Clase 2 - Carga Distribuida - rev02

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ESTÁTICA y RESISTENCIA 
DE LOS MATERIALES
UNIDAD I (parte II): CARGAS DISTRIBUÍDAS
Introducción
¿Las fuerzas actúan concentradas en puntos materiales?
• La fuerza ejercida sobre la cimentación de un edificio por el suelo 
subyacente está distribuida sobre la superficie de la cimentación. 
Introducción
¿Las fuerzas actúan concentradas en puntos materiales?
• El peso de un puente colgante está distribuido a lo largo de los cables 
principales del puente.
Introducción
¿Las fuerzas actúan concentradas en puntos materiales?
• La sustentación gracias a la cual una aeronave vuela está distribuida 
a lo largo de la superficie alar.
Introducción
¿Las fuerzas actúan concentradas en puntos materiales?
Mayormente, todas las interacciones, (exteriores o internas entre cuerpos) se 
ejercen a través de superficies.
Introducción
La esfera no es absolutamente rígida. Se deforma bajo la
acción de su peso propio y, al deformarse, el contacto se
establece a través de un círculo, tanto mayor cuanto
mayor sea la deformación sufrida por la esfera.
Como la deformación es
prácticamente imperceptible,
se asume, sin mayor error,
que el peso de la esfera
actúa como una carga
concentrada.
Fuerza Distribuida sobre Superficie
∆𝐹𝐴
Plano 𝝅
CUERPO
Cuando las fuerzas distribuidas
actúan en forma continua sobre la
superficie, podemos imaginarlas
como un conjunto de infinitas
fuerzas concentradas de intensidad
infinitamente pequeña y paralelas
entre sí.
Aislando y estudiando un entorno
de superficie…
Fuerza Distribuida sobre Superficie
𝐴: Punto de la superficie de la placa.
Δ𝐹: Entorno pequeño del punto 𝐴.
Δ𝑅 : Resultante de las fuerzas infinitésimas que actúan en el
entorno de superficie considerado.
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
Δ𝑅
Δ𝐹
lim
Δ𝐹→0
Δ𝑅
Δ𝐹
=
𝑑𝑅
𝑑𝐹
= 𝑞
𝑁
𝑚𝑚2
𝑞 → intensidad de la fuerza distribuida o intensidad de carga en el punto A (carga
específica).
∆𝐹
𝐴
∆𝑅
Δ𝐹 → 0, hacemos el entorno de
superficie cada vez mas
pequeño. En el límite, se
confundirá con 𝐴.CUERPO
Se define una carga media como:
Fuerza Distribuida sobre Superficie
∆𝐹𝐴
Superficie de Carga
Plano 𝝅
CUERPO
La intensidad de carga (𝑞), en el
caso más general, varía punto a
punto a lo largo y ancho de una
superficie. Si se grafica cada
intensidad de carga, en escala, el
extremo de las ordenadas definirá
una SUPERFICIE DE CARGA.
Fuerza Distribuida sobre Superficie
Concepto:
𝑑𝑅
𝑑𝐹
= 𝑞
𝑅 = 𝑞
𝑘𝑔
𝑚2
. 1𝑚2 = 𝑞 [𝑘𝑔]
1 𝑚²
𝑅
𝑞
𝑘𝑔
𝑚2
Si para un punto 𝐴, la intensidad de carga es de 𝑞
𝑘𝑔
𝑚2
, ello significa que, si en un
entorno de 𝐴 cuya superficie fuera de 1 m², la intensidad de carga se mantiene
constante e igual a 𝑞→ la carga total actuante sobre dicho m² sería de 𝑞 [𝑘𝑔].
𝐴
Fuerza Distribuida sobre Superficie
𝑑𝑅 = 𝑞. 𝑑𝐹
Superficie de Carga
𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Carga Uniformemente Distribuida
Plano 𝝅
CUERPO
Fuerza Distribuida sobre Superficie
𝑑𝑅 = 𝑞. 𝑑𝐹
Superficie de Carga
𝑞 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
Carga Variable Linealmente.
Fuerza Distribuida Linealmente.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑥
𝑧
𝑦
𝑑𝑧 𝑁
𝑀
𝑍
𝑎
𝑞 = 𝑓(𝑧) para la dirección 𝑧
𝑞 = 𝑐𝑡𝑒 para la dirección 𝑥
𝑀𝑁→ eje de simetría
𝑥
Analizamos una franja de longitud dz
𝑞(𝑥, 𝑧)
𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Fuerza Distribuida Linealmente.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑁
𝑀
𝑀𝑁→ eje de simetría
𝑧 𝑑𝐹: elemento de superficie
𝑑𝐹 = 𝑑𝑧. 𝑑𝑥Cada elemento de superficie→
𝑞(𝑥, 𝑧)
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝐹
𝑍
𝑎
𝑥
𝑧
𝑦
𝑞 = 𝑓(𝑧) para la dirección 𝑧
𝑞 = 𝑐𝑡𝑒 para la dirección 𝑥
𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Fuerza Distribuida Linealmente.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑁
𝑀
𝑀𝑁→ eje de simetría
𝑧 𝑑𝐹: elemento de superficie
𝑑𝐹 = 𝑑𝑧. 𝑑𝑥Cada elemento de superficie→
𝑑𝑃𝑖 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝐹 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝑧. 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝐹
𝒅𝑷𝒊
𝒅𝑷𝒊
𝑍
𝑎
𝑑𝑃𝑖: magnitud de una fuerza ejercida sobre un elemento de superficie
𝑞 = 𝑓(𝑧) para la dirección 𝑧
𝑞 = 𝑐𝑡𝑒 para la dirección 𝑥
𝑥
𝑧
𝑦
𝑞(𝑥, 𝑧)
Fuerza Distribuida Linealmente.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑁
𝑀
𝑀𝑁→ eje de simetría
𝑧 𝑑𝐹: elemento de superficie
𝑑𝐹 = 𝑑𝑧. 𝑑𝑥Cada elemento de superficie→
𝑑𝑃𝑖 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝐹 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝑧. 𝑑𝑥
Resultante del sistema paralelo:
𝑑𝑅 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝐹 + 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝐹 = 2. 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝐹
Integrando para toda la franja analizada…
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝐹
𝒅𝑷𝒊
𝒅𝑷𝒊
𝑍
𝑙
𝑥
𝑧
𝑦
𝑞 = 𝑓(𝑧) para la dirección 𝑧
𝑞 = 𝑐𝑡𝑒 para la dirección 𝑥
𝑞(𝑥, 𝑧)
𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Fuerza Distribuida Linealmente.
La resultante total de las fuerzas elementales
que actúan sobre la faja considerada, se
encontrará aplicada en 𝑇 y su valor será:
𝑑𝑅 = න
0
𝑙
𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝑧. 𝑑𝑥 = 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑑𝑧. 𝑙
𝑑𝑅
𝑑𝑧
= 𝑞 𝑥, 𝑧 . 𝑙 = 𝑞(𝑧)
𝑞(𝑧): Intensidad de Carga en el punto 𝑇, de una carga distribuida a lo largo de una línea𝑀𝑁.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑁
𝑀
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝐹
𝒅𝑷𝒊
𝒅𝑷𝒊
𝑻
𝒅𝑹
𝑍
𝑙
𝑀𝑁→ eje de simetría
𝑑𝐹: elemento de superficie
𝑥
𝑧
𝑦
𝑞 = 𝑓(𝑧) para la dirección 𝑧
𝑞 = 𝑐𝑡𝑒 para la dirección 𝑥
𝑞(𝑥, 𝑧)
𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Fuerza Distribuida Linealmente.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑑𝑧 𝑁
𝑀
Carga distribuida a lo largo de una recta.
Intensidad de carga→ 𝑞 𝑧 =
𝑑𝑅 [𝑁]
𝑑𝑧 [𝑚]
Si la intensidad de carga para un punto se
mantiene constante sobre la longitud de 1m,
sobre dicha longitud actuaría una carga, cuya
resultante tendría una intensidad de 𝑞 𝑁 .
𝑻
𝑍
𝑙
𝑥
𝑧
𝑦
Fuerza Distribuida Linealmente.
Si en sucesivos puntos representamos en
ordenadas, con una escala adecuada, la
intensidad de carga, los extremos de las mismas
configurarán la LÍNEA DE CARGA.
La superficie comprendida entre la línea de
carga, la recta cargada y las ordenadas
extremas conforman el DIAGRAMA DE CARGA.𝑦
𝑧
𝑧
𝑞 𝑧
𝑙
Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
Una fuerza distribuida sobre una línea constituye un
sistema de infinitas fuerzas paralelas de intensidad
infinitésima. Su Resultante será una fuerza paralela a
la dirección del sistema, que debe satisfacer la
condición de equivalencia de dos sistemas de fuerzas
paralelas.
𝑦
𝑧
𝑙
𝑅
𝑧
𝑞 𝑧
𝑧𝑅
La resultante 𝑅 de las infinitas fuerzas deberá
satisfacer:
𝑅. 𝑧𝑅 = 𝑑𝑅. 𝑧 → 𝑅. 𝑧𝑅 = න
0
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
Siendo:
𝑅 = න
0
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
𝑑𝑅
𝑞 0
𝑞 𝑙
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
Ubicación de la resultante del
sistema
𝑑𝑅 = 𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
𝑑𝑧
Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
Área total.
𝑦
𝑧
𝑧
𝑙
𝑑𝑧
𝒚
𝑑𝐹 = 𝑦. 𝑑𝑧
𝐹 = න
0
𝑙
𝑦. 𝑑𝑧
𝐹. 𝑧𝐺 = න
0
𝑙
𝑦. 𝑧. 𝑑𝑧 (1)
Escala del diagrama→ 𝐾→ 𝑦. 𝐾 = 𝑞 𝑧
𝑅 = න
0
𝑙
𝑦. 𝐾. 𝑑𝑧 → 𝑹 = 𝑲. 𝑭
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
→ 𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝐾. 𝑦. 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝐾. 𝑦. 𝑑𝑧
𝑧𝐺 =
0׬
𝑙
𝑦. 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑦. 𝑑𝑧
𝑑𝐹𝐺
𝑧𝐺
El baricentro de la superficie representativa del
diagrama de cargas será un punto G en el que
se supone concentrada la superficie total y cuyo
momento estático respecto del eje y cumple la
condición (1).
Área de la faja.
Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
𝑦
𝑧
𝑧
𝑙
𝑑𝑧
𝒚
𝑅 = න
0
𝑙
𝑦. 𝐾. 𝑑𝑧 → 𝑅 = 𝐾. 𝐹
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
→ 𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝐾. 𝑦. 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝐾. 𝑦. 𝑑𝑧
𝑅 = 𝐾. 𝐹
𝑧𝑅 = 𝑧𝐺
La intensidad de la resultante de una fuerza
distribuida sobre una línea es proporcional al
área del diagrama de carga y su recta de acción
pasa por el baricentro del mismo.
𝑑𝐹𝐺
𝑧𝐺 = 𝑧𝑅
𝑅 = 𝐾. 𝐹
Casos Particulares
Carga Uniformemente Repartida.
𝑦
𝑙
𝑅𝑞 𝑧 = 𝑞
𝑞 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑞
𝑅 = න
0
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧 = 𝑞න
0
𝑙
𝑑𝑧 = 𝑞. 𝑙
𝑅 = 𝑞. 𝑙
Se ubicará en:
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
=
𝑞 0׬
𝑙
𝑧. 𝑑𝑧
𝑞 0׬
𝑙
𝑑𝑧
=
ൗ𝑙
2
2
𝑙
=
𝑙
2
𝑧𝑅 =
𝑙
2
𝑙/2
𝑧
Casos Particulares
Carga Variable según una función Lineal.
𝑦
𝑙
𝑅
𝑞 𝑧
𝑞 𝑧 = −
𝑞𝑙
. 𝑧 + 𝑞
𝑅 = න
0
𝑙
−
𝑞
𝑙
. 𝑧 + 𝑞 𝑑𝑧 =
𝑅 = −
𝑞
𝑙
.
𝑙2
2
+ 𝑞𝑙 =
𝑞. 𝑙
2
→ 𝑅 =
𝑞. 𝑙
2
𝑙/3
𝑞
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
=
𝑞 0׬
𝑙
− ൗ𝑧
2
𝑙 + 𝑧 . 𝑑𝑧
𝑞. 𝑙
2
=
− ൗ𝑙
3
3. 𝑙 +
𝑙2
2
𝑙
2
=
𝑙
3
𝑧𝑅 =
𝑙
3
𝑧
Casos Particulares
Carga Variable según una función Lineal.
𝑦
𝑙
𝑅
𝑞 𝑧
𝑞 𝑧 = −
𝑞2 − 𝑞1
𝑙
. 𝑧 + 𝑞2
𝑅 = න
0
𝑙
−
(𝑞2−𝑞1)
𝑙
. 𝑧 + 𝑞2 𝑑𝑧 =
𝑅 = −
(𝑞2−𝑞1)
𝑙
.
𝑙2
2
+ 𝑞2. 𝑙 = −
𝑞2. 𝑙
2
+
𝑞1. 𝑙
2
+ 𝑞2. 𝑙
𝑅 = +
𝑞2. 𝑙
2
+
𝑞1. 𝑙
2
=
𝑞2 + 𝑞1 𝑙
2
𝑙/2
𝑞 𝑙 = 𝑞1
𝑞 0 = 𝑞2
𝑧
𝑦 = 𝑚𝑧 + 𝑏
Para 𝑧 = 0, 𝑏 = 𝑞2
Para 𝑧 = 𝑙, 𝑞1 = 𝑚. 𝑙 + 𝑞2 → 𝑚 =
𝑞1−𝑞2
𝑙
= −
𝑞2−𝑞1
𝑙
Casos Particulares
Carga Variable según una función Lineal.
𝑦
𝑙
𝑅
𝑞 𝑧
𝑞 𝑧 = −
𝑞2 − 𝑞1
𝑙
. 𝑧 + 𝑞2
𝑅 = න
0
𝑙
−
(𝑞2−𝑞1)
𝑙
. 𝑧 + 𝑞2 𝑑𝑧 =
𝑅 = −
(𝑞2−𝑞1)
𝑙
.
𝑙2
2
+ 𝑞2. 𝑙 = −
𝑞2. 𝑙
2
+
𝑞1. 𝑙
2
+ 𝑞2. 𝑙
𝑅 = +
𝑞2. 𝑙
2
+
𝑞1. 𝑙
2
=
𝑞2 + 𝑞1 𝑙
2
𝑙/2
𝑞 𝑙 = 𝑞1
𝑞 0 = 𝑞2
𝑧
𝑧𝑅 =
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑧. 𝑑𝑧
0׬
𝑙
𝑞 𝑧 . 𝑑𝑧
=
0׬
𝑙
−
𝑞2 − 𝑞1
𝑙
. 𝑧 + 𝑞2 . 𝑧. 𝑑𝑧
𝑞2 + 𝑞1 𝑙
2
=
−
𝑞2 − 𝑞1
𝑙
.
𝑙3
3 + 𝑞2.
𝑙2
2
𝑞2 + 𝑞1 𝑙
2
=
− 𝑞2 − 𝑞1
𝑙2
3 + 𝑞2.
𝑙2
2
𝑞2 + 𝑞1 𝑙
2
= ⋯
	Diapositiva 1: ESTÁTICA y RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
	Diapositiva 3: Introducción
	Diapositiva 4: Introducción
	Diapositiva 5: Introducción
	Diapositiva 6: Introducción
	Diapositiva 7: Introducción
	Diapositiva 8: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 9: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 10: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 11: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 13: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 14: Fuerza Distribuida sobre Superficie
	Diapositiva 15: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 16: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 17: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 18: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 19: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 20: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 22: Fuerza Distribuida Linealmente.
	Diapositiva 23: Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
	Diapositiva 24: Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
	Diapositiva 25: Resultante de una fuerza dist. sobre una línea
	Diapositiva 26: Casos Particulares
	Diapositiva 27: Casos Particulares
	Diapositiva 28: Casos Particulares
	Diapositiva 29: Casos Particulares