01 Ejercicios CP

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Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 1 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL HAEDO 
 
 
MECÁNICA RACIONAL 
Cinemática del Punto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2015 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 2 
 
Contenido 
1. Problema Unidimensional ................................................................................................................................... 3 
1.1 Posición Inicial ............................................................................................................................................... 3 
1.2 Velocidad Instantánea ................................................................................................................................... 3 
1.3 Aceleración Instantánea ................................................................................................................................ 4 
1.4 Velocidad y Aceleración en un instante dado ............................................................................................... 4 
1.5 Distancia y Desplazamiento ........................................................................................................................... 4 
2. Problema Bidimensional ...................................................................................................................................... 5 
2.1 Coeficientes y Unidades ................................................................................................................................ 5 
2.2 Vector Velocidad y Vector Aceleración ......................................................................................................... 6 
2.3 Ecuación de la Trayectoria ............................................................................................................................. 7 
2.4 Módulo y Dirección de la Velocidad y Aceleración ....................................................................................... 8 
2.5 Distancia y Desplazamiento ........................................................................................................................... 9 
3. Coordenadas Intrínsecas ................................................................................................................................... 11 
3.1 Velocidad y Aceleración en Intrínsecas ....................................................................................................... 11 
3.2 Versores Intrínsecos .................................................................................................................................... 13 
3.3 Radios de Curvaturas ................................................................................................................................... 14 
3.4 Resumen de Resultados .............................................................................................................................. 16 
4. Coordenadas Cilíndricas .................................................................................................................................... 18 
4.1 Velocidad en Coordenadas Cilíndricas ........................................................................................................ 18 
4.2 Aceleración en Coordenadas Cilíndricas ..................................................................................................... 19 
4.3 Trayectoria ................................................................................................................................................... 20 
 
 
 
 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 3 
1. Problema Unidimensional 
 
Una partícula recorre un trayecto recto con una ley de movimiento definida por la ecuación: �(�) = (5 �/
�). 
� + (10 �/
). 
 + 8 � 
Se pide determinar: 
1.1 La posición inicial en la trayectoria 
1.2 La velocidad de la partícula como función del tiempo 
1.3 La aceleración de la partícula como función del tiempo 
1.4 La velocidad y la aceleración a los 3 segundos 
1.5 La distancia recorrida luego de 12 segundos, respecto del origen de referencia, y el desplazamiento total 
de la partícula en dicho intervalo de tiempo 
 
Resolución 
 
1.1 Posición Inicial 
La ecuación de movimiento describe la posición de la partícula como función del tiempo, de manera que nos 
dirá la posición a lo largo de la trayectoria recta para cualquier instante de tiempo “t”. Dado que estamos 
trabajando en una dimensión, se puede usar expresiones escalares en vez de vectoriales. 
Para el instante inicial, t = 0 s: �(� �) = (5 �/
�). (0 
)� + (10 �/
). (0 
) + 8 � = 8 � 
La partícula en el instante inicial se ubica a 8 m del origen de referencia de la trayectoria recta. 
 
1.2 Velocidad Instantánea 
La velocidad de la partícula viene dada por el cambio de la posición de la misma a lo largo del tiempo. 
Matemáticamente, este cambio lo calculamos como la derivada temporal de la ecuación de la posición respecto 
del tiempo: 
� = ���� = (5 �/
�). 2. 
 + (10 �/
) �(�) = (10 �/
�). 
 + (10 �/
) Velocidad como función del tiempo 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 4 
1.3 Aceleración Instantánea 
La aceleración de la partícula se calcula como la derivada temporal de la velocidad, ya que nos indica la variación 
de la velocidad respecto del tiempo. También puede ser calculada como la segunda derivada respecto del 
tiempo, de la posición. De esta manera, la función aceleración se calcula: 
� = ���� = ������ = 10 �/
� �(�) = 10 �/
� Aceleración como función del tiempo 
 
1.4 Velocidad y Aceleración en un instante dado 
Partiendo de las ecuaciones de velocidad y aceleración instantáneas podemos calcular el valor de la velocidad y 
la aceleración para cualquier instante de tiempo “t”. Para t = 3 segundos: �(� �) = (10 �/
�). (3 
) + (10 �/
) = 40 �/
 �(� �) = 10 �/
� 
 
1.5 Distancia y Desplazamiento 
La distancia recorrida por la partícula respecto del origen de referencia viene dada por la función de posición �(�). Para el tiempo t = 12 segundos: �(�� �) = (5 �/
�). (12 
)� + (10 �/
). (12 
) + 8 � = 848 � Distancia recorrida 
Esto significa que a los 12 segundos de comenzando el movimiento, la partícula se encontraba a 848 metros 
respecto del origen de la trayectoria recta. 
El desplazamiento de la partícula es la distancia recorrida en el espacio en un intervalo de tiempo determinado, 
esto es: ∆� = � − �� = �(�� �) − �(� �) = 848 � − 8 � = 840 � Desplazamiento 
Esto significa que en el intervalo de 12 segundos, la partícula se desplazó en el espacio una distancia total de 
840 metros. 
 
 
 
 
 
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2. Problema Bidimensional 
 
Una partícula se desplaza por un plano con un movimiento definido por el vector posición como: "#(�) = �(�). $̌ + &(�). '̌ 
Donde las ecuaciones paramétricas del tiempo son: �(�) = 2. 
 &(�) = 1,6. 
� − 2,4. 
� + 1,5 
Se pide: 
2.1 Determinar las unidades de los coeficientes de las ecuaciones de movimiento de la partícula 
2.2 Calcular el vector velocidad y aceleración instantáneos 
2.3 Obtener la ecuación de la trayectoria de la partícula y graficarla 
2.4 Calcular el módulo y dirección de la velocidad y la aceleración para el instante t = 1,5 segundos 
2.5 Calcular la trayectoria recorrida y el desplazamiento entre t1 = 0,2 s y t2 = 1,4 s 
 
Resolución 
 
2.1 Coeficientes y Unidades 
Tanto la coordenada x como la y del movimiento se miden en metros, por ello, haciendo un análisis dimensional 
se puede deducir: �(�) = 2. 
 
El producto de las unidades que acompañan a “2” deben multiplicarse con las de “s” para obtener [m], por lo 
tanto, trabajando como si fuera una ecuación dimensional: 
*�+ = *�+. *
+ ⇒ *�+ = *-+*�+ = *�/
+ 
Queda la expresión como: �(�) = (2 �/
). 
 
 
De la misma manera, para la coordenada y: &(�) = 1,6. 
� − 2,4. 
� + 1,5 *�+= *�+. *
�+ − *.+. *
�+ + */+ 
Cada término debe ser homogéneo respecto de los otros para poder sumarse entre sí, por lo que todos deben 
estar expresados en metros: 
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*�+ = *�+. *
�+ ⇒ *�+ = *-+*�0+ = *�/
�+ 
 
*�+ = *.+. *
�+ ⇒ *.+ = *-+*��+ = *�/
�+ 
 *�+ = */+ 
 
Queda la expresión como: 
&(�) = (1,6 �/
�). 
� − 12,4 -��2 . 
� + 1,5 � 
 
2.2 Vector Velocidad y Vector Aceleración 
Para calcular el vector velocidad y aceleración instantáneos basta con derivar las componentes en la dirección x 
y en la dirección y del vector posición instantánea: 
�# = �3#�� = ���� . $̌ + �. �4̌�� + �5�� . '̌ + &. �6̌�� 
Nótese que tanto el versor i como el versor j tienen magnitud constante (la unidad), dirección y sentido 
constantes, por lo tanto no presentan variación alguna respecto del tiempo, siendo sus derivadas nulas. 
�# = �3#�� = ���� . $̌ + �5�� . '̌ 
Calculando cada derivada: 
���� = 2 �/
 �5�� = (1,6 �/
�). 3. 
� − 12,4 -��2 . 2. 
 = 14,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
 
El vector velocidad queda entonces: 
�# = �3#�� = (2 �/
). $̌ + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8 . '̌ Vector Velocidad Instantánea 
 
Para obtener la aceleración debemos derivar nuevamente el vector posición respecto del tiempo, obteniendo 
la segunda derivada de la posición o lo que es lo mismo, la primera derivada de la velocidad respecto del tiempo. 
Al igual que en el caso anterior, las derivadas de los versores son nulas: 
�# = ��9#�� = ��3#��� = ������ . $̌ + ��5��� . ' ̌ 
Procediendo de la misma manera que en el caso anterior: 
������ = ��:�� = 0 ��5��� = ��;�� = 14,8 -�02 . 2. 
 − 14,8 -��2 = 19,6 -�02 . 
 − 14,8 -��2 
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�# = ��9#�� = ��3#��� = 0. $̌ + 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . '̌ �# = 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . '̌ Vector Aceleración Instantánea 
 
2.3 Ecuación de la Trayectoria 
La obtención de la ecuación de la trayectoria consiste en determinar la sucesión de puntos en el espacio que 
ocupa la partícula a lo largo de su movimiento. Dado que la partícula se desplaza en el plano x-y, obtener la 
ecuación de la trayectoria consistirá en poner la posición x = f(y) o bien y = f(x), independizando la expresión del 
tiempo. La ecuación de la trayectoria no es una ecuación horaria ya que nos indica cuál es el trayecto o recorrido 
que sigue la partícula en su movimiento para cualquier instante de tiempo “t” en el espacio. 
 
Partiendo de la ecuación: �(�) = (2 �/
). 
 ⇒ �� -/� = 
 
Reemplazando esta ecuación en la de la posición y = f(t): 
&(�) = (1,6 �/
�). 
� − 12,4 -��2 . 
� + 1,5 � 
&(�) = (1,6 �/
�). 1 �� -/�2� − 12,4 -��2 . = ��>? @
� + 1,5 � 
&(�) = 1�,A -/�0B -0/�0 2 . �� − =�,C>?�C>�?� @ . �� + 1,5 � &(�) = (0,2/��). �� − 1�,A- 2 . �� + 1,5 � Ecuación de la Trayectoria y=f(x) 
Graficando le ecuación: &(�) = 0,2. �� − 0,6. �� + 1,5 
 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0
,0
0
0
,1
5
0
,3
0
0
,4
5
0
,6
0
0
,7
5
0
,9
0
1
,0
5
1
,2
0
1
,3
5
1
,5
0
1
,6
5
1
,8
0
1
,9
5
2
,1
0
2
,2
5
2
,4
0
2
,5
5
2
,7
0
2
,8
5
3
,0
0
3
,1
5
3
,3
0
3
,4
5
3
,6
0
3
,7
5
P
o
si
ci
ó
n
 y
 -
[m
]
Posición x - [m]
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2.4 Módulo y Dirección de la Velocidad y Aceleración 
En el punto 2 obtuvimos las expresiones instantáneas de la velocidad y la aceleración, que nos expresan el 
módulo, dirección y sentido del vector velocidad y aceleración como una función del tiempo en forma vectorial 
cartesiana. Reemplazando un valor del tiempo “t” en dichas ecuaciones, se obtendrá el vector específico para 
ese instante. 
Para el tiempo t = 1,5 segundos: 
�#(�) = (2 �/
). $̌ + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8 . ' ̌ �#(�,D �) = (2 �/
). $̌ + 714,8 -�02 . (1,5 
)� − 14,8 -��2 . (1,5 
)8 . '̌ �#(�,D �) = (2 �/
). $̌ + 714,8 -�02 . (2,25 
�) − 17,2 -� 28 . '̌ = (2 �/
). $̌ + (3,6 �/
). '̌ �#(�,D �) = (2 �/
). $̌ + (3,6 �/
). '̌ 
El módulo de la velocidad viene dado por su valor absoluto, el cual se calcula de la siguiente manera: 
|�#| = � = G��� + �5� = H(2 �/
)� + (3,6�/
)� = 4,12 �/
 Módulo de la Velocidad 
La dirección de la velocidad respecto del eje x se determina calculando el ángulo del vector: 
I = �"/
�J 1�;�:2 = �"/
�J 1�,A -/�� -/� 2 = 60,95° Dirección de la Velocidad 
 
De la misma manera, para la aceleración: 
�# = 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . '̌ �#(�,D �) = 719,6 -�02 . (1,5 
) − 14,8 -��28 . '̌ = 9,6 -�� . '̌ 
El módulo de la aceleración viene dado por su valor absoluto, el cual se calcula de la siguiente manera: 
|�#| = � = G��� + �5� = H(0)� + (9,6 �/
�)� = 9,6 �/
� Módulo de la Aceleración 
La dirección del vector aceleración: 
I = �"/
�J 1L;L:2 = �"/
�J 1M,A -/��� -/�� 2 = 90° Dirección de la Aceleración 
 
 
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2.5 Distancia y Desplazamiento 
La trayectoria recorrida por la partícula es la distancia recorrida a lo largo de su trayectoria durante un período 
determinado de tiempo. Para poder obtener esto, es necesario encontrar la relación entre la trayectoria y el 
tiempo, de manera de poder obtener el recorrido a lo largo de la misma como función de “t”. Es decir, debemos 
encontrar la ecuación s = s(t). 
La longitud de un elemento de arco de la trayectoria viene dado por: 
N
 = HN�� + N&� 
La variación de “ds” respecto del tiempo será: 
���� = 
O = ��� HN�� + N&� = G1����2� + 1�5��2� = G��� + �5� Rapidez de la Partícula 
���� = G(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8� 
���� = G(4 ��/
�) + (23,04 ��/
A). 
C − (46,08 �� 
D⁄ ). 
� + 123,04 -��Q 2 . 
� 
N
 = RG(4 ��/
�) + (23,04 ��/
A). 
C − (46,08 �� 
D⁄ ). 
� + 123,04 -��Q 2 . 
�S . N
 
Para obtener cuál es la distancia recorrida en un determinado intervalo de tiempo, se deberá integrar esta 
ecuación entre los límites del intervalo en cuestión: 
T N
���U = T RG(4 ��/
�) + (23,04 ��/
A). 
C − (46,08 �� 
D⁄ ). 
� + 123,04 -��Q 2 . 
�S . N
��V�,C��UV�,�� = T �(�). N
���U 
Esta ecuación es difícil de resolver analíticamente, por lo que es necesario una resolución numérica o bien con 
algún programa de computadora o calculadora. El valor de la longitud que recorre la partícula en su movimiento 
a través de la trayectoria calculada entre t1 = 0,2 s y t2 = 1,4 s: ∆
 = 
� − 
� = 2,74 � Distancia Recorrida 
 
El desplazamiento es la magnitud de la distancia neta recorrida entre dos puntos en el espacio, tomando el 
instante inicial y final en que se ubica la partícula. Para ello se calcula el punto que ocupaba en el espacio la 
partícula en el instante t1 = 0,2 segundos, y luego la ubicación en el espacio en el tiempo t2 = 1,4 segundos. La 
diferencia entre estas dos ubicaciones nos dará el desplazamiento neto en el espacio de la partícula. 
En el tiempo t1 = 0,2 segundos: "#(�,� �) = �(�,� �). $̌ + &(�,� �). '̌ 
Donde: �(�,� �) = (2 �/
). (0,2 
) = 0,40 � 
&(�,� �) = (1,6 �/
�). (0,2 
)� − 12,4 -��2 . (0,2 
)� + 1,5 � = 1,42 � "#(�,� �) = 0,40 �. $̌ + 1,42 �. '̌ 
 
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En el instante t2 = 1,4 segundos: "#(�,C �) = �(�,C �). $̌ + &(�,C �). '̌ 
Donde: �(�,C �) = (2 �/
). (1,4 
) = 2,80 � 
&(�,C �) = (1,6 �/
�). (1,4 
)� − 12,4 -��2 . (1,4 
)� + 1,5 � = 1,19 � "#(�,C �) = 2,80 �. $̌ + 1,19 �. '̌ 
 
El desplazamiento en el espacio (en el plano x-y) es entonces de: ∆"# = "#(�,C �) − "#(�,� �) = (2,80 �. $̌ + 1,19 �. '̌) − (0,40 �. $̌ + 1,42 �. '̌) ∆"# = "#(�,C �) − "#(�,� �) = (2,8 � − 0,40 �). $̌ + (1,19 � − 1,42 �). '̌ ∆"# = "#(�,C �) − "#(�,� �) = 2,40 �. $̌ − 0,23 �. '̌ |∆"#| = ∆" = H(2,40 �)� + (−0,23 �)� = 2,41 � Desplazamiento 
 
 
 
 
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 3. Coordenadas Intrínsecas 
 
Partiendo de los datos del problema bidimensional, se pide lo siguiente: 
3.1 Expresar el vector velocidad y aceleración en coordenadas intrínsecas3.2 Obtener la expresión de los versores intrínsecos 
3.3 Calcular radio de curvatura de flexión, el de torsión y el compuesto 
 
Resolución 
 
3.1 Velocidad y Aceleración en Intrínsecas 
En base a los datos del problema bidimensional se tiene: "#(�) = �(�). $̌ + &(�). '̌ 
Donde: �(�) = 2. 
 &(�) = 1,6. 
� − 2,4. 
� + 1,5 �#(�) = (2 �/
). $̌ + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8 . ' ̌ �#(�) = 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . '̌ 
 
La expresión de la velocidad en coordenadas intrínsecas viene dada por: �# = �. 
̌ 
Calculando el módulo de la velocidad: 
|�#| = � = G��� + �5� = G(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8� 
�# = �. 
̌ = G(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8� . 
̌ Velocidad en Coordenadas Intrínsecas 
 
La expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas viene dada por: 
�# = ���� . $̌ + ��W . JX = �� . 
̌ + �Y. JX 
Para el término de aceleración tangencial: 
�� = ���� = ��� ZG(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8�[ 
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�� = ���� = 1��2 . \(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8�]^�/� . 2. 714,8 �
32 . 
2 − 14,8 �
22 . 
8 . 72. 14,8 -�02 . 
 − 14,8 -��28 
�� = ���� = \(2 �/
)� + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8�]^�/� . 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8 . 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 
Para la componente normal es necesario calcular por un lado v2 y por otro el radio de curvatura “ρ”. 
El cuadrado de la velocidad: 
�� = (4 ��/
�) + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8� 
El radio de curvatura se calcula según la ecuación: 
_ = �0|�9#∧L9#| 
Por un lado calculamos: 
�� = a(4 ��/
�) + 714,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
8�b�/� 
Por otro lado: 
�# ∧ �# = cc $̌ '̌ d
e2 �/
 14,8 -�02 . 
� − 14,8 -��2 . 
 00 19,6 -�02 . 
 − 14,8 -��2 0c
c = (−1)�f�. 0. $̌ + (−1)�f�. 0. '̌ + (−1)�f�. (2 �/
). 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . de 
�# ∧ �# = 7119,2 �
32 . 
 − 19,6 �
228 . dg 
|�# ∧ �#| = G7119,2 �
32 . 
 − 19,6 �
2282 
 
Entonces queda el radio de curvatura como: 
_ = �0|�9#∧L9#| = ahC -�/��if71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�b0/�G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28� 
 
La expresión de la aceleración normal queda de la siguiente manera: 
�Y = ��W = hC -�/��if71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�a(C -�/��)f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�b0/� . G7119,2 -�02 . 
 − 19,6 -��28
� = G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�G(C -�/��)f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8� 
 
La aceleración en coordenadas intrínsecas queda entonces: 
�# = ���� . 
̌ + ��W . JX = j714,8�
32.
2−14,8�
22.
8.719,6�
32.
−14,8�
228G(C -�/��)f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�k . 
̌ + j
G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�G(C -�/��)f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�k . JX 
 
Cinemática del Punto 
 
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3.2 Versores Intrínsecos 
Para obtener la expresión de los versores intrínsecos en función de las coordenadas cartesianas procedemos de 
la siguiente manera. 
Para el cálculo del versor tangente, recordemos que este siempre tiene la dirección de la velocidad y por lo tanto 
es tangente a la trayectoria. Por ello, se puede calcular de la siguiente manera: 

̌ = �9#|�9#| = (� -/�).4̌f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8.6̌G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8� = l (� -/�)G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�m . $̌ + l 71C,B
>?02.��^1C,B>?�2.�8G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�m . ' ̌ 
 
Para el cálculo del versor normal es necesario calcular antes el binormal, que viene dado por la expresión: 
.e = �9#∧L9#|�9#∧L9#| 
Del punto anterior tenemos: 
�# ∧ �# = 7119,2 �
32 . 
 − 19,6 �
228 . dg 
|�# ∧ �#| = G7119,2 �
32 . 
 − 19,6 �
2282 
Entonces realizando la operación correspondiente: 
.e = �9#∧L9#|�9#∧L9#| = 71�M,�>?02.�^1M,A>?�28G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28� . de 
De acuerdo a la curvatura descripta en la figura del punto 2.3, existe un punto de inflexión de la curva, en el cual 
el vector binormal .e cambia de dirección. Esto ocurre cuando el numerador pasa de tomar valores negativos a 
valores positivos: 
119,2 -�02 . 
 − 19,6 -��2 = 0 119,2 -�02 . 
 = 19,6 -��2 
 = M,A -/���M,� -/�0 = 0,5 
 h�(�,D�); &(�,D�)i = (1 �; 1,1 �) Punto de Inflexión de la Trayectoria 
Por otro lado, que el vector binormal sea paralelo al eje z confirma el hecho de que el movimiento es plano. 
 
Para obtener el versor normal, se opera con el versor binormal y tangente: JX = .e ∧ 
̌ 
JX = cc
c $̌ '̌ de0 0 R=19,2�
3@.
−=9,6�
2@SoR=19,2�
3@.
−=9,6�
2@S2(� -/�)G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8� 71C,B
>?02.��^1C,B>?�2.�8G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8� 0 c
cc 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 14 
JX = (−1)�f�. l0 − 71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8.71�M,�>?02.�^1M,A>?�28G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�.G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�m . $ ̌ 
 +(−1)�f�. pqq
r0 − (� -/�).71�M,�>?02.�^1M,A>?�28o(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�.G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�stt
u . '̌ + (−1)�f�. 0. de 
JX = l− 71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8.71�M,�>?02.�^1M,A>?�28G(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�.G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�m . $̌ + pqq
r (� -/�).71�M,�>?02.�^1M,A>?�28
o(� -/�)�f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�.G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�stt
u . ' ̌ 
 
 
3.3 Radios de Curvaturas 
El radio de curvatura de flexión, “ρ” se puede obtener de las expresiones del punto 4.1: 
 
_ = �0|�9#∧L9#| = ahC -�/��if71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�b0/�G71�M,�>?02.�^1M,A>?�28� Radio de Curvatura de Flexión 
 
El radio de curvatura de torsión, τ se puede obtener a partir de las expresiones de velocidad y aceleración en 
coordenadas intrínsecas y las fórmulas de Frenet: .e ∙ �# = 0 El vector binormal siempre es perpendicular al plano osculador, en el cual se encuentra �# 
�we�� ∙ �# + .e ∙ �L9#�� = 0 Diferenciando respecto del tiempo .e ∙ �L9#�� = − �we�� ∙ �# = − �we�� . ���� ∙ �# Recordando la 2da. ecuación de Frenet: �we�� = − �x . JX .e ∙ �L9#�� = − 1− �x . JX2 . ���� ∙ �# = − 1− �x . JX2 . (�) ∙ �# La velocidad numérica: ���� = � .e ∙ �L9#�� = 1�. �x . JX2 ∙ �# = �. �x . �Y = �. �x . 1��W 2 = �0x.W El producto escalar: JX ∙ �# = �Y = ��W 
.e ∙ �L9#�� = �0x.W = |�9#∧L9#|x El radio de curvatura: _ = �0|�9#∧L9#| 
.e = �9#∧L9#|�9#∧L9#| Vector binormal 
.e ∙ �L9#�� = �9#∧L9#|�9#∧L9#| . �L9#�� = �0x.W = |�9#∧L9#|x 
�9#∧L9#|�9#∧L9#|� . �L9#�� = �x 
Reordenando: 
�x = (�9#∧L9#)∙1yz99#y{2|�9#∧L9#|� 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 15 
De la expresión de la aceleración: 
�#(�) = 719,6 -�02 . 
 − 14,8 -��28 . '̌ �L9#�� = 19,6 -�02 . '̌ 
Reemplazando los valores obtenidos en puntos anteriores para los productos vectoriales de la velocidad y 
aceleración: 
�x = (�9#∧L9#)∙1yz99#y{2|�9#∧L9#|� = |71�M,�>?02.�^1M,A>?�28.}e ~∙71M,A>?02.6̌871�M,�>?02.�^1M,A>?�28� = �71�M,�>?02.�^1M,A>?�28� = 0 Radio de Curvatura de Torsión 
El hecho de que la curvatura de torsión sea nula concuerda con el tipo de movimiento, que es plano. Es decir, el 
radio de curvatura de torsión es infinito. Como el vector binormal .e siempre tiene la dirección del versor de , su 
dirección no cambia a lo largo de la trayectoria (y del tiempo), por lo que el radio de curvatura de torsión es 
nulo; la curva “no se tuerce” en el espacio, es siempre plana. Esto implica que el plano osculador coincide 
siempre con el plano x-y. 
 
El radio de curvatura compuesto es el módulo del vector: 
�YX�� = − �W . 
̌ + �x . .e 
Para este caso: 
�YX�� = − �W . 
̌ + 0. .e = − �W . 
̌ 
Por lo tanto, el módulo: 
��YX�� � = G �W� = � 71�M,�>?02.�^1M,A>?�28�a(C -�/��)f71C,B>?02.��^1C,B>?�2.�8�b0 Radio de Curvatura Compuesto 
 
 
Para poder visualizar mejor los resultados obtenidos en los cálculos, conviene darle valores al tiempo y graficar 
la terna intrínseca sobre la trayectoria. 
 
Tomando dos tiempos distintos: 
t1 = 0,15 segundos 
t2 = 1,20 segundos 
Se resumen a continuación los valores de las distintas características del movimiento estudiadas. 
 
 
CCinemática del 
Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 16 
3.4 Resumen de Resultados 
 
 
x y z 
t1 = 0,15 s t2 =1,2 s 
 x y z x y z 
�9# [m] (2 �/
). 
 (1,6 �/
�). 
� − 12,4 �
�2 . 
� + 1,5 � 0 0,30 1,45 0 2,40 0,81 0 
�99# [m/s] (2 �/
) 14,8 �
�2. 
� − 14,8 �
�2 . 
 0 2 -0,61 0 2 1,15 0 
�99# [m/s2] 0 19,6 �
�2 . 
 − 14,8 �
�2 0 0 -3,36 0 0 6,72 0 
�X [-] (2 �/
)G(2 �/
)� + 714,8 �
�2 . 
� − 14,8 �
�2 . 
8� 714,8
�
�2 . 
� − 14,8 �
�2 . 
8G(2 �/
)� + 714,8 �
�2 . 
� − 14,8 �
�2 . 
8� 0 0,96 -0,29 0 0,87 0,50 0 
ϕt [gados ] �"/
�J �714,8 �
�2 . 
� − 14,8 �
�2 . 
8(2 �/
) � -17,01° 29,94° 
�� [-] Ver expresión Hoja # Ver expresión Hoja # 0 -0,29 -0,96 0 -0,50 0,87 0 
�g [-] 0 0 7119,2 �
�2 . 
 − 19,6 �
�28G7119,2 �
�2 . 
 − 19,6 �
�28� 0 0 -1 0 0 1 
� [m] a(4 ��/
�) + 714,8 �
�2 . 
� − 14,8 �
�2 . 
8�b�/�G7119,2 �
�2 . 
 − 19,6 �
�28� 1,36 0,91 � [m] 0 0 0 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 17 
En la trayectoria, para los dos tiempos en estudio las ternas intrínsecas se ubican como se muestra en la figura 
siguiente: 
 
 
 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 18 
4. Coordenadas Cilíndricas 
 
El movimiento de una partícula está dado por las siguientes ecuaciones según un sistema de referencia cilíndrico: " = (2 �). 
�J(3. I) 
I = ���� . 
 "�N/
 � = (5 �/
). 
 
 
Se pide calcular: 
4.1 La velocidad de la partícula 
4.2 La aceleración de la partícula 
4.3 La trayectoria del punto, y graficarla desde t1 = 0 s hasta t2 = 10 s. 
 
 
Resolución 
 
4.1 Velocidad en Coordenadas Cilíndricas 
Partiendo de las ecuaciones horarias del movimiento se puede obtener la velocidad y aceleración por medio de 
la derivación simple. 
Dado que las ecuaciones horarias del movimiento están dadas por medio de coordenadas cilíndricas en forma 
paramétrica, la derivación deberá contemplar la variación de lo versores de la terna móvil. 
El vector posición en coordenadas polares es: "# = ". �̌3 + �. de = (2 �). 
�J(3. I). �̌3 + (5 �/
). 
. de 
La derivada de este vector nos dará la velocidad en coordenadas polares: 
�# = �3#�� = ��� h". �̌3 + �. dei = �3�� . �̌3 + ". ��̌��� + ���� . de + �. �}e�� = "O . �̌3 + ". IO . �̌� + �O. de + �. 09# �# = �3L��L� . �̌3 + ��3LY�. �̌� + �L��L� . de = "O . �X" + ". IO . �XI + �O . dg 
La derivada 
�}e�� = 09# porque el versor del eje z es constante, dado que no cambia su dirección. La terna 
r-θ-z rota en el plano r-θ pero mantiene siempre su origen fijo y el eje de rotación z. 
 
 
Calculando por separado las derivadas “r” y “θ” y “z”: 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 19 
I = ���� . 
 "�N/
 IO = ���� "�N/
 
 " = (2 �). 
�J(3. I) 
"O = (2 �). /�
(3. I). 3. IO = (6 �). /�
(3. I). 1���� "�N/
2 = 1M�D �/
2 . /�
(3. I) 
 � = (5 �/
). 
 �O = 5 �/
 
 
Reemplazando en la expresión de la velocidad: 
�# = "O . �X" + ". IO . �XI + �O . dg = 1M�D �/
2 . /�
(3. I) . �X" + (2 �). 
�J(3. I). 1���� "�N/
2 . �XI + (5 �/
). dg �# = 1M�D �/
2 . /�
(3. I) . �X" + 1��D �/
2 . 
�J(3. I). �XI + (5 �/
). dg �# = 1M�D �/
2 . /�
 1M��� . 
 "�N/
2 . �X" + 1��D �/
2 . 
�J 1M��� . 
 "�N/
2 . �XI + (5 �/
). dg 
Vector Velocidad en Coord. Cilíndricas 
 
4.2 Aceleración en Coordenadas Cilíndricas 
Para obtener la aceleración derivamos nuevamente la velocidad respecto del tiempo, obteniendo la siguiente 
expresión: 
�# = ��9#�� = �3O�� . �̌3 + "O . ��̌��� + �3�� . IO . �̌� + ". ��O�� . �̌� + ". IO . ��̌��� + ��O�� . de + �O. �}e�� . �# = ".� �̌3 + "O . IO . �̌� + "O . IO . �̌� + ". I� . �̌� + ". IO . h−IO . �̌3i + ��. de + �O. 09# �# = �3L��L� . �̌3 + ��3LY�. �̌� + �L��L� . de = h"� − ". IO �i. �̌3 + h2. "O . IO + ". I�i. �̌� + (��). de 
 
Nuevamente tenemos que derivar las coordenadas paramétricas respecto del tiempo para poder reemplazarlas 
en la expresión general: 
I = ���� . 
 "�N/
 IO = ���� "�N/
 I� = 0 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 20 
" = (2 �). 
�J(3. I) 
"O = (2 �). /�
(3. I). 3. IO = (6 �). /�
(3. I). 1���� "�N/
2 = 1M�D �/
2 . /�
(3. I) "� = − 1M�D -� 2 . 
�J(3. I). 3. IO = − 1M�D -� 2 . 
�J(3. I). 3. 1���� 3L�� 2 = − 1B���D� -� 2 . 
�J(3. I) 
 � = (5 �/
). 
 �O = 5 �/
 �� = 0 
 
Reemplazando en la expresión de la aceleración: �# = h"� − ". IO �i. �̌3 + h2. "O . IO + ". I�i. �̌� + (��). de 
 
�# = \− 1B���D� -� 2 . 
�J(3. I) − (2 �). 
�J(3. I). 1���� 1/
2�] . �̌3 + 72. 1M�D �/
2 . /�
(3. I). 1���� 1/
2 +(2 �). 
�J(3. I). (0)8 . �̌� + (0). de 
 
�# = \− 1B���D� -� 2 . 
�J 1M��� . 
/
2 − (2 �). 
�J 1M��� . 
/
2 . 1���� 1/
2�] . �̌3 + 72. 1M�D �/
2 . /�
 1M��� . 
/
2 . 1���� 1/
28 . �̌� 
 
 
4.3 Trayectoria 
La trayectoria de la partícula se describe mediante la ubicación en el espacio de los sucesivos puntos por los 
cuales se desplaza a lo largo del tiempo mediante ecuaciones paramétricas. 
Dado que resultaría muy complicado graficar la trayectoria teniendo en cuenta que la orientación de los ejes r-
θ cambia a lo largo del tiempo, se debe poner las coordenadas cilíndricas en coordenadas cartesianas fijas. 
El radio vector se puede proyectar en los ejes x-y dado que siempre está contenido en dicho plano, mientras 
que la componente z del movimiento es la misma en una terna y en la otra. 
Para cualquier instante: "� = �� + &� 
�(I) = 5� 
Proyectando: � = ". /�
(I) & = ". 
�J(I) 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 21 
Reemplazando los valores que teníamos de las expresiones de “r” y “θ”: 
� = ". /�
(I) = 7(2 �). 
�J 1M��� . 
/
28 . /�
 1���� . 
/
2 = �(�) & = ". 
�J(I) = 7(2 �). 
�J 1M��� . 
/
28 . 
�J 1���� . 
/
2 = &(�) 
 
Las coordenadas en función del tiempo quedan: 
�(�) = 7(2 �). 
�J 1M��� . 
/
28 . /�
 1���� . 
/
2 (1) &(�) = 7(2 �). 
�J 1M��� . 
/
28 . 
�J 1���� . 
/
2 (2) �(�) = (5 �/
). 
 (3) 
 
Despejando de (3): �D -/� = 
 
 
Reemplazando en (1) y (2): 
� = 7(2 �). 
�J 1M��� . �D -28 . /�
 1���� . �D -2 & = 7(2 �). 
�J 1M��� . �D -28 . 
�J 1M��� . �D -2 
 
Sumando los cuadrados: 
�� + &� = (4 ��). 
�J� 1M��� . �D -2 
 
La gráfica para los primeros 10 segundos de movimiento: 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 22 
 
 
 
 
 
Cinemática del Punto 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 23