Matriz de Manivela 5 Varillas[1]

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1 
 
Tensor de Inercia 
Momentos de Inercia 
 
 Defínase el Tensor de Inercia de un Cuerpo Rígido: 
 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) 
 
 Defínase los siguientes Momentos de Inercia: 
𝐽𝑥𝑥 = ∭(𝑦
2 + 𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉 
𝐽𝑦𝑦 = ∭(𝑥
2 + 𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉 
𝐽𝑧𝑧 = ∭(𝑥
2 + 𝑦2). 𝜌. 𝑑𝑉 
𝐽𝑥𝑦 = 𝐽𝑦𝑥 = ∭(𝑥. 𝑦). 𝜌. 𝑑𝑉 
𝐽𝑦𝑧 = 𝐽𝑧𝑦 = ∭(𝑦. 𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉 
𝐽𝑧𝑥 = 𝐽𝑥𝑧 = ∭(𝑥. 𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉 
 
donde: 
• x: coordenada “x” del elemento de volumen del cuerpo dV [m]; 
• y: coordenada “y” del elemento de volumen del cuerpo dV [m]; 
• z: coordenada “z” del elemento de volumen del cuerpo dV [m]; 
• ρ: densidad del cuerpo [kg/m3]. 
 
2 
 
Teorema de Stainer 
 Dado un conjunto de momentos de inercia baricéntricos de un cuerpo, es posible calcular los 
seis momentos característicos respecto de una terna de ejes no ubicada en su baricentro en 
base a las siguientes ecuaciones: 
𝐽𝑥′𝑥′ = 𝐽𝑥𝑥𝐺 + (𝑦
2 + 𝑧2). 𝑚 
𝐽𝑦′𝑦′ = 𝐽𝑦𝑦𝐺 + (𝑥
2 + 𝑧2). 𝑚 
𝐽𝑧′𝑧′ = 𝐽𝑧𝑧𝐺 + (𝑥
2 + 𝑦2). 𝑚 
𝐽𝑥′𝑦′ = 𝐽𝑦′𝑥′ = 𝐽𝑥𝑦𝐺 + (𝑥. 𝑦). 𝑚 
𝐽𝑦′𝑧′ = 𝐽𝑧′𝑦′ = 𝐽𝑦𝑧𝐺 + (𝑦. 𝑧). 𝑚 
𝐽𝑧′𝑥′ = 𝐽𝑥′𝑧′ = 𝐽𝑧𝑥𝐺 + (𝑧. 𝑥). 𝑚 
 
donde: 
• m: masa del cuerpo [kg]; 
• x: coordenada “x” del baricentro respecto del eje x’ [m]; 
• y: coordenada “y” del baricentro respecto del eje y’ [m]; 
• z: coordenada “z” del baricentro respecto del eje z’ [m]. 
 
 
 
3 
 
Matriz de Inercia de Varilla 
 
 Dada una variall de radio r = 10 mm y longitud L = 200 mm de acero (ρ = 7900 kg/m3), 
obtener su matriz de inercia respecto de la terna x-y-z según la disposición de la figura. 
A partir de esta matriz y con el teorema de Stainer, obtener la matriz de inercia 
respecto del baricentro de la varilla. 
 
 
 Aplicando las definiciones de momento de inercia se obtiene: 
dV = (π.r2).dx 
 
𝐽𝑥𝑥 = ∭(𝑦
2 + 𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (02 + 02)
𝐿
0
. (𝜋. 𝑟2). 𝑑𝑥 = 0 
𝐽𝑦𝑦 = ∭(𝑥
2 + 𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (𝑥2 + 02). (𝜋. 𝑟2). 𝑑𝑥
𝐿
0
= 𝜌. 𝜋. 𝑟2.
𝐿3
3
=
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧 = ∭(𝑥
2 + 𝑦2). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (𝑥2 + 02). (𝜋. 𝑟2). 𝑑𝑥
𝐿
0
= 𝜌. 𝜋. 𝑟2.
𝐿3
3
=
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
4 
 
𝐽𝑥𝑦 = 𝐽𝑦𝑥 = ∭(𝑥. 𝑦). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (𝑥. 0). (𝜋. 𝑟
2). 𝑑𝑥
𝐿
0
= 0 
𝐽𝑦𝑧 = 𝐽𝑧𝑦 = ∭(𝑦. 𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (0.0). (𝜋. 𝑟
2). 𝑑𝑥
𝐿
0
= 0 
𝐽𝑧𝑥 = 𝐽𝑥𝑧 = ∭(𝑥. 𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉 = 𝜌. ∫ (𝑥. 0). (𝜋. 𝑟
2). 𝑑𝑥
𝐿
0
= 0 
 La matriz de inercia queda de la siguiente manera: 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (
0 0 0
0
1
3
. 𝑚. 𝐿2 0
0 0
1
3
. 𝑚. 𝐿2
) 
 La masa de la varilla: 
𝑚 = 𝜌. (𝜋. 𝑟2. 𝐿) = (7900
𝑘𝑔
𝑚3
) . [𝜋. (0,01 𝑚)2. (0,2 𝑚)] = 0,496 𝑘𝑔 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (
0 0 0
0
1
3
. 𝑚. 𝐿2 0
0 0
1
3
. 𝑚. 𝐿2
) = (
0 0 0
0 6,61𝑥10−3 0
0 0 6,61𝑥10−3
) 𝑘𝑔. 𝑚2 
 Respecto del baricentro de la varilla, se deberá aplicar el teorema de Stainer para su 
cálcuo. 
𝐽𝑥𝑥𝐺 = 𝐽𝑥𝑥 − (𝑦
2 + 𝑧2). 𝑚 = 0 − (02 + 02). 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑦𝐺 = 𝐽𝑦𝑦 − (𝑥
2 + 𝑧2). 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 − [(
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧𝐺 = 𝐽𝑧𝑧 − (𝑥
2 + 𝑦2). 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 − [(
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑦𝐺 = 𝐽𝑦𝑥𝐺 = 𝐽𝑥𝑦 − (𝑥. 𝑦). 𝑚 = 0 − [(
𝐿
2
) . 0] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑧𝐺 = 𝐽𝑧𝑦𝐺 = 𝐽𝑦𝑧 − (𝑦. 𝑧). 𝑚 = 0 − (0.0). 𝑚 = 0 
𝐽𝑧𝑥𝐺 = 𝐽𝑥𝑧𝐺 = 𝐽𝑧𝑥 − (𝑧. 𝑥). 𝑚 = 0 − [0. (
𝐿
2
)] . 𝑚 = 0 
 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (
0 0 0
0
1
12
. 𝑚. 𝐿2 0
0 0
1
12
. 𝑚. 𝐿2
) = (
0 0 0
0 1,65𝑥10−3 0
0 0 1,65𝑥10−3
) 𝑘𝑔. 𝑚2 
 
5 
 
Manivela de Cinco Varillas 
 
 Dadas cinco varillas de radio r = 10 mm y longitud L = 200 mm de acero (ρ = 7900 kg/m3) 
obtener su matriz de inercia respecto de la terna de referencia esquematizada en la figura. 
 
 Numerando desde el origen de coordenadas del 1 al 5 se ubican ternas baricéntricas 
locales para aplicar el teorema de Stainer respecto del origen y así obtener la matriz de 
inercia. 
 
6 
 
 
𝐽𝑥𝑥1 = 0 + (0
2 + 02). 𝑚 = 0 
𝐽𝑥𝑥2 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(−
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑥3 = 0 + [(−𝐿)
2 + 02]. 𝑚 = 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑥4 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(−
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑥5 = 0 + (0
2 + 02). 𝑚 = 0 
𝑱𝒙𝒙 = ∑ 𝑱𝒙𝒙𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 = 𝟎 +
𝟏
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 + 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟏
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 + 𝟎 =
𝟓
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 
 
𝐽𝑦𝑦1 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑦𝑦2 = 0 + [(𝐿)
2 + 02]. 𝑚 = 𝑚. 𝐿2 
7 
 
𝐽𝑦𝑦3 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
3.𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
7
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑦𝑦4 = 0 + [(2. 𝐿)
2 + 02]. 𝑚 = 4. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑦𝑦5 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
5.𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
19
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝑱𝒚𝒚 = ∑ 𝑱𝒚𝒚𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 =
𝟏
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 + 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟕
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 + 𝟒. 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟏𝟗
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 = 𝟏𝟒. 𝒎. 𝑳𝟐 
 
𝐽𝑧𝑧1 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
1
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧2 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(𝐿)2 + (−
𝐿
2
)
2
] . 𝑚 =
4
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧3 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
3.𝐿
2
)
2
+ (−𝐿)2] . 𝑚 =
10
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧4 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(2. 𝐿)2 + (−
𝐿
2
)
2
] . 𝑚 =
13
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑧𝑧5 =
1
12
. 𝑚. 𝐿2 + [(
5.𝐿
2
)
2
+ 02] . 𝑚 =
19
3
. 𝑚. 𝐿2 
𝑱𝒛𝒛 = ∑ 𝑱𝒛𝒛𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 =
𝟏
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟒
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟏𝟎
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟏𝟑
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 +
𝟏𝟗
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 =
𝟒𝟕
𝟑
. 𝒎. 𝑳𝟐 
 
𝐽𝑥𝑦1 = 𝐽𝑦𝑥1 = 0 + [(
𝐿
2
) . (0)] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑥𝑦2 = 𝐽𝑦𝑥2 = 0 + [(𝐿). (−
𝐿
2
)] . 𝑚 = −
1
2
. 𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑦3 = 𝐽𝑦𝑥3 = 0 + [(
3.𝐿
2
) . (−𝐿)] . 𝑚 = −
3
2
𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑦4 = 𝐽𝑦𝑥4 = 0 + [(2. 𝐿). (−
𝐿
2
)] . 𝑚 = −𝑚. 𝐿2 
𝐽𝑥𝑦5 = 𝐽𝑦𝑥5 = 0 + [(
5.𝐿
2
) . (0)] . 𝑚 = 0 
𝑱𝒙𝒚 = 𝑱𝒚𝒙 = ∑ 𝑱𝒙𝒚𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 = 𝟎 −
𝟏
𝟐
. 𝒎. 𝑳𝟐 −
𝟑
𝟐
𝒎. 𝑳𝟐 − 𝒎. 𝑳𝟐 + 𝟎 = −𝟑. 𝒎. 𝑳𝟐 
 
 
8 
 
𝐽𝑦𝑧1 = 𝐽𝑦𝑧1 = 0 + [(0). (0)]. 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑧2 = 𝐽𝑦𝑧2 = 0 + [(−
𝐿
2
) . (0)] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑧3 = 𝐽𝑦𝑧3 = 0 + [(−𝐿). (0)]. 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑧4 = 𝐽𝑦𝑧4 = 0 + [(−
𝐿
2
) . (0)] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑦𝑧5 = 𝐽𝑦𝑧5 = 0 + [(0). (0)]. 𝑚 = 0 
𝑱𝒚𝒛 = 𝑱𝒚𝒛 = ∑ 𝑱𝒚𝒛𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = 𝟎 
 
𝐽𝑧𝑥1 = 𝐽𝑥𝑧1 = 0 + [(0). (
𝐿
2
)] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑧𝑥2 = 𝐽𝑥𝑧2 = 0 + [(0). (𝐿)]. 𝑚 = 0 
𝐽𝑧𝑥3 = 𝐽𝑥𝑧3 = 0 + [(0). (
3.𝐿
2
)] . 𝑚 = 0 
𝐽𝑧𝑥4 = 𝐽𝑥𝑧4 = 0 + [(0). (2. 𝐿)]. 𝑚 = 0 
𝐽𝑧𝑥5 = 𝐽𝑥𝑧5 = 0 + [(0). (
5.𝐿
2
)] . 𝑚 = 0 
𝑱𝒛𝒙 = 𝑱𝒛𝒙 = ∑ 𝑱𝒛𝒙𝒊
𝟓
𝒊=𝟏 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = 𝟎 
 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (
5
3
. 𝑚. 𝐿2 −3. 𝑚. 𝐿2 0
−3. 𝑚. 𝐿2 14. 𝑚. 𝐿2 0
0 0
47
3
. 𝑚. 𝐿2
) 
 
Masa de la Varilla 
𝑚 = 𝜌. 𝑉 = 𝜌. (𝑆. 𝐿) = 𝜌. [(𝜋. 𝑟2). 𝐿] = (7900 𝑘𝑔/𝑚3). [𝜋. (0,01 𝑚)2. (0,2 𝑚)] = 0,496 𝑘𝑔 
 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (−
0,033 𝑘𝑔. 𝑚2 −0,060 𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2
0,060 𝑘𝑔. 𝑚2 0,278 𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2
0𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2 0,311 𝑘𝑔. 𝑚2
) 
 
9 
 
La matriz de inercia calculada con el SolidWorks es la siguiente: 
𝐽 = (
𝐽𝑥𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧
𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 𝐽𝑦𝑧
𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
) = (−
0,033 𝑘𝑔. 𝑚2 −0,059 𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2
0,059 𝑘𝑔. 𝑚2 0,277 𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2
0𝑘𝑔. 𝑚2 0 𝑘𝑔. 𝑚2 0,310 𝑘𝑔. 𝑚2
)