Transformacion_De_Un_Circuito_T_a_PI

Vista previa del material en texto

INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
 CÁTEDRA: TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
 J.T.P. : ING. JUAN JOSÉ GARCIA ABAD.
Página 1 de 5
TRANSFORMACIÓN DE CUADRIPOLOS TIPO "ππππ" O "TRIÁNGULO"
EN TIPO "T" O "ESTRELLA" Y VICEVERSA
Escribimos el conhunto de matrices asociadas con cada cuadripolo:
Para que los cuadripolos sean iguales debe cumplirse que :
ZENTRADA_ππππ = ZENTRADA_T 
ZSALIDA_ππππ = ZSALIDA_T 
ZTRANSFERENCIA_ππππ = ZTRANSFERENCIA_T 
Obtenemos los valores de impedancia de entrada, transferencia y salida del cuadripolo π :
IOUT
IN
IOUT
IN
322
221
OUT
IN
OUT
2
IN
CC
CCBAA
AA
E
E
I
I
ZZZ
ZZZ
E
0
E
I
I
I
ZZ0
ZZZZZ
0ZZ
====∗∗∗∗
++++−−−−
−−−−++++
====∗∗∗∗
−−−−−−−−
−−−−++++++++−−−−
−−−−
ππππ
T
)ZZ(Z
ZZZ
ZZZZ
ZZZ
Z
ZZZZZZ
ZZZZZZZZZZZ
Z
BAC
CBA
CBCA
CBA
_ENTRADA
2
C
2
CCBCA
2
CAC
2
A
2
CACBAC
2
A
11
P
_ENTRADA
++++∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
====
∗∗∗∗++++∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
====
−−−−++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗++++∗∗∗∗∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆
====
ππππ
ππππ
BA
BA
_ENTRADA ZZ
ZZ
Z
++++
∗∗∗∗
====ππππ
 INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
 CÁTEDRA: TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
 J.T.P. : ING. JUAN JOSÉ GARCIA ABAD.
Página 2 de 5
Obtenemos los valores de impedancia de entrada, transferencia y salida del cuadripolo T :
)ZZ(Z
ZZZ
ZZZZ
ZZZ
Z
ZZZZZZ
ZZZZZZZZZZZ
Z
CBA
CBA
CABA
CBA
_SDALIDA
2
ACABA
2
A
2
CAC
2
A
2
CACBAC
2
A
33
P
_SALIDA
++++∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
====
∗∗∗∗++++∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
====
−−−−∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++
∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗++++∗∗∗∗∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆
====
ππππ
ππππ
CB
CB
_SALIDA ZZ
ZZ
Z
++++
∗∗∗∗
====ππππ
CA
CBA
_CIATRANSFEREN
CA
2
CAC
2
A
2
CACBAC
2
A
13
P
_IATANSFERENC
ZZ
ZZZ
Z
ZZ
ZZZZZZZZZZZ
Z
∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
====
∗∗∗∗
∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗−−−−∗∗∗∗++++∗∗∗∗∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
ππππ
ππππ
B_CIATRANSFEREN ZZ ====ππππ
32
2
232
2
23121
11
P
T_ENTRADA ZZ
ZZZZZZZZ
Z
++++
−−−−∗∗∗∗++++++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
32
323121
T_ENTRADA ZZ
ZZZZZZ
Z
++++
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
21
2
232
2
23121
22
P
T_SALIDA ZZ
ZZZZZZZZ
Z
++++
−−−−∗∗∗∗++++++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
21
323121
T_SALIDA ZZ
ZZZZZZ
Z
++++
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
2
323121
T_CIATRANSFEREN Z
ZZZZZZ
Z ∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====
2
2
232
2
23121
12
P
T_CIATRANSFEREN Z
ZZZZZZZZ
Z −−−−∗∗∗∗++++++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
 INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
 CÁTEDRA: TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
 J.T.P. : ING. JUAN JOSÉ GARCIA ABAD.
Página 3 de 5
Igualando las impedancias de los cuadripolos " π " y " T " tendremos :
Sustituimos ZB en (1) y (2):
Finalmente de tendremos:
2
ZT
2
323121
BCIATRANSFEREN ZZ
ZZZZZZ
ZZ ∆∆∆∆====
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====⇔⇔⇔⇔
32
323121
BA
BA
ENTRADA ZZ
ZZZZZZ
ZZ
ZZ
Z
++++
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
++++
∗∗∗∗
⇔⇔⇔⇔
21
323121
CB
CB
SALIDA ZZ
ZZZZZZ
ZZ
ZZ
Z
++++
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗
====
++++
∗∗∗∗
⇔⇔⇔⇔
1
2
3
)ZZ(Z
ZZZ
1
)ZZ(Z
Z
ZZ
1
Z
1
1
)ZZ(Z
Z
)ZZ(ZZZ
1
Z
1Z
ZZ
1*
ZZZ
1*Z
Z
1Z
ZZ
Z
Z
Z
Z
ZZ
ZZ
322
232322
ZT
A
322
322
ZT
A
322
ZT
322
A
322
ZT
32
A
2
A
32
ZT
2
ZT
A
2
ZT
A
BA
BA
++++
−−−−++++
∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆
====




++++
−−−−
∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆====
++++
∆∆∆∆
====



++++
−−−−∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆++++
++++
====∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆====
∆∆∆∆++++
∆∆∆∆
∗∗∗∗
====
++++
∗∗∗∗
1'
3
ZT
A Z
Z ∆∆∆∆====
)ZZ(Z
ZZZ
1
)ZZ(Z
Z
ZZ
1
Z
1
1
)ZZ(Z
Z
)ZZ(ZZZ
1
Z
1Z
ZZ
1*
ZZZ
1*Z
Z
1Z
ZZZ
Z
Z
Z
ZZ
ZZ
212
221212
ZT
C
212
212
ZT
C
212
ZT
212
C
212
ZT
21
C
2
C
21
ZT
C
2
ZT
C
2
ZT
CB
CB
++++
−−−−++++
∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆====




++++
−−−−
∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆====
++++
∆∆∆∆
====



++++
−−−−∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆++++
++++
====∗∗∗∗
++++
∆∆∆∆
====
++++
∆∆∆∆
∗∗∗∗
∆∆∆∆
====
++++
∗∗∗∗
2'
1
ZT
C Z
Z ∆∆∆∆====
3
ZT
A Z
Z ∆∆∆∆====
1
ZT
C Z
Z ∆∆∆∆====
2
ZT
B Z
Z ∆∆∆∆====
 INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
 CÁTEDRA: TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
 J.T.P. : ING. JUAN JOSÉ GARCIA ABAD.
Página 4 de 5
Sumando las tres últimas expresiones:
Sacando común denominador:
pero recordando que :
Calculamos la inversa de la última expresión:
Recordando:
Podemos despejar:
1
ZT
2
ZT
3
ZT
CBA ZZZ
ZZZ ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆====++++++++
(((( ))))
321
323121ZT
CBA ZZZ
ZZZZZZZZZ
∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗∆∆∆∆====++++++++
ZTZT
321
2
ZT
321
CBA
ZZZZZZ
ZZZ
1
∆∆∆∆∗∗∗∗∆∆∆∆
∗∗∗∗∗∗∗∗====
∆∆∆∆
∗∗∗∗∗∗∗∗====
++++++++
(((( ))))323121ZT ZZZZZZ ∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====∆∆∆∆
321
2
ZT
CBA ZZZ
ZZZ
∗∗∗∗∗∗∗∗
∆∆∆∆====++++++++
3
ZT
A Z
Z ∆∆∆∆====
1
ZT
C Z
Z ∆∆∆∆====
2
ZT
B Z
Z ∆∆∆∆====
CBA
BA
1 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
CBA
CA
2 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
CBA
CB
3 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
 INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
 CÁTEDRA: TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
 J.T.P. : ING. JUAN JOSÉ GARCIA ABAD.
Página 5 de 5
Finalmente para pasar de cuadripolo tipo "T" a tipo "ππππ" y viceversa tendremos:
 "T" ⇒⇒⇒⇒ "ππππ" "ππππ" ⇒⇒⇒⇒ "T"
Para determinar las relaciones anteriores son útiles las siguientes reglas mnemotécnicas:
1. Transformación "T" ⇒⇒⇒⇒ "ππππ"
Cualquier impedancia del circuito en "ππππ" es igual a la suma de los productos de todos
los pares posibles de impedancias y dividida por la impedancia opuesta del circuito en "T".
Así por ejemplo, en la Figura 1, ZA viene dada por la suma de los tres productos binarios dividida por
Z3 que es la impedancia opuesta del circuito "T".
2.Transformación "ππππ" ⇒⇒⇒⇒ "T"
Cualquier impedancia del circuito en "T" es igual al producto de las dos impedancias
adyacentes del circuito en "ππππ" dividido por la suma de las tres impedancias de dicho circuito.
Así por ejemplo, en la Figura 1, Z1 viene dado por el producto ZA * ZB que son impedancias "ππππ"
adyacentes, dividido por la suma de las tres impedancias del circuito "ππππ".
CBA
BA
1 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
CBA
CA
2 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
CBA
CB
3 ZZZ
ZZZ
++++++++
∗∗∗∗====
3
323121
A Z
ZZZZZZZ ∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====
1
323121
C Z
ZZZZZZZ ∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====
2
323121
B Z
ZZZZZZZ ∗∗∗∗++++∗∗∗∗++++∗∗∗∗====
Figura 1