones de la forma: Como: 𝑄𝑗 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 𝜕 ሶ𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 + 𝜕 𝜕𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 1 2 .𝑚𝑖. ҧ𝑣𝑖 2 . 𝑑𝑞𝑗 = 0 𝑑𝑞𝑗 ≠ 0 Entonces: 𝒅 𝒅𝒕 𝜕𝑻 𝜕 ሶ𝒒𝒋 − 𝜕𝑻 𝜕𝒒𝒋 = 𝑸𝒋 Estas ecuaciones se conocen con el nombre de expresiones de Lagrange para sistemas holónomos, en función de las fuerzas generalizadas (Qj) En ellas no figuran las fuerzas de Restricción y constituyen una alternativa para plantear las ecuaciones de movimiento en función de las variables qj. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS HOLÓNOMOS CONSERVATIVOS Si el sistema es conservativo, entonces, existe una función potencial V (función escalar), tal que el campo de fuerzas se puede escribir como un campo de gradientes de esa función potencial: La fuerza generalizada, quedaría: )ത𝐹𝑖 𝑎 = −𝛻𝑖(V 𝑄𝑗 = 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎 . 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = 𝑖=1 𝑛 −𝛻𝑖(V). 𝜕 ҧ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑞𝑗 Entonces: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑗 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑞𝐽 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑗 + 𝜕𝑉 𝜕𝑞𝐽 = 0 En el primer término no aparece V, pero igual lo podemos introducir de “prepo”, ya que no depende de ሶ𝑞𝑗, por lo que su derivada será nula si a esta nueva magnitud, que resulta de sumar la energía cinética más la potencial, la llamamos Lagrangiano: L Donde, L = T-V es la resta de las energías cinética y potencial. Esta ecuación también está desacoplada y se debe repetir para cada grado de libertad. Es decir, tendremos f ecuaciones 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕 𝑇 − 𝑉 𝜕𝑞𝑗 = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 𝑇 − 𝑉 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕 𝑇 − 𝑉 𝜕𝑞𝑗 = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 𝐋 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕 𝐋 𝜕𝑞𝑗 = 0 Ecuaciones de Lagrange con parámetros superabundantes Partimos del vector posición de la partícula i, expresado en función de las coordenadas generalizadas: Donde: Siendo el desplazamiento virtual: ҧ𝑟1 = 𝑓1 𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡 𝑑 ҧ𝑟1 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 𝛿ഥ𝑟𝑖 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 Si calculamos la velocidad de la partícula i ҧ𝑣𝑖 = 𝑑 ҧ𝑟𝑖 𝑑𝑡 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 𝑑𝑡 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . ሶ𝑞𝑗 + 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑡 En cambio, la velocidad virtual, asociada a un desplazamiento virtual, que no depende del tiempo, será: La idea es muy sencilla, si con f coordenadas generalizadas podemos armar f ecuaciones linealmente independientes (lo cual nos permitiría resolver problemas con hasta f incógnitas), si aumentamos el número de parámetros (o de coordenadas generalizadas) a m, podremos resolver problemas con mayor número de incógnitas. Donde m tiene que ser 𝑓 ≤ 𝑚 ≤ 3. 𝑛, y 3. 𝑛 − 𝑘 = 𝑓. O sea que también 𝑓 ≤ 𝑚 ≤ 𝑓 + 𝑘: El hecho es que estos parámetros que van desde f hasta 3.n, están ligados entre sí, a través de k ecuaciones de ligadura. Estas son justamente las k ecuaciones restricción ҧ𝑣𝑖𝑟𝑡 = 𝛿 ҧ𝑟𝑖 𝛿𝑡 = 𝑗=1 𝑓 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 𝛿𝑡 Volvamos entonces a la ecuación simbólica de la mecánica: 𝒊=1 𝒏 ഥ𝑭𝒊 𝒂𝒄𝒕 − ሶഥ𝑸𝒊 . 𝜹ത𝒓𝒊 = 0 Si reemplazamos de nuevo la expresión del desplazamiento virtual, pero ahora expresado en función de m parámetros o coordenadas generalizadas (dentro de las cuales hay f que son independientes, pero m-f dependientes), tendremos: 𝛿 ҧ𝑟𝑖 = 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡 − ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 Trabajamos sobre la expresión: 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 ሶത𝑄𝑖 . 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 𝑖=1 𝑛 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑑 ത𝑄𝑖 𝑑𝑡 . 𝑗=1 𝑚 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑑 ത𝑄𝑖 𝑑𝑡 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 Para sacar la derivada temporal afuera de la sumatoria del segundo término, tenemos que hacer igual que antes y restar el término adicional que aparecerá al derivar el desplazamiento virtual (ver ecuación 11) 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑑 𝑑𝑡 ത𝑄𝑖 . 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 − ത𝑄𝑖 . 𝑑 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 El primero termino corresponde a las fuerzas generalizadas, asociadas a cada uno de los m coordenadas elegidas. El segundo no es otra cosa que la derivada temporal, de la derivada de la energía cinética respecto de las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas ( ሶ𝑞𝑗): 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ሶ𝑞𝑗 ; El tercero, también está asociado a la energía cinética: 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑑 𝑑𝑡 ത𝑄𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − ത𝑄𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕𝑞𝑗 . 𝛿𝑞𝑗 = 0 A continuación vamos a forzar la igualdad a cero agregando términos que satisfagan la condición de nulidad para un valor determinado de k parámetros, de valor a determinar: 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 ത𝐹𝑖 𝑎𝑐𝑡. 𝜕ഥ𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 − 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑑 𝑑𝑡 ത𝑄𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕 ሶ𝑞𝑗 − ത𝑄𝑖 . 𝜕 ҧ𝑣𝑖 𝜕𝑞𝑗 + 𝑠=1 𝑘 𝑗=1 𝑚 𝜆𝑠. 𝜕𝑔𝑠 𝜕𝑞𝑗 = 0 Ordenando y desacoplando en función de los parámetros o coordenadas: 𝒅 𝒅𝒕 𝜕𝑻 𝜕 ሶ𝒒𝒋 − 𝜕𝑻 𝜕𝒒𝒋 = 𝒊=1 𝒏 ഥ𝑭𝒊 𝒂𝒄𝒕. 𝜕 ഥ𝒓𝒊 𝜕𝒒𝒋 + 𝒔=1 𝒌 𝝀𝒔. 𝜕𝒈𝒔 𝜕𝒒𝒋 Éste es un sistema, de m x m+k. O sea, que tiene m ecuaciones con m+k incógnitas: “m” en términos de coordenadas generalizadas (𝑞𝑗, con 𝑗 = 1… ,𝑚, y con 𝑚 > 𝑓 ); Pero también hay “k” incógnitas adicionales en términos de los parámetros de Lagrange, 𝜆𝑠. Para poder resolverlo es necesario incorporar las k ecuaciones de restricción: Si el sistema fuera conservativo, la expresión se reduciría a: 𝒅 𝒅𝒕 𝜕𝑳 𝜕 ሶ𝒒𝒋 − 𝜕𝑳 𝜕𝒒𝒋 = 𝒔=1 𝒌 𝝀𝒔. 𝜕𝒈𝒔 𝜕𝒒𝒋 ECUACIONES CANÓNICAS DE HAMILTON Hamilton define una función H, que denominaremos “Hamiltoniano”, que nos permite incrementar el número de ecuaciones, reduciendo su orden en una unidad (recordemos que las ecuaciones de Lagrange son de segundo orden): Donde: ▪ f son los DOF netos. Para el caso de partículas: f=3.n-k; ▪ k cantidad derestricciones; ▪ 𝑞𝑗 coordenadas generalizadas, en este caso independientes entre sí; ▪ L: Lagrangiano (L=T-V). 𝐻 = 𝑗=1 𝑓 𝜕𝐿 𝜕 ሶ𝑞𝑗 . ሶ𝑞𝑗 − 𝐿 Si llamamos Impulso generalizado, a la siguiente expresión: 𝒑𝒋 = 𝜕𝑳 𝜕 ሶ𝒒𝒋 Luego, la ecuación de Lagrange para sistemas holónomos conservativos, podría escribirse: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 ሶ𝑞𝑗 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑗 = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑝𝑗 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑗 = 0 ሶ𝒑𝒋 = 𝜕𝑳 𝜕𝒒𝒋 Reemplazando, el Hamiltoniano queda: 𝐻 = 𝑗=1 𝑓 𝑝𝑗 . ሶ𝑞𝑗 − 𝐿 Aplicando las relaciones indicadas 𝑑𝐻 = 𝑗=1 𝑓 𝑝𝑗 . 𝑑 ሶ𝑞𝑗 + ሶ𝑞𝑗 . 𝑑𝑝𝑗 − 𝑗=1 𝑓 𝜕𝐿 𝜕 ሶ𝑞𝑗 . 𝑑 ሶ𝑞𝑗 − 𝑗=1 𝑓 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 − 𝜕𝐿 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝐻 = 𝑗=1 𝑓 𝑝𝑗 . 𝑑 ሶ𝑞𝑗 + ሶ𝑞𝑗 . 𝑑𝑝𝑗 − 𝑗=1 𝑓 𝑝𝑗 . 𝑑 ሶ𝑞𝑗 − 𝑗=1 𝑓 ሶ𝑝𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 − 𝜕𝐿 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝐻 = 𝑗=1 𝑓 ሶ𝑞𝑗 . 𝑑𝑝𝑗 − ሶ𝑝𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 − 𝜕𝐿 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝐻 = 𝑗=1 𝑛 𝜕𝐻 𝜕𝑝𝑗 . 𝑑𝑝𝑗 + 𝜕𝐻 𝜕𝑞𝑗 . 𝑑𝑞𝑗 + 𝜕𝐻 𝜕𝑡 . 𝑑𝑡 Como el Lagrangiano, 𝐿 = 𝑓( ሶ𝑞𝑗; 𝑞𝑗; 𝑡) Comparando las últimas dos, se debe cumplir que: Las expresiones conforman un sistema de 2.f + 1 ecuaciones de primer orden. Si el Lagrangiano no depende del tiempo, entonces, como indica la última, el Hamiltoniano tampoco, y el sistema se reduce a 2.f ecuaciones diferenciales de primer orden. 𝜕𝑯 𝜕𝒑𝒋 = ሶ𝒒𝒋 𝜕𝑯 𝜕𝒒𝒋 = − ሶ𝒑𝒋 𝜕𝑯 𝜕𝒕 = 𝜕𝑳 𝜕𝒕
