Vibraciones Mecánica UTN-FRH

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Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UTN-FRH 
 
 
 
 
 
 
 
CARRERA: ING. AERONÁUTICA 
 
 
 
CATEDRA: MECÁNICA 
 
TEMA: VIBRACIONES MECÁNICAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 
 
PROFESOR: PABLO BAÑOS; EDUARDO SECCO 
 
JTP: RODRIGO LERENA 
 
AYUDANTE: EZEQUIEL AYALA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EZEQUIEL R. AYALA 
 
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[2] 
Objetivo: 
 
Estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una perturbación 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este tipo de problema es una introducción al estudio de la teoría de los “sistemas de control”, 
donde se analiza el comportamiento de los sistemas con un enfoque orientado a la respuesta del 
mismo ante una excitación. 
 
 
 
 
 
 
Nuestro caso de estudio es reducido a los sistemas de un grado de libertad, donde existan 
propiedades de inercia (masa), rigidez (resorte), y amortiguamiento viscoso (amortiguador). 
 
En la práctica podemos encontrar un amplio campo de aplicación para este tipo de sistemas, como 
sistemas de amortiguación de vehículos y, en especial para nuestra actividad, el tren de aterrizaje 
de las aeronaves. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el diseño de un sistema de amortiguación se debe considerar todo el espectro de solicitaciones 
a las cuales va a estar solicitado durante la operación del mismo. Por ello en este tipo de estudios la 
excitación que se analiza no es única, sino un rango variable. 
 
 
Excitación 
(Entrada) 
Función 
de 
transferencia 
(Sistema) 
Respuesta 
(Salida) 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el ensayo de un tren de aterrizaje se realizan pruebas en banco que simulan desde excitaciones 
periódicas, como serian irregularidades en la pista hasta fuerzas del tipo impulsivas como el caso de 
un impacto. 
 
 
Temas a desarrollar – Plan de acción: 
 
 
A modo de comprender el efecto que cada componente aporta al problema, vamos a optar por 
dividirlo en tres casos de complejidad creciente, donde ser irá incorporando diferentes 
componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibraciones Libres: 
 
En este caso se estudia como es la respuesta de un sistema Masa – Resorte (efecto de inercia y 
rigidez) ante una perturbación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[4] 
Lo primero que vamos a definir es ¿Qué es la respuesta?: en nuestro caso será la posición y sus 
magnitudes derivadas, tales como son la velocidad y la aceleración. 
 
Luego la lógica nos lleva a la siguiente pregunta ¿y entonces que es una perturbación?: bueno eso 
ya es un poco más difícil, en principio lo podemos definir como un estado apartado del equilibrio; 
este estado puede ser un desplazamiento inicial o bien cualquiera de sus magnitudes derivadas 
llamémoslo Xo Vo ao y su combinación. 
 
Una vez definidas estas cuestiones debemos abocarnos a la tarea de la resolución del problema, 
para ello al igual que vinimos trabajando en los problemas de la materia lo primero a plantear es el 
sistema de referencia con el cual vamos a trabajar. 
 
Para ello fijamos el origen en la posición de reposo del 
sistema, donde el resorte posee cero potencial elástico 
 
Una vez definido el sistema de referencia procedemos a 
realizar el diagrama de cuerpo libre del sistema; para 
ello debemos expresar todas las fuerzas que 
intervienen, tomando como referencia una posición 
genérica instantánea. 
 
De los métodos de resolución vistos en la materia (sumatoria de 
fuerzas exteriores, sumatoria de momentos exteriores y planteo 
energético) elegimos plantear la segunda ley de Newton. 
 
∑ �̅�=m.�̅� 
 
 
Esta ecuación es de carácter vectorial, por lo que puede ser dividida en 3 ecuaciones escalares. 
 
𝑖̌) -k.x=m. 
𝜕2x
𝜕𝑡2
 
 
𝑗̌) N - P=0 
 
Dado que nuestro problema es de un solo grado de libertad, vemos que lo único que expresa la 
ecuación en j es la solución trivial. 
 
-k.x=m. 
𝜕2x
𝜕𝑡2
 
 
-
k
m
.x=
𝜕2x
𝜕𝑡2
 
 
�̈�+
k
m
 x = 0 
*Definimos como frecuencia natural a la relación: 
 
0
k
m
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[5] 
 
2
0 . 0x x   
 
Esta expresión se la conoce como ecuación característica del sistema y corresponde a la ecuación 
diferencial de un movimiento oscilatorio armónico 
 
Para resolver esta ecuación diferencial de segundo orden homogénea a coeficientes constantes 
(Lineal) se puede utilizar la formulación de transformada de Laplace, llevando a una ecuación 
algebraica en el plano complejo s. 
 
*Tomando como condición de borde los parámetros iniciales: 
 
Desplazamiento inicial de la posición de equilibrio: 
0x x 
Velocidad instantánea inicial: 
0v x x  
 
Aplicando transformada de Laplace a la ecuación característica con las condiciones de borde: 
2 2
0 0 0( ) . ( ) 0s X s s x x X s    
 
2 2
0 0 0( )( ) . 0X s s s x x    
 
0 0
02 2 2 2
0 0 0
( )
( ) ( )
x s
X s x
s s

  
 
 
 
 
*Como 
2 2
[ ( )]
( )
s
L Cos t
s




 
2 2
[ ( )]
( )
L Sin t
s





 
 
Aplicando la Anti transformada: 
0
0 0 0
0
( ) ( ) ( )
x
X t Sin t x Cos t 

  
 
*Esta suma se puede expresar como función sinodal simple 
0
0
x
A

 
0B x 
 
. ( )A C Cos  
. ( )B C Sin  
B
ArcTan
A

 
   
 
 
 
*Reemplazamos: 
0 0( ) . ( ). ( ) . ( ). ( )X t C Cos Sin t C Sin Cos t     
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[6] 
0( ) . ( )X t C Sin t    
 
*Como 
2 2 2 2 2[ ( ) ( )]A B C Sin Cos    
2
2 20
02
0
x
C x

   
 
2
20
0 02
0
( ) . ( )
x
X t x Sin t 

    
 
2
20
0 0 02
0
( ) . . ( )
x
V t x Cos t  

    
 
2
2 20
0 0 02
0
( ) . . ( )
x
a t x Sin t  

     
 
La respuesta es del tipo oscilatorio con periodo: 
0
2
T


 
 
 
Ejercicio Péndulo a Torsión 
 
 
Es un ejemplo de aplicación práctica de un mecanismo usado comúnmente en relojería como 
mecanismo cronométrico, aprovechando la característica oscilatoria de periodo constante (mecanismo 
ideal). 
 
Los principales componentes son un disco que consideraremos de 
espesor despreciable con masa “m”, una barra de conexión totalmente 
rígida con momento de inercia mucho menor al del disco y un resorte de 
torsión cuyo módulo de elasticidad es G [N.m/rd] 
 
 
 
 
 
 
Consideramos que en un instante inicial el disco es perturbado de la posición de equilibrio mediante 
un desplazamiento angular o una velocidad angular 
 
Como la función de este mecanismo es medir el paso del tiempo lo que nos interesa es conocer su 
periodo, para ello debemos poder expresar la ecuación característica del sistema 
 
A diferencia del caso de estudio anterior donde planteamos sumatoria de fuerzas, en esta ocasión 
vemos que intervienen pares, por lo cual nos valemos de la ecuación de momentos 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[7] 
 
 
Considerando una terna fija con origen en el punto “o” el eje x alineado con la posición de equilibrio, el 
eje z colineal con la barra y tomando como centro de reducción de momentos el punto “o” 
 
 
o
o
ext o
L
M V Q
t

  

 
 
0oV  
 
o
o
ext
L
M
t

 

 
 
Donde: 
. ( ) [ ]o oGL M V O G J      
0G oV V  
 
2
2 2
2
1
0 0
4 0
1 1
[ ] 0 0 0
4 2
1
0 0
2
o
MR
J MR MR k
MR
 

 
 
  
     
  
    
 
 
 
 
 
21
2
oL
MR k
t t
 

 
 
 
.
o
extM G k  
 
Reemplazamos: 
21) .
2
k G MR
t



 

 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[8] 
Podemos reescribir para que nos quede expresado en la variable de desplazamiento angular 
 
2
2
2
1
.
2
G MR
t



 

 
 
2
2
. 0
G
MR
   
 
Donde podemos renombrar como frecuencia natural: 
0 2
2G
MR
  
 
2
0 . 0    
 
Vemos que esta ecuación diferenciales de la misma forma que la que resolvimos para el problema de 
la masa resorte, por lo cual su solución también será de la misma forma. 
 
Con respecto a la expresión de la frecuencia natural vemos que físicamente se trata del mismo 
fenómeno, es la raíz de la rigidez sobre la masa. 
 
0
0 0 0
0
( ) ( ) ( )t Sin t Cos t

   

  
 
De idéntica forma que el caso de la masa resorte podemos llegar a la expresión del periodo 
 
0
2
T


 
 
2
2
2
T
G
MR

  
 
 
 
Ejercicio Masa-Resorte Vertical 
 
En este caso estudiaremos un sistema compuesto por una masa que cuelga de un resorte en posición 
vertical, estando sometido al efecto de la gravedad. 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[9] 
 
 
En este caso la única diferencia que presenta con el sistema horizontal es que a causa del peso el 
resorte sufre una deflexión estática, por lo tanto el movimiento visto desde el sistema de referencia 
anterior se ve afectado por la adición de una constante δe la cual se puede calcular planteando el 
equilibrio estático del sistema 
 
0
ext
F  
 
. 0P k e  
 
mg
e
k
  
Con hacer un cambio de variable podemos utilizar los mismos resultados que para el caso horizontal 
 
'X X e  
 
 
 
 
 
 
 
------ 
Ejercicio Barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------ 
 
Vibraciones Libres con amortiguamiento: 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[10] 
En este caso se estudia como es la respuesta de un sistema Masa – Resorte-Amortiguador (efecto de 
inercia, rigidez, disipación viscosa) ante una perturbación. 
 
 
 
 
 
 
 
Para la resolución seguiremos la misma lógica que usamos en el caso de vibraciones libres con la 
adición del efecto del amortiguador 
 
ext Q
F
t



 
 
2
2
x
vi kxi N P m i
t


    

 
 
 
 
Como se trata de un movimiento lineal, nos quedamos solo con la ecuación en i 
 
2
2
)
x
i v kx m
t


  

 
k
x x x
m m

   
2
0 0x x x
m

   
 
Para resolver esta ecuación diferencial usamos el método de soluciones producto, donde proponemos 
como solución una función del tipo exponencial 
 
( ) tX t e 
 
Reemplazamos 
2 2
0 0
t t te e e
m
       
2 2
0( ) 0
te
m
      
2
2
0
1 2
4
2
m m
 

 
 
   
 
 
2
2
1 2 0
2 2m m
 
 
 
    
 
 
 
Definimos ßcr (amortiguamiento crítico) como aquel que anula el término de la raíz 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[11] 
2
2
0 0
2
cr
m


 
  
 
 
02cr m   
 
A la razón entre el amortiguamiento y el amortiguamiento crítico la llamamos amortiguamiento 
relativo 
cr



 0  
 
Ahora si reescribimos la ecuación como 
 
2
0 02 0x x x    
 
Vemos que esta ecuación presenta distintos tipos de solución según el valor que tome η 
 
-Primer caso: Sobreamortiguado 
cr  
En este caso las raíces (λ1 y λ2) toman valores reales y distintos, por lo que la solución es del tipo 
 
1 2( )
t t
X t Ae Be
 
  
 Planteamos como condición de borde la posición y velocidad inicial (t = 0) 
0(0)x x 
0 0(0)x x v  
Reemplazamos en la función solución 
1 20 0(0)X Ae Be
 
  
0(0)X x A B    
Para el caso de la velocidad inicial 
1 2
1 2'( )
t t
X t A e B e
    
1 20 0
1 2'(0)X A e B e
    
0 1 2'(0)X x A B     
 
1 0 0
1 2
x x
A

 



 0 2 0
1 2
x x
B

 



 
 
Reemplazamos en la función solución: 
 
1 21 0 0 0 2 0
1 2 1 2
( )
t tx x x x
X t e e
  
   
 
  
 
 
 
Ejemplo con distintas condiciones iniciales 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[12] 
 
*Se observa que la respuesta no es oscilatoria 
 
-Segundo Caso: Críticamente amortiguado 
cr  
 
En este caso las raíces (λ1 y λ2) toman valores reales iguales, por lo que la solución es del tipo 
( ) t tX t Ae Bte   
Donde λ toma valor 
2
2
0
1 2
4
2
m m
 

 
 
   
 
 Con 
02cr m    
 
2
20 0
0
2 2
4
2
m m
m m
 


 
   
 
 
 
0
k
m
      
 
Reemplazamos las condiciones de borde en la función solución 
0 0(0) 0X Ae B e   
0(0)X x A   
 
'( ) t t tX t A e B te Be      
0 0 0'(0) 0X A e B e Be      
0'(0)X x A B    
 
0A x 0 0B x x   
 
0 0 0( ) ( )
t tX t x e x x te     
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[13] 
 
0 0
0 0 0 0( ) ( )
t t
X t x e x x te
      
 
 
*Se observa que la respuesta no es oscilatoria 
 
En comparación con el caso sobre amortiguado vemos que ambos presentan una respuesta no 
oscilatoria, pero a igualdad de condiciones iniciales el caso críticamente amortiguado es aquel 
cuya respuesta alcanza la condición de equilibrio en el menor tiempo (*esta característica es 
evaluada con el nombre de tiempo de respuesta). 
 
 
 
 
-Tercer Caso: Subamortiguado 0 1cr      
 
En este caso las raíces (λ1 y λ2) toman valores complejos conjugados con parte real negativa, por lo 
que la solución es del tipo 
 
1 2( )
t t
X t Ae Be
 
  
 
Donde λ toma valor 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[14] 
2
2
0
1 2
4
2
m m
 

 
 
   
 
 
 
2
2
1 0
2 4
i
m m
 
 
 
     
 
 
 
2
2
2 0
2 4
i
m m
 
 
 
     
 
 
Si reemplazamos en la función solución propuesta 
 
2 2
2 2
0 0
2 4 2 4
( )
i t i t
m m m m
X t Ae Be
   
 
   
              
      
     
2 2
2 2
0 0
4 4
2( )
i t i t
t m m
mX t e Ae Be
 
 
   
           
       
   
 
 
  
 
 
 
Como 
22
2 2 20
0 0 0
2
1
4 4
m
m m

   
  
       
   
 
 
Definimos: 2
0 1d    
 
2( ) d d
t
i t i tmX t e Ae Be

 

    
 
Como: 
   1 2d d
i t i t
d dAe Be C Sin t C Cos t
      
 
   2 1 2( )
t
m
d dX t e C Sin t C Cos t

 

     
Ahora para calcular las constantes nos basamos en las condiciones de borde (instante inicial) 
 
   
0
2
0 1 2(0) 0 0
m
d dX x e C Sin C Cos

 

     
2 0C x  
       2 21 2 1 2'( )
2
t t
m m
d d d d d dX t e C Sin t C Cos t e C Cos t C Sin t
m
 

     
  
             
 
 
       
0 0
2 2
0 1 2 1 2'(0) 0 0 0 0
2
m m
d d d d d dX x e C Sin C Cos e C Cos C Sin
m
 

     
  
              
 
   0 2 1'(0)
2
dX x C C
m


 
     
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[15] 
0 2
1
2
d
x C
m
C


  
   
  
  
Podemos reescribir la suma de senos y cosenos como el seno de una suma: 
2 2
1 2R C C  
2
1
C
ArcTg
C
  
 
 2( )
t
m
dX t Re Cos t

 

   
 
Siendo el periodo función de la frecuencia natural y el amortiguamiento relativo 
 
2
0
2 2
1d
T
 
  
 

 
 
 
 
*Se observa una respuesta oscilatoria con decremento exponencial 2
t
mRe


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[16] 
Para el diseño de un elevador montacargas cuya masa es de 500Kg velocidad de desplazamiento 
de 1m/s y coeficiente de resistencia viscosa de 3 Kg/s (agrupa el rozamiento y la resistencia 
aerodinámica), tiempo de respuesta para que la amplitud decaiga 4 veces la inicial. 
 
 
 
 
Vibraciones Forzadas con Amortiguamiento: 
 
 
En este caso se estudia como es la 
respuesta de un sistema Masa – Resorte-
Amortiguador (efecto de inercia, rigidez, 
disipación viscosa) ante una excitación del 
tipo periódica 
 
 
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre:Planteamos la 2da ley de Newton: 
ext dQF
dt
 
 
0 ( ) . .
dv
F Cos t i vi k xi Nj Pj m i
dt
      
 
 
 
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[17] 
Nos quedamos con la ecuación escalar en i 
 
0 ( ) . .
dv
F Cos t v k x m
dt
    
0. . ( )mx x k x F Cos t    
2 0
0 ( )
F
x x x Cos t
m m

    
Es una ecuación diferencial de 2do orden a coeficientes constantes no homogénea, la solución de 
la misma es la solución de la homogénea mas la particular 
 
( ) ( ) ( )H PX t X t X t  
 
La solución homogénea es conocida para cada uno de los casos de amortiguamiento relativo: 
 
Si 
cr  
1 21 0 0 0 2 0
1 2 1 2
( )
t tx x x x
X t e e
  
   
 
  
 
 
 
Si 
cr  
0 0
0 0 0 0( ) ( )
t t
X t x e x x te
      
 
Si 0 1cr      
 2( )
t
m
dX t Re Cos t

 

   
 
Como se ve, la solución homogénea tiende a extinguirse en el tiempo, por lo cual si nos 
orientamos a la solución estacionaria podemos obviarla. 
 
Propongo como solución particular la función: 
 
( ) ( ) ( )PX t ACos t BSin t   
( ) ( ) ( )PX t A Sin t B Cos t      
2 2( ) ( ) ( )PX t A Cos t B Sin t      
Si reemplazamos en la ecuación diferencial 
 
2 2 2 2 0
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F
A Cos t B Sin t A Sin t B Cos t A Cos t B Sin t Cos t
m m m
 
                  
 Como las funciones ( )Sin t y ( )Cos t son linealmente independientes (ortogonales) se puede 
separar en un sistema de ecuaciones: 
 
2 2 0
0( )
F
A B
m m

     
2 2
0( ) 0B A
m

     
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[18] 
Ahora solo debemos resolver el sistema para despejar las constantes A y B: 
2 2
0 0
2
2 2 2 2
0 2
( )
[( ) ]
F
A
m
m
 

  


 
 
0
2
2 2 2 2
0 2
[( ) ]
F
mB
m
m



  

 
 
 
Reemplazamos en la solución propuesta: 
2 2 0
0 0
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 02 2
( )
( ) ( ) ( )
[( ) ] [( ) ]
P
F
F mX t Cos t Sin t
m m
m m


 
 
 
     

 
   
 
Como ya lo vimos antes, es posible expresar la suma de seno y coseno como: 
 
0
2
2 2 2 2
0 2
( ) ( )
( )
P
F
X t Cos t
m
m
 

  
 
 
 
 
2 2
0
( ) mTg



 


 
 
De esta forma podemos identificar con facilidad las características de la respuesta en régimen 
estacionario o permanente 
 
Amplitud 
0
2
2 2 2 2
0 2
( )
M
F
X
m
m

  

 
 
Para conocer la velocidad y aceleración en régimen estacionario, solo es necesario derivar la 
solución particular 
 
( )
( ) ( )P M
dX t
V t X Sin t
dt
      
2( )( ) ( )P M
dX t
a t X Cos t
dt
      
 
Se puede visualizar cómodamente el fenómeno de adelanto / atraso con respecto a la excitación 
mediante un diagrama fasorial 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[19] 
 
 
Si operamos sobre la expresión del ángulo de fase 
2 2
0
( ) mTg



 


 
0
2
2
0
2
( )
1
Tg








 
Vemos como es función dependiente de la relación entre la pulsación de la excitación y la 
frecuencia natural del sistema 
 
 
 
Se puede observar que ante la variación del factor de amortiguamiento se produce un cambio en 
el adelanto / atraso de la respuesta 
 
Ahora bien, si analizamos en detalle el comportamiento de la amplitud, veremos que es función 
dependiente de la resta entre la pulsación de la fuerza excitatriz y la frecuencia natural del sistema 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[20] 
Para visualizar este efecto se suele comparar la máxima deformación (amplitud) de la excitación 
armónica, con la deformación que se obtendría aplicando el pico de esa fuerza (Fo) en forma 
estática. Esta relación se la conoce con el nombre de factor de magnificación. 
max
max
dinamico
estatico
X
M
X
 
La amplitud en el caso estático es 
0maxestatico
F
X
k
 
La amplitud de con la excitación armónica ya fue calculada 
0
2
2 2 2 2
0 2
max
( )
dinamico
F
X
m
m

  

 
 
Como 
CR



 
0
2 2
2 2
2 2
0 0
max
(1 ) 4
dinamico
F
X
k
 

 

 
 
Reemplazamos 
0
2 2
2 2
2 2
0 0
0
(1 ) 4
max
max
dinamico
estatico
F
k
X
M
FX
k
 

 
 
  
2 2
2 2
2 2
0 0
1
(1 ) 4
M
 

 

 
 
 
 
 
Se observa que en las cercanías de la frecuencia natural del sistema se produce el máximo factor 
de magnificación. Esto es conocido como resonancia y es de extrema importancia conocerla 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[21] 
Para ello derivamos la amplitud de la respuesta con respecto a la pulsación de la exitacion e 
igualamos a cero ya que buscamos un máximo. 
 
0
2 2
2 2
2 2
0 0
max
(1 ) 4
dinamico
F
X
k
 

 

 
 
max
0dinamico
dX
d
 
 
Entonces despejamos la pulsación que llamaremos frecuencia de resonancia 
2
0 1 2R    
 
Y el valor del factor de magnificación se obtiene reemplazando ese valor como pulsación de 
excitación 
2
1
2 1
RM
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 4bis - Vibraciones de un Grado de Libertad 
 
 
[22] 
Anexo 1 – Tabla de transformada de Laplace